In der Mathematik ist die Klassifikation der begrenzten einfachen Gruppen ein Lehrsatz feststellend, dass jede begrenzte einfache Gruppe einer von vier Kategorien gehört, die unten beschrieben sind. Diese Gruppen können als die grundlegenden Bausteine aller begrenzten Gruppen auf die ziemlich gleiche Weise gesehen werden, weil die Primzahlen die grundlegenden Bausteine der natürlichen Zahlen sind. Der Lehrsatz des Jordans-Hölder ist eine genauere Weise, diese Tatsache über begrenzte Gruppen festzusetzen.

Der Beweis des Lehrsatzes besteht aus Zehntausenden von Seiten in mehreren hundert Zeitschriftenartikeln, die von ungefähr 100 Autoren geschrieben sind, veröffentlicht größtenteils zwischen 1955 und 2004. In den 1990er Jahren haben Gorenstein, Lyons und Solomon allmählich eine vereinfachte und revidierte Version des Beweises veröffentlicht (in 6 Volumina), aber noch einige bedeutende Lücken, und vor 2004 enthaltend, haben Aschbacher und Smith eine zweibändige Ergänzung veröffentlicht, die die letzten Lücken im Beweis entfernt hat.

Behauptung des Klassifikationslehrsatzes

Lehrsatz. Jede begrenzte einfache Gruppe ist zu einer der folgenden Gruppen isomorph:

• Eine zyklische Gruppe mit der Hauptordnung;
• Eine Wechselgruppe des Grads mindestens 5;
• Eine einfache Gruppe des Typs Lie, einschließlich beider
• die klassischen Lüge-Gruppen, nämlich die Gruppen von projektiven speziell geradlinig, einheitlich, symplectic, oder orthogonale Transformationen über ein begrenztes Feld;
• die außergewöhnlichen und gedrehten Gruppen des Typs Lie (einschließlich der Meise-Gruppe, die nicht ausschließlich eine Gruppe des Typs Lie ist).
• Die 26 sporadischen einfachen Gruppen.

Der Klassifikationslehrsatz hat Anwendungen in vielen Zweigen der Mathematik, weil Fragen über die Struktur von begrenzten Gruppen (und ihre Handlung auf anderen mathematischen Gegenständen) manchmal auf Fragen über begrenzte einfache Gruppen reduziert werden können. Dank des Klassifikationslehrsatzes kann auf solche Fragen manchmal durch die Überprüfung jeder Familie von einfachen Gruppen und jeder sporadischen Gruppe geantwortet werden.

Daniel Gorenstein hat 1983 bekannt gegeben, dass die begrenzten einfachen Gruppen alle klassifiziert worden waren, aber das war vorzeitig, weil er über den Beweis der Klassifikation von quasidünnen Gruppen falsch berichtet worden war. Der vollendete Beweis der Klassifikation wurde durch nach Aschbacher bekannt gegeben, und Smith hat einen 1221-Seite-Beweis für den fehlenden quasidünnen Fall veröffentlicht.

Übersicht des Beweises des Klassifikationslehrsatzes

hat

zwei Volumina geschrieben, die die niedrige Reihe und den sonderbaren charakteristischen Teil des Beweises und den entwerfen

hat

ein 3. Volumen geschrieben, das den restlichen Fall der Eigenschaft 2 bedeckt. Der Beweis kann in mehrere Hauptstücke wie folgt zerbrochen werden:

Gruppen von 2-Reihen-kleinen

Die einfachen Gruppen von 2-Reihen-niedrigen sind größtenteils Gruppen des Typs Lie der kleinen Reihe über Felder der sonderbaren Eigenschaft, zusammen mit dem fünf Wechseln und dem sieben Typ der Eigenschaft 2 und den neun sporadischen Gruppen.

Die einfachen Gruppen von 2-Reihen-kleinen schließen ein:

• Gruppen von 2-Reihen-0, mit anderen Worten Gruppen der sonderbaren Ordnung, die alle durch den Lehrsatz von Feit-Thompson lösbar sind.
• Gruppen von 2-Reihen-1. Die Sylow 2 Untergruppen sind entweder zyklisch, der leicht ist, das Verwenden der Übertragungskarte zu behandeln, oder quaternion verallgemeinert hat, die mit dem Lehrsatz von Brauer-Suzuki behandelt werden: Insbesondere gibt es keine einfachen Gruppen von 2-Reihen-1.
• Gruppen von 2-Reihen-2. Alperin hat gezeigt, dass Sylow subgoup Dieder, Quasidieder, gewunden, oder Sylow sein muss, der von U (4) 2-Untergruppen-ist. Der erste Fall wurde durch den Lehrsatz von Gorenstein-Walter getan, der gezeigt hat, dass die einzigen einfachen Gruppen zu L (q) für den q seltsam oder A isomorph sind, wurden die zweiten und dritten Fälle durch den Lehrsatz von Alperin-Brauer-Gorenstein getan, der andeutet, dass die einzigen einfachen Gruppen zu L (q) oder U (q) für den q seltsam oder M isomorph sind, und der letzte Fall durch Lyon getan wurde, wer gezeigt hat, dass U (4) die einzige einfache Möglichkeit ist.
• Gruppen von Schnitt-2-Reihen-höchstens 4, klassifiziert durch den Gorenstein-Harada Lehrsatz.

