In der Mathematik kommen die Polynome von Bernoulli in der Studie von vielen speziellen Funktionen und insbesondere dem Riemann zeta Funktion und die Funktion von Hurwitz zeta vor. Das ist im großen Teil, weil sie eine Folge von Appell, d. h. eine Folge von Sheffer für den gewöhnlichen abgeleiteten Maschinenbediener sind. Verschieden von orthogonalen Polynomen sind die Polynome von Bernoulli darin bemerkenswert die Zahl von Überfahrten der X-Achse im Einheitszwischenraum steigt nicht, wie der Grad der Polynome steigt. In der Grenze des großen Grads nähern sich die Polynome von Bernoulli, passend erklettert, dem Sinus und den Kosinus-Funktionen.

Darstellungen

Die Polynome von Bernoulli B lassen eine Vielfalt von verschiedenen Darstellungen zu. Der unter ihnen genommen werden sollte, um die Definition zu sein, kann von jemandes Zwecken abhängen.

Ausführliche Formel

:

für n  0, wo b die Zahlen von Bernoulli sind.

Das Erzeugen von Funktionen

Die Erzeugen-Funktion für die Polynome von Bernoulli ist

:

Die Erzeugen-Funktion für die Polynome von Euler ist

:

Darstellung durch einen Differenzialoperatoren

Die Polynome von Bernoulli werden auch durch gegeben

:

wo D = d/dx Unterscheidung in Bezug auf x ist und der Bruchteil als eine formelle Macht-Reihe ausgebreitet wird.

Darstellung durch einen integrierten Maschinenbediener

Die Polynome von Bernoulli sind die einzigartigen durch bestimmten Polynome

:

Der integrierte Maschinenbediener

:

auf Polynomen f, ist dasselbe als

:

\begin {richten }\aus

(Tf) (x) = {e^D - 1 \over D} f (x) & {} = \sum_ {n=0} ^\\infty {D^n \over (n+1)!} f (x) \\

& {} = f (x) + {f' (x) \over 2} + {f (x) \over 6} + {f' (x) \over 24} + \cdots.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Eine andere ausführliche Formel

Eine ausführliche Formel für die Polynome von Bernoulli wird durch gegeben

:

\sum_ {n=0} ^m \frac {1} {n+1 }\

\sum_ {k=0} ^n (-1) ^k {n \choose k} (x+k) ^m. </math>

Bemerken Sie die bemerkenswerte Ähnlichkeit zum allgemein konvergenten Reihe-Ausdruck für die Funktion von Hurwitz zeta. Tatsächlich hat man

:

wo ζ (s, q) Hurwitz zeta ist; so, im gewissen Sinne, verallgemeinert Hurwitz zeta die Polynome von Bernoulli zu Werten der nichtganzen Zahl von n.

Wie man

verstehen kann, ist die innere Summe der n-te Vorwärtsunterschied von x; das, ist

:

wo Δ der Vorwärtsunterschied-Maschinenbediener ist. So kann man schreiben

:

Diese Formel kann aus einer Identität abgeleitet werden, die oben wie folgt erscheint: Da der Vorwärtsunterschied-Maschinenbediener Δ gleich

ist:

wo D Unterscheidung in Bezug auf x ist, haben wir

:

So lange das auf einem Mth-Grad-Polynom wie x funktioniert, kann man n von 0 nur bis zur M gehen lassen.

Eine integrierte Darstellung für die Polynome von Bernoulli wird vom integrierten Nörlund-Rice gegeben, der aus dem Ausdruck als ein begrenzter Unterschied folgt.

Eine ausführliche Formel für die Polynome von Euler wird durch gegeben

:

\sum_ {n=0} ^m \frac {1} {2^n }\

\sum_ {k=0} ^n (-1) ^k {n \choose k} (x+k) ^m \. </math>

Das kann auch in Bezug auf die Zahlen von Euler E als geschrieben werden

:

\sum_ {k=0} ^m {M \choose k} \frac {E_k} {2^k }\

\left (x-\frac {1} {2 }\\Recht) ^ {m-k} \. </Mathematik>

Summen von pth Mächten

Wir haben

:

Sieh die Formel von Faulhaber für mehr darauf.

Die Zahlen von Bernoulli und Euler

Die Zahlen von Bernoulli werden durch gegeben

Eine abwechselnde Tagung definiert die Zahlen von Bernoulli als. Diese Definition gibt B = nζ (1  n), wo für n = 0 und n = 1 der Ausdruck nζ (1  n) als verstanden werden

soll

lim xζ (1  x).

Die zwei Vereinbarung unterscheidet sich nur für n = 1 seitdem B (1) = 1/2 = B (0).

Die Euler Zahlen werden durch gegeben

Ausführliche Ausdrücke für niedrige Grade

Die ersten paar Polynome von Bernoulli sind:

:::::::

Die ersten paar Polynome von Euler sind

:::::::

Maximum und Minimum

An höher n wird der Betrag der Schwankung in B (x) zwischen x = 0 und x = 1 groß. Zum Beispiel,

:

- \frac {1382} {3} x^4+140x^2-\frac {3617} {510} </Mathematik>

der zeigt, dass der Wert an x = 0 (und an x = 1) 3617/510  7.09 ist, während an x = 1/2 der Wert 118518239/3342336  +7.09 ist. D.H. Lehmer hat gezeigt, dass der maximale Wert von B (x) zwischen 0 und 1 folgt

:

wenn n 2 modulo 4, in welchem Fall nicht ist

:

(wo der Riemann zeta Funktion ist), während das Minimum folgt

:

wenn n 0 modulo 4, in welchem Fall nicht ist

:

Diese Grenzen sind ganz dem wirklichen Maximum und Minimum nah, und Lehmer schreibt genauere Grenzen ebenso vor.

