:

An, jedoch, gibt es ein Problem: Der Graph der Quadratwurzel-Funktion wird vertikal entsprechend einer horizontalen Tangente für die Quadratfunktion.

• hat Gegenteil (für den positiven)

:

\mbox {}\\mbox {}\\mbox {}\\mbox {};

\mbox {}\\mbox {}\\mbox {}\\mbox {}\

\frac {dx} {dy} = \frac {1} {y} </Mathematik>

:

Zusätzliche Eigenschaften

• Integrierung dieser Beziehung gibt

::

:This ist nur nützlich, wenn das Integral besteht. Insbesondere müssen wir Nichtnull über die Reihe der Integration sein.

:It folgt, der mit der dauernden Ableitung fungiert, haben Gegenteile in einer Nachbarschaft jedes Punkts, wo die Ableitung Nichtnull ist. Das braucht nicht wahr zu sein, wenn die Ableitung nicht dauernd ist.

Höhere Ableitungen

Die Kettenregel, die oben gegeben ist, wird durch das Unterscheiden der Identität in Bezug auf x erhalten. Man kann denselben Prozess für höhere Ableitungen fortsetzen. Die Identität in Bezug auf x zweimal unterscheidend, erhält man

:

oder das Ersetzen der ersten Ableitung mit der Formel oben,

:.

Ähnlich für die dritte Ableitung:

:

3 \frac {d^2x} {dy^2 }\\, \cdot \,\frac {d^2y} {dx^2 }\\, \cdot \,\left (\frac {dy} {dx }\\Recht) ^2 </Mathematik>

oder das Verwenden der Formel für die zweite Ableitung,

:

3 \left (\frac {d^2x} {dy^2 }\\Recht) ^2 \,\cdot \,\left (\frac {dy} {dx }\\Recht) ^5 </Mathematik>

Diese Formeln werden durch die Formel von Faà di Bruno verallgemeinert.

Diese Formeln können auch mit der Notation von Lagrange geschrieben werden. Wenn f und g Gegenteile, dann sind

:

Beispiel

• hat das Gegenteil. Mit der Formel für die zweite Ableitung der umgekehrten Funktion,

:\mbox {}\\mbox {}\\mbox {}\\mbox {};\mbox {}\\mbox {}\\mbox {}\\mbox {}\

\left (\frac {dy} {dx }\\Recht) ^3 = y^3; </Mathematik>

so dass

:

\frac {d^2x} {dy^2 }\\, \cdot \, y^3 + y = 0

\mbox {}\\mbox {}\\mbox {}\\mbox {};\mbox {}\\mbox {}\\mbox {}\\mbox {}\

\frac {d^2x} {dy^2} =-\frac {1} {y^2 }\

</Mathematik>,

der mit der direkten Berechnung übereinstimmt.

Siehe auch

• Rechnung
• Gegenteil fungiert
• Kettenregel
• Umgekehrter Funktionslehrsatz
• Impliziter Funktionslehrsatz