Die Klassifikation von Gruppen von kleinen 2-Reihen-, reiht sich besonders höchstens 2 auf, macht schweren Gebrauch der gewöhnlichen und modularen Charakter-Theorie, die fast anderswohin in der Klassifikation nie direkt verwendet wird.

Alle Gruppen nicht der kleinen 2 Reihe können in zwei Hauptklassen gespalten werden: Gruppen des Teiltyps und Gruppen des Typs der Eigenschaft 2. Das ist, weil, wenn eine Gruppe Schnitt-2-Reihen-mindestens 5 dann hat, MacWilliams gezeigt hat, dass seine 2 Untergruppen von Sylow verbunden werden, und der Gleichgewicht-Lehrsatz andeutet, dass jede einfache Gruppe mit verbundenen 2 Untergruppen von Sylow entweder des Teiltyps oder Typs der Eigenschaft 2 ist. (Für Gruppen von 2-Reihen-niedrigen bricht der Beweis davon zusammen, weil Lehrsätze wie der signalizer functor Lehrsatz nur für Gruppen mit elementaren abelian Untergruppen der Reihe mindestens 3 arbeiten.)

Gruppen des Teiltyps

Wie man

sagt, ist eine Gruppe vom Teiltyp, wenn für einen centralizer C einer Involution C/O (C) einen Bestandteil hat (wo O (C) der Kern von C, die maximale normale Untergruppe der sonderbaren Ordnung ist).

Das sind mehr oder weniger die Gruppen des Typs Lie der sonderbaren Eigenschaft der großen Reihe und Wechselgruppen zusammen mit einigen sporadischen Gruppen.

Ein Hauptschritt ist in diesem Fall, das Hindernis des Kerns einer Involution zu beseitigen. Das wird durch den B-Lehrsatz vollbracht, der feststellt, dass jeder Bestandteil von C/O (C) das Image eines Bestandteils von C ist.

Die Idee besteht darin, dass diese Gruppen einen centralizer einer Involution mit einem Bestandteil haben, der eine kleinere quasieinfache Gruppe ist, die, wie man annehmen kann, bereits durch die Induktion bekannt ist. So, um diese Gruppen zu klassifizieren, nimmt man jede Haupterweiterung jeder bekannten begrenzten einfachen Gruppe, und findet alle einfachen Gruppen mit einem centralizer der Involution damit als ein Bestandteil. Das gibt eine ziemlich hohe Zahl von verschiedenen Fällen, um zu überprüfen: Es gibt nicht nur 26 sporadische Gruppen und 16 Familien von Gruppen des Typs Lie und den Wechselgruppen, sondern auch vielen der Gruppen der kleinen Reihe oder über kleine Felder benehmen sich verschieden vom allgemeinen Fall und müssen getrennt behandelt werden, und die Gruppen des Typs Lie sogar und sonderbare Eigenschaft sind auch ziemlich verschieden.

Gruppen des Typs der Eigenschaft 2

Eine Gruppe ist vom Typ der Eigenschaft 2, wenn die verallgemeinerte Passende Untergruppe F * (Y) jeder 2-lokalen Untergruppe Y ein 2-Gruppen-ist.

Da der Name darauf hinweist, dass das grob die Gruppen des Typs Lie über Felder der Eigenschaft 2, plus eine Hand voll andere sind, die abwechseln oder sporadisch oder von der sonderbaren Eigenschaft. Ihre Klassifikation wird in die kleinen und großen Reihe-Fälle geteilt, wo die Reihe die größte Reihe einer sonderbaren abelian Untergruppe ist, die einen nichttrivialen 2-Untergruppen-normalisiert, der häufig (aber nicht immer) dasselbe als die Reihe einer Subalgebra von Cartan ist, wenn die Gruppe eine Gruppe des Typs Lie in der Eigenschaft 2 ist.

Die Reihe 1 Gruppen sind die dünnen Gruppen, die von Aschbacher und der Reihe 2 klassifiziert sind, ist die notorischen quasidünnen Gruppen, die von Aschbacher und Smith klassifiziert sind. Diese entsprechen grob zu Gruppen des Typs Lie von Reihen 1 oder 2 über Felder der Eigenschaft 2.