Unterschiede und Ableitungen

Die Polynome von Bernoulli und Euler folgen vielen Beziehungen von der umbral Rechnung:

::

(Δ ist der Vorwärtsunterschied-Maschinenbediener).

Diese polynomischen Folgen sind Folgen von Appell:

::

Übersetzungen

::

Diese Identität ist auch zum Ausspruch gleichwertig, dass diese polynomischen Folgen Folgen von Appell sind. (Polynome von Hermite sind ein anderes Beispiel.)

Symmetries

::::

Zhi-Wei Sun und Hao Pan haben die folgende überraschende symmetrische Beziehung eingesetzt: Wenn r + s + t = n und x + y + z = 1, dann

:wo:

B_ {n-k} (x) B_k (y). </Mathematik>

Reihe von Fourier

Die Reihe von Fourier der Polynome von Bernoulli ist auch eine Reihe von Dirichlet, die durch die Vergrößerung gegeben ist

:

Das ist ein spezieller Fall der analogen Form für die Funktion von Hurwitz zeta

:

\frac {\exp (2\pi ikx) + e^ {i\pi n} \exp (2\pi ik (1-x))} {(2\pi ik) ^n}. </Mathematik>

Diese Vergrößerung ist nur für 0  x  1 gültig, wenn n  2 und für 0 gültig

ist

\frac {\\weil ((2k+1) \pi x)} {(2k+1) ^\\nu} </Mathematik>

und

:

\frac {\\Sünde ((2k+1) \pi x)} {(2k+1) ^\\nu} </Mathematik>

für hat das Polynom von Euler die Reihe von Fourier

:

\pi^ {2n} E_ {2n-1} (x) </Mathematik>

und:

\pi^ {2n+1} E_ {2n} (x). </Mathematik>

Bemerken Sie, dass und beziehungsweise gerade und ungerade sind:

:und:

Sie sind mit der Funktion von Legendre chi als verbunden

:und:

Inversion

Die Polynome von Bernoulli und Euler können umgekehrt werden, um das Monom in Bezug auf die Polynome auszudrücken. Spezifisch hat man

:

\sum_ {k=0} ^n {n+1 \choose k} B_k (x)

</Mathematik>und:

\sum_ {k=0} ^ {n-1} {n \choose k} E_k (x).

</Mathematik>

Beziehung zum Fallen factorial

Die Polynome von Bernoulli können in Bezug auf das Fallen factorial als ausgebreitet werden

:

\frac {n+1} {k+1 }\

\left\{\begin {Matrix} n \\k \end {Matrix} \right\}\

(x) _ {k+1} </Mathematik>

wo und

:

zeigt die Zahl von Stirling der zweiten Art an. Der obengenannte kann umgekehrt werden, um das Fallen factorial in Bezug auf die Polynome von Bernoulli auszudrücken:

:\frac {n+1} {k+1 }\

\left [\begin {Matrix} n \\k \end {Matrix} \right]

\left (B_ {k+1} (x) - B_ {k+1} \right) </Mathematik>

wo:

zeigt die Zahl von Stirling der ersten Art an.

Multiplikationslehrsätze

Die Multiplikationslehrsätze wurden von Joseph Ludwig Raabe 1851 gegeben:

::

(-1) ^k E_n \left (x +\frac {k} {M }\\Recht)

\quad \mbox {für} m=1,3, \dots </Mathematik>

:

(-1) ^k B_ {n+1} \left (x +\frac {k} {M }\\Recht)

\quad \mbox {für} m=2,4, \dots </Mathematik>

Integrale

Unbestimmte Integrale

:

\frac {B_ {n+1} (x)-b_ {n+1} (a)} {n+1} </Mathematik>

:

\frac {E_ {n+1} (x)-e_ {n+1} (a)} {n+1} </Mathematik>

Bestimmte Integrale

:

(-1) ^ {n-1} \frac {M! n!} {(m+n)!} B_ {n+m }\

\quad \mbox {für} die M, n \ge 1 </Mathematik>

:

(-1) ^ {n} 4 (2^ {m+n+2}-1) \frac {M! n!} {(m+n+2)!} B_ {n+m+2} </Mathematik>

Periodische Polynome von Bernoulli

Ein periodisches Polynom von Bernoulli P (x) ist ein Polynom von Bernoulli, das am Bruchteil des Arguments x bewertet ist. Diese Funktionen werden verwendet, um den Rest-Begriff in den Euler-Maclaurin Formel-Verbindungssummen zu Integralen zur Verfügung zu stellen. Das erste Polynom ist eine Sägezahnfunktion.

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Hrsg.-Handbuch von Mathematischen Funktionen mit Formeln, Graphen und Mathematischen Tischen, (1972) Dover, New York. (Sieh Kapitel 23)

• (Sieh Kapitel 12.11)

• (Rezensionsbeziehung zur Funktion von Hurwitz zeta und transzendentem Lerch.)