In der Mathematik entstehen Zahlen von Stirling in einer Vielfalt von combinatorics Problemen. Sie werden nach James Stirling genannt, der sie im 18. Jahrhundert eingeführt hat. Zwei verschiedene Sätze von Zahlen tragen diesen Namen: die Zahlen von Stirling der ersten Art und die Zahlen von Stirling der zweiten Art.

Notation

Mehrere verschiedene Notationen für die Zahlen von Stirling sind im Gebrauch. Zahlen von Stirling der ersten Art werden mit einem kleinen s und denjenigen der zweiten Art mit einem großen S geschrieben (Abramowitz, und Stegun verwenden eine Großschrift S und einen blackletter S beziehungsweise). Allgemeine Notationen sind:

:

:

:

. \, </math>

Die Notation, Klammern und geschweifte Klammern in der Analogie zu den binomischen Koeffizienten zu verwenden, wurde 1935 von Jovan Karamata eingeführt und später von Donald Knuth gefördert; es wird Notation von Karamata genannt. (Die Klammer-Notation kollidiert eine allgemeine Notation für die Koeffizienten von Gaussian.) Die mathematische Motivation für diesen Typ der Notation, sowie zusätzlichen Zahl-Formeln von Stirling, kann auf der Seite für Zahlen von Stirling und Exponentialerzeugen-Funktionen gefunden werden.

Zahlen von Stirling der ersten Art

Nicht unterzeichnete Stirling Zahlen der ersten Art

:

(mit einem Kleinbuchstaben "s") zählen die Zahl von Versetzungen von n Elementen mit k zusammenhanglose Zyklen auf.

Zahlen von Stirling der ersten Art (ohne das Qualifizieren adjektivisch nicht unterzeichnet) sind die Koeffizienten in der Vergrößerung

wo das Symbol von Pochhammer für das Fallen factorial, ist

Bemerken Sie, dass (x) = 1, weil es ein leeres Produkt ist. Combinatorialists verwenden auch manchmal die Notation für das Fallen factorial, und für das Steigen factorial.

(Verwirrend wird das Symbol von Pochhammer, das viele verwenden, um factorials zu fallen, in speziellen Funktionen verwendet, um sich factorials zu erheben.)

Zahlen von Stirling der zweiten Art

Zahlen von Stirling der zweiten Art zählen die Zahl von Weisen auf, eine Reihe von n Elementen in k nichtleere Teilmengen zu verteilen. Sie werden durch angezeigt oder. Die Summe

ist die n-te Zahl von Bell. Mit fallend factorials können wir auch die Zahlen von Stirling der zweiten Art durch charakterisieren

Die Lah Zahl, werden manchmal als Zahlen von Stirling der dritten Art verwiesen. sieh zum Beispiel.

Inversionsbeziehungen

betrachten kann, sind die Stirling Zahlen der ersten und zweiten Art Gegenteile von einander:

: