In der Erholungsmathematik ist ein repunit eine Zahl wie 11, 111, oder 1111, der nur die Ziffer 1 enthält. Der Begriff tritt für wiederholte Einheit ein und wurde 1966 von Albert H. Beiler ins Leben gerufen. Eine repunit Blüte ist ein repunit, der auch eine Primzahl ist.

Definition

Das Grund-B repunits wird als definiert

:

So besteht die Nummer R aus n Kopien der Ziffer 1 in der Basis b Darstellung. Die ersten zwei repunits stützen b für n=1, und n=2 sind

:

Insbesondere die Dezimalzahl (stützen 10), repunits, die häufig einfach repunits genannt werden, wird als definiert

:

So besteht die Nummer R = R aus n Kopien der Ziffer 1 in der Basis 10 Darstellung. Die Folge von repunits stützt 10 Anfänge mit

: 1, 11, 111, 1111....

Ähnlich stützen die repunits 2 werden als definiert

:

So besteht die Nummer R aus n Kopien der Ziffer 1 in der Basis 2 Darstellung. Tatsächlich ist die Basis 2 repunits die gut respektierten Zahlen von Mersenne M = 2 − 1.

Eigenschaften

• Jeder repunit in jeder Basis, die eine zerlegbare Zahl von Ziffern hat, ist notwendigerweise zerlegbar. Nur repunits (in jeder Basis) eine Primzahl von Ziffern zu haben, könnte (notwendig, aber nicht genügend Bedingung) erst sein. Zum Beispiel,
• : R = 11111111111111111111111111111111111 = 11111 × 1000010000100001000010000100001 = 1111111 × 10000001000000100000010000001,

:since 35 = 7 × 5 = 5 × 7. Dieser repunit factorization hängt von der Basis b nicht ab, in dem der repunit ausgedrückt wird.

• Jedes positive Vielfache des repunit R enthält mindestens n Nichtnullziffern in der Basis b.
• Die einzigen bekannten Zahlen, die repunits mit mindestens 3 Ziffern in mehr als einer Basis gleichzeitig sind, sind 31 (111 in der Basis 5, 11111 in der Basis 2) und 8191 (111 in der Basis 90, 1111111111111 in der Basis 2). Die Goormaghtigh-Vermutung sagt, dass es nur diese zwei Fälle gibt.
• Es ist leicht zu beweisen, dass gegeben n, solch, dass n durch 2 oder p nicht genau teilbar ist, dort ein repunit in der Basis 2 Punkte besteht, der ein Vielfache von n ist.

Factorization der Dezimalzahl repunits

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Blüte von Repunit

Die Definition von repunits wurde von Erholungsmathematikern motiviert, die nach Hauptfaktoren solcher Zahlen suchen.

Es ist leicht, dass zu zeigen, wenn n durch a teilbar ist, dann ist R durch R teilbar:

:

wo das cyclotomic Polynom und die D-Reihen über die Teiler von n ist. Für die p Blüte, der die erwartete Form eines repunit hat, wenn x mit b eingesetzt wird.

Zum Beispiel, 9 ist durch 3 teilbar, und so ist R durch die R-in Tatsache, 111111111 = 111 teilbar · 1001001. Die entsprechenden cyclotomic Polynome und sind und beziehungsweise. So, für R, um erster n zu sein, muss notwendigerweise erst sein.

Aber es ist für n nicht genügend, erst zu sein; zum Beispiel, R = 111 = 3 · 37 ist nicht erst. Abgesehen von diesem Fall von R kann p nur R für ersten n wenn p = 2kn + 1 für einen k teilen.

Dezimalzahl repunit Blüte

R ist für n = 2, 19, 23, 317, 1031... (Folge in OEIS) erst. R und R sind wahrscheinlich erst. Am 3. April 2007 hat Harvey Dubner (wer auch R gefunden hat) bekannt gegeben, dass R eine wahrscheinliche Blüte ist. Er hat später bekannt gegeben, dass es keine anderen von R bis R gibt. Am 15. Juli 2007 hat Maksym Voznyy R bekannt gegeben, um wahrscheinlich zusammen mit seiner Absicht erst zu sein, zu 400000 zu suchen. Bezüglich des Septembers 2010 sind alle weiteren Kandidaten bis zu R geprüft worden, aber keine neue wahrscheinliche Blüte ist bis jetzt gefunden worden.

Es ist vermutet worden, dass es ungeheuer viele repunit Blüte gibt und sie scheinen, grob so häufig vorzukommen, wie der Primzahl-Lehrsatz voraussagen würde: Die Hochzahl der N-ten repunit Blüte ist allgemein um ein festes Vielfache der Hochzahl (n-1) th.

Die ersten repunits sind eine triviale Teilmenge der permutable Blüte, d. h., Blüte, die erst nach jeder Versetzung ihrer Ziffern bleibt.

Stützen Sie 2 repunit Blüte

Basis 2 repunit Blüte wird Blüte von Mersenne genannt.

Stützen Sie 3 repunit Blüte

Die erste paar Basis 3 repunit Blüte ist

: 13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013...,

entsprechend

: 3, 7, 13, 71, 103....

