In der Mathematik sind die Funktionen von Legendre P, Q und vereinigten Funktionen von Legendre P, Q Generalisationen von Polynomen von Legendre zum Grad der nichtganzen Zahl.

Differenzialgleichung

Vereinigte Legendre-Funktionen sind Lösungen der Gleichung von Legendre

wo die komplexen Zahlen λ und μ den Grad und die Ordnung der verbundenen Funktionen von Legendre beziehungsweise genannt werden. Polynome von Legendre sind die verbundenen Funktionen von Legendre der Ordnung μ = 0.

Das ist eine zweite Ordnung geradlinige Gleichung mit drei regelmäßigen einzigartigen Punkten (an 1, −1, und ). Wie alle diese Gleichungen kann es in die hypergeometrische Differenzialgleichung durch eine Änderung der Variable umgewandelt werden, und seine Lösungen können mit hypergeometrischen Funktionen ausgedrückt werden.

Definition

Diese Funktionen können wirklich für allgemeine komplizierte Rahmen und Argument definiert werden:

wo die Gammafunktion ist und die hypergeometrische Funktion ist.

Die zweite Ordnungsdifferenzialgleichung hat eine zweite Lösung,

, definiert als:

Integrierte Darstellungen

Die Legendre-Funktionen können als Kontur-Integrale geschrieben werden. Zum Beispiel

\int_ {1, z} \frac {(t^2-1) ^\\Lambda} {2^\\Lambda (t-z) ^ {\\lambda+1}} dt </Mathematik>

wo die Kontur-Kreise um die Punkte 1 und z in der positiven Richtung und ringsherum &minus;1. nicht kreisen

Für echten x haben wir

Legendre fungieren als Charaktere

Die echte integrierte Darstellung dessen ist in der Studie der harmonischen Analyse darauf sehr nützlich, wo der doppelte coset Raum dessen ist (sieh kugelförmige Zonenfunktion). Wirklich verwandelt sich der Fourier darauf wird durch gegeben

wo

Links

• Legendre fungieren P auf der Wolfram-Funktionsseite.
• Legendre fungieren Q auf der Wolfram-Funktionsseite.
• Vereinigte Legendre fungieren P auf der Wolfram-Funktionsseite.
• Vereinigte Legendre fungieren Q auf der Wolfram-Funktionsseite.