Gruppen der Reihe werden mindestens 3 weiter in 3 Klassen durch den trichotomy Lehrsatz unterteilt, der von Aschbacher für die Reihe 3 und von Gorenstein und Lyons für die Reihe mindestens 4 bewiesen ist.

Die drei Klassen sind Gruppen des Typs GF (2) (klassifiziert hauptsächlich von Timmesfeld), Gruppen des "Standardtyps" für eine sonderbare Blüte (klassifiziert durch den Gilman-Griess Lehrsatz und die Arbeit von mehreren andere), und Gruppen des Einzigartigkeitstyps, wo ein Ergebnis von Aschbacher andeutet, dass es keine einfachen Gruppen gibt.

Der allgemeine höhere Reihe-Fall besteht größtenteils aus den Gruppen des Typs Lie über Felder der Eigenschaft 2 der Reihe mindestens 3 oder 4.

Existenz und Einzigartigkeit der einfachen Gruppen

Die Hauptrolle der Klassifikation erzeugt eine Charakterisierung jeder einfachen Gruppe. Es ist dann notwendig zu überprüfen, dass dort eine einfache Gruppe für jede Charakterisierung besteht, und dass es einzigartig ist. Das gibt eine Vielzahl von getrennten Problemen; zum Beispiel haben sich die ursprünglichen Beweise der Existenz und Einzigartigkeit des Ungeheuers auf ungefähr 200 Seiten belaufen, und die Identifizierung der Gruppen von Ree durch Thompson und Bombieri war einer der härtesten Teile der Klassifikation. Viele der Existenz-Beweise und einige der Einzigartigkeitsbeweise für die sporadischen Beweise haben ursprünglich Computerberechnungen verwendet, von denen einige durch kürzere Handbeweise seitdem ersetzt worden sind.

Geschichte des Beweises

Das Programm von Gorenstein

1972 bekannt gegeben ein Programm, für die Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen zu vollenden, aus den folgenden 16 Schritten bestehend:

1. Gruppen von 2-Reihen-niedrigen. Das wurde im Wesentlichen von Gorenstein und Harada getan, der die Gruppen mit dem Schnitt-2-Reihen-höchstens 4 klassifiziert hat. Die meisten Fälle von 2-Reihen-höchstens 2 waren getan worden, als Gorenstein sein Programm bekannt gegeben hat.
2. Die Halbeinfachheit von 2 Schichten. Das Problem ist zu beweisen, dass der 2-Schichten-vom centralizer einer Involution in einer einfachen Gruppe halbeinfach ist.
3. Standardform in der sonderbaren Eigenschaft. Wenn eine Gruppe eine Involution mit einem 2-Bestandteile-hat, der eine Gruppe des Typs Lie der sonderbaren Eigenschaft ist, ist die Absicht zu zeigen, dass es einen centralizer der Involution in der "Standardform" das Meinen hat, dass ein centralizer der Involution einen Bestandteil hat, der des Typs Lie in der sonderbaren Eigenschaft ist und auch einen centralizer von 2-Reihen-1 hat.
4. Klassifikation von Gruppen des sonderbaren Typs. Das Problem ist zu zeigen, dass, wenn eine Gruppe einen centralizer der Involution in der "Standardform" dann hat, es eine Gruppe des Typs Lie der sonderbaren Eigenschaft ist. Das wurde durch den klassischen Involutionslehrsatz von Aschbacher gelöst.
5. Quasinorm-Form
6. Hauptinvolutionen
7. Klassifikation von Wechselgruppen. Zeigen Sie genauer das, wenn eine einfache Gruppe hat
8. Einige sporadische Gruppen
9. Dünne Gruppen. Die einfachen dünnen begrenzten Gruppen, diejenigen mit dem 2-lokalen Streich höchstens 1 für die sonderbare Blüte p, wurden von Aschbacher 1978 klassifiziert
10. Gruppen mit stark p-embedded Untergruppe für p sonderbaren
11. Der signalizer functor Methode für die sonderbare Blüte. Das Hauptproblem ist, einen signalizer functor Lehrsatz für nichtlösbaren signalizer functors zu beweisen. Das wurde von McBride 1982 gelöst.
12. Gruppen des Typs der Eigenschaft p. Das ist das Problem von Gruppen mit stark p-embedded 2-lokale Untergruppe mit dem seltsamen p, der von Aschbacher behandelt wurde.
13. Quasidünne Gruppen. Eine quasidünne Gruppe ist diejenige, deren 2-lokale Untergruppen Streich höchstens 2 für die ganze sonderbare Blüte p haben, und das Problem ist, die einfachen des Typs der Eigenschaft 2 zu klassifizieren. Das wurde von Aschbacher und Smith 2004 vollendet.
14. Gruppen von niedrigen 2-lokal 3-Reihen-. Das wurde im Wesentlichen durch den trichotomy Lehrsatz von Aschbacher für Gruppen mit e (G) =3 gelöst. Die Hauptänderung ist, dass 2-lokal 3-Reihen-durch den 2-lokalen Streich für die sonderbare Blüte ersetzt wird.
15. Centralizers von 3 Elementen in der Standardform. Das wurde im Wesentlichen durch den Lehrsatz von Trichotomy getan.
16. Klassifikation von einfachen Gruppen des Typs der Eigenschaft 2. Das wurde durch den Gilman-Griess Lehrsatz mit 3 Elementen behandelt, die durch P-Elemente für die sonderbare Blüte ersetzt sind.

Zeitachse des Beweises

Viele der Sachen in der Liste werden unten davon genommen. Das gegebene Datum ist gewöhnlich das Erscheinungsdatum des ganzen Beweises eines Ergebnisses, das manchmal mehrere Jahre später ist als der Beweis oder die erste Ansage des Ergebnisses, so erscheinen einige der Sachen in der "falschen" Ordnung.

Klassifikation der zweiten Generation

Der Beweis des Lehrsatzes, weil es 1985 gestanden hat oder so, kann die erste Generation genannt werden. Wegen der äußersten Länge des ersten Generationsbeweises ist viel Anstrengung der Entdeckung eines einfacheren Beweises, genannt einen Klassifikationsbeweis der zweiten Generation gewidmet worden. Diese Anstrengung, genannt "Revisionismus", wurde von Daniel Gorenstein ursprünglich geführt.

Bezüglich 2005 sind sechs Volumina des zweiten Generationsbeweises mit dem grössten Teil des Gleichgewichtes des Beweises im Manuskript veröffentlicht worden. Es wird geschätzt, dass der neue Beweis schließlich etwa 5,000 Seiten füllen wird. (Diese Länge stammt teilweise vom zweiten Generationsbeweis, der in einem mehr entspannten Stil wird schreibt.) haben Aschbacher und Smith ihre zwei Volumina geschrieben, die dem quasidünnen Fall auf solche Art und Weise gewidmet sind, dass jene Volumina ein Teil des zweiten Generationsbeweises sein können.

Gorenstein und seine Mitarbeiter haben mehrere Gründe gegeben, warum ein einfacherer Beweis möglich ist.

• Das wichtigste ist, dass die richtige, endgültige Behauptung des Lehrsatzes jetzt bekannt ist. Einfachere Techniken können angewandt werden, die, wie man bekannt, für die Typen von Gruppen entsprechend sind, die wir kennen, um einfach zu sein begrenzt. Im Gegensatz haben diejenigen, die am ersten Generationsbeweis gearbeitet haben, nicht gewusst, wie viel sporadische Gruppen dort waren, und tatsächlich einige der sporadischen Gruppen (z.B, der Gruppen von Janko) entdeckt wurden, während sie andere Fälle des Klassifikationslehrsatzes bewiesen haben. Infolgedessen wurden viele der Stücke des Lehrsatzes mit Techniken bewiesen, die allzu allgemein waren.
• Weil der Beschluss unbekannt war, besteht der erste Generationsbeweis aus vielen eigenständigen Lehrsätzen, sich mit wichtigen speziellen Fällen befassend. Viel von der Arbeit, diese Lehrsätze zu beweisen, wurde der Analyse von zahlreichen speziellen Fällen gewidmet. In Anbetracht eines größeren, orchestrierten Beweises, sich mit vielen dieser speziellen Fälle befassend, kann verschoben werden, bis die stärksten Annahmen angewandt werden können. Der laut dieser revidierten Strategie bezahlte Preis ist, dass diese ersten Generationslehrsätze nicht mehr verhältnismäßig kurze Beweise haben, aber sich stattdessen auf die ganze Klassifikation verlassen.
• Vieles erstes Generationslehrsatz-Übergreifen, und teilt so die möglichen Fälle auf ineffiziente Weisen. Infolgedessen wurden Familien und subfamiles von begrenzten einfachen Gruppen mehrmals identifiziert. Der revidierte Beweis beseitigt diese Redundanzen durch das Verlassen auf eine verschiedene Unterteilung von Fällen.
• Begrenzte Gruppentheoretiker haben mehr Erfahrung an dieser Sorte der Übung, und verfügen über neue Techniken.

hat die Arbeit am Klassifikationsproblem durch Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth, und viele andere, ein drittes Generationsprogramm genannt. Eine Absicht davon ist, alle Gruppen in der Eigenschaft 2 gleichförmig mit der Amalgam-Methode zu behandeln.