Stützen Sie 4 repunit Blüte

Die einzige Basis 4 repunit Blüte ist 5 . und 3 teilt sich immer, wenn n seltsam ist, und wenn n gleich ist. Für den n, der größer ist als 2, sind beide und größer als 3, so den Faktor 3 noch Blätter zwei Faktoren entfernend, die größer sind als 1, so kann die Zahl nicht erst sein.

Stützen Sie 5 repunit Blüte

Die erste paar Basis 5 (quinare) repunit Blüte ist

: 31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531,

entsprechend

: 3, 7, 11, 13, 47....

Stützen Sie 6 repunit Blüte

Die erste paar Basis 6 repunit Blüte ist

: 7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371...,

entsprechend

: 2, 3, 7, 29, 71...

Stützen Sie 7 repunit Blüte

Die erste paar Basis 7 repunit Blüte ist

: 2801, 16148168401,

85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601 entsprechend

: 5, 13, 131, 149...

Stützen Sie 8 und 9 repunit Blüte

Die einzige Basis 8 oder Basis 9 repunit Blüte ist 73 . und 7 teilt sich, wenn n durch 3 nicht teilbar ist, und wenn n ein Vielfache 3 ist. und 2 teilt immer beide und.

Stützen Sie 20 (vigesimal) repunit Blüte

Die einzigen bekannten vigesimal (stützen 20), repunit Blüte oder wahrscheinliche Blüte sind für von

: 3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403

Die ersten drei von diesen in der Dezimalzahl sind

: 421, 10778947368421 und 689852631578947368421

Geschichte

Obwohl sie durch diesen Namen nicht dann bekannt waren, repunits in der Basis 10 wurden von vielen Mathematikern während des neunzehnten Jahrhunderts studiert, um gut zu laufen und die zyklischen Muster von wiederkehrenden Dezimalzahlen vorauszusagen.

Es wurde sehr früh darauf für jede Blüte p größer gefunden als 5, die Periode der dezimalen Vergrößerung von 1/p ist der Länge der kleinsten repunit Zahl gleich, die durch p teilbar ist. Tische der Periode des Gegenstücks der Blüte waren bis zu 60,000 vor 1860 veröffentlicht und dem factorization von solchen Mathematikern wie Reuschle des ganzen repunits bis zu R und vielen größeren erlaubt worden. Vor 1880 war sogar R factored gewesen, und es ist neugierig, dass, obwohl sich Édouard Lucas gezeigt hat, keine Blüte unten drei Millionen Periode neunzehn hatte, gab es keinen Versuch, jeden repunit für primality bis am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts zu prüfen. Der amerikanische Mathematiker Oskar Hoppe hat R bewiesen, um 1916 und Lehmer erst zu sein, und Kraitchik hat unabhängig gefunden, dass R 1929 erst war.

Weitere Fortschritte in der Studie von repunits sind nicht vorgekommen bis zu den 1960er Jahren, als Computer vielen neuen Faktoren von repunits erlaubt haben, gefunden zu werden, und die Lücken in früheren Tischen von Hauptperioden, korrigiert. Wie man fand, war R eine wahrscheinliche Blüte um 1966 und wurde erst elf Jahre später bewiesen, als, wie man zeigte, R das einzige weiter möglicher erster repunit mit weniger als zehntausend Ziffern war. Es wurde erst 1986 bewiesen, aber Suchen weiter nach erstem repunits haben im folgenden Jahrzehnt durchweg gescheitert. Jedoch gab es eine Hauptseitenentwicklung im Feld von verallgemeinertem repunits, der eine Vielzahl der neuen Blüte und wahrscheinlichen Blüte erzeugt hat.

Seit 1999 vier weiter wahrscheinlich sind erste repunits gefunden worden, aber es ist unwahrscheinlich, dass einige von ihnen erst in der absehbaren Zukunft wegen ihrer riesigen Größe bewiesen wird.

Das Projekt von Cunningham ist bestrebt, die ganze Zahl factorizations von (unter anderen Zahlen) der repunits zu dokumentieren, um 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, und 12 zu stützen.

Siehe auch

• Repdigit
• Wiederkehrende Dezimalzahl
• Ganzes eines Polynom - eine Andere Generalisation
• Goormaghtigh vermuten

Referenzen

Links

Websites

• Die Haupttische des Projektes von Cunningham.
• Repunit an den Hauptseiten durch Chris Caldwell.
• Repunits und ihre Hauptfaktoren an der Welt! Zahlen.
• Erst hat repunits von mindestens 1000 dezimalen Ziffern durch Andy Steward verallgemeinert
• Repunit Hauptprojekt die repunit Hauptseite von Giovanni Di Maria.
• Das Repunit Hauptprojekt
• Factorizations 11... 11 (Repunit) durch Makoto Kamada

Bücher

• S. Yates, Repunits und repetends. Internationale Standardbuchnummer 0-9608652-0-9.
• A. Beiler, Unterhaltungen in der Theorie von Zahlen. Internationale Standardbuchnummer 0-486-21096-0. Kapitel 11, natürlich.
• Paulo Ribenboim, Das Neue Buch Von Primzahl-Aufzeichnungen. Internationale Standardbuchnummer 0-387-94457-5.