Diese Seite gibt einen sehr allgemeinen Hintergrund der mathematischen Idee von topos. Das ist ein Aspekt der Kategorie-Theorie, und hat einen Ruf, schwer verständlich zu sein. Das Niveau der beteiligten Abstraktion kann außer einem bestimmten Punkt nicht reduziert werden; aber andererseits kann Zusammenhang gegeben werden. Das ist teilweise in Bezug auf die historische Entwicklung, sondern auch einigermaßen eine Erklärung von sich unterscheidenden Einstellungen gegenüber der Kategorie-Theorie.

In der Schule von Grothendieck

Während des letzten Teils der 1950er Jahre wurden die Fundamente der algebraischen Geometrie umgeschrieben; und es ist hier, dass die Ursprünge des topos Konzepts gefunden werden sollen. Damals waren die Vermutungen von Weil eine hervorragende Motivation, um zu forschen. Weil wir jetzt, der Weg zu ihrem Beweis und die anderen Fortschritte wissen, den Aufbau von étale cohomology anlegen.

Mit dem Vorteil der verspäteten Einsicht kann es gesagt werden, dass algebraische Geometrie mit zwei Problemen seit langem gerungen hatte. Das erste sollte mit seinen Punkten tun: Zurück in den Tagen der projektiven Geometrie war es klar, dass die Abwesenheit von 'genug' Punkte auf einer algebraischen Vielfalt waren eine Barriere dafür, eine gute geometrische Theorie zu haben (in dem es etwas einer Kompaktsammelleitung ähnlich gewesen ist). Es gab auch die Schwierigkeit, die klar war, sobald Topologie Form in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts angenommen hat, dass die Topologie von algebraischen Varianten 'zu wenige' offene Sätze hatte.

Die Frage von Punkten ist Entschlossenheit vor 1950 nah gewesen; Alexander Grothendieck hat einen umfassenden Schritt gemacht (an das Lemma von Yoneda appellierend), der darüber - natürlich an Kosten verfügt hat, dass jede Vielfalt oder allgemeineres Schema ein functor werden sollten. Es war nicht möglich, offene Sätze hinzuzufügen, dennoch. Der Weg war vorwärts sonst.

Die topos Definition ist zuerst etwas schief, in oder 1960 erschienen. Allgemeine Probleme des so genannten 'Abstiegs' in der algebraischen Geometrie wurden in derselben Periode betrachtet, als die grundsätzliche Gruppe zur algebraischen Geometrie-Einstellung (als eine pro-begrenzte Gruppe) verallgemeinert wurde. Im Licht der späteren Arbeit (c. 1970), 'Abstieg' ist ein Teil der Theorie von comonads; hier können wir einen Weg sehen, auf den sich die Schule von Grothendieck in seiner Annäherung von den 'reinen' Kategorie-Theoretikern, ein Thema gabelt, das für das Verstehen dessen wichtig ist, wie das topos Konzept später behandelt wurde.

Es gab vielleicht einen direkteren verfügbaren Weg: Das abelian Kategorie-Konzept war von Grothendieck in seiner Foundational-Arbeit an der homological Algebra eingeführt worden, um Kategorien von Bündeln von abelian Gruppen, und Module zu vereinigen. Eine abelian Kategorie soll unter bestimmten mit der Kategorie theoretischen Operationen - durch das Verwenden dieser Art der Definition geschlossen werden, die man völlig auf die Struktur einstellen kann, nichts überhaupt über die Natur der beteiligten Gegenstände sagend. Dieser Typ der Definition verfolgt zurück in einer Linie zum Gitter-Konzept der 1930er Jahre. Es war eine mögliche Frage, 1957, über eine ähnliche rein mit der Kategorie theoretische Charakterisierung, Kategorien von Bündeln von Sätzen, dem Fall von Bündeln von abelian Gruppen zu posieren, die durch die Arbeit von Grothendieck (das Papier von Tohoku) unterordnen worden sind.

Solch eine Definition eines topos wurde schließlich fünf Jahre später, 1962, von Grothendieck und Verdier gegeben (sieh die Bourbaki Seminar-Analyse-Lage von Verdier). Die Charakterisierung war mittels Kategorien 'mit genug colimits', und hat dafür gegolten, was jetzt Grothendieck topos genannt wird. Die Theorie hat sich durch das Feststellen abgerundet, dass Grothendieck topos eine Kategorie von Bündeln war, wo jetzt das Wortbündel eine verlängerte Bedeutung in Bezug auf die Idee von der Topologie von Grothendieck erworben hatte.

Die Idee von einer Topologie von Grothendieck (auch bekannt als eine Seite) ist von John Tate als ein kühnes Wortspiel über die zwei Sinne der Oberfläche von Riemann charakterisiert worden. Technisch sprechend hat es den Aufbau des gesuchten étale cohomology (sowie andere raffinierte Theorien wie Wohnung cohomology und kristallener cohomology) ermöglicht. An diesem Punkt - 1964 - hatten die durch die algebraische Geometrie angetriebenen Entwicklungen ihren Kurs größtenteils geführt. Der 'offene Satz' Diskussion war im Beschluss effektiv summiert worden, dass Varianten eine genug reiche Seite von offenen Sätzen in unverzweigten Deckel ihrer (gewöhnlichen) Zariski-offenen Sätze hatten.

Von der reinen Kategorie-Theorie bis kategorische Logik

Die aktuelle Definition von topos geht William Lawvere und Myles Tierney zurück. Während das Timing nah auf davon folgt, das oben als Angelegenheit für die Geschichte beschrieben ist, ist die Einstellung verschieden, und die Definition ist mehr einschließlich. D. h. es gibt Beispiele von toposes, die nicht Grothendieck topos sind. Hinzu kommt noch, dass diese von Interesse für mehrere logische Disziplinen sein können.

Lawveres Definition und Tierneys wählt die Hauptrolle in der topos Theorie des Subgegenstands classifier aus. In der üblichen Kategorie von Sätzen ist das der Zwei-Elemente-Satz von Wahrheitswerten von Boolean, wahr und falsch. Es ist fast doppelt gemoppelt, um zu sagen, dass die Teilmengen eines gegebenen X untergehen, sind dasselbe als (so gut als) die Funktionen auf X zu jedem solchem gegebenen Zwei-Elemente-Satz: Befestigen Sie das 'erste' Element und machen Sie eine Teilmenge Y entsprechen der Funktion, Y dorthin und seiner Ergänzung in X zum anderen Element sendend.

Jetzt kann Subgegenstand classifiers in der Bündel-Theorie gefunden werden. Noch doppelt gemoppelt, obwohl sicher abstrakter, für einen topologischen Raum X es eine direkte Beschreibung eines Bündels auf X gibt, der die Rolle in Bezug auf alle Bündel von Sätzen auf X spielt. Sein Satz von Abteilungen über einen offenen Satz U X ist gerade der Satz von offenen Teilmengen von U. Der Raum, der mit einem Bündel dafür vereinigt ist, ist schwieriger zu beschreiben.

Lawvere und Tierney haben deshalb Axiome für einen topos formuliert, der einen Subgegenstand classifier und einige Grenze-Bedingungen angenommen hat (um eine kartesianisch geschlossene Kategorie, mindestens zu machen). Eine Zeit lang wurde dieser Begriff von topos 'elementaren topos' genannt.

Sobald die Idee von einer Verbindung mit der Logik formuliert wurde, gab es mehrere Entwicklungen, die die neue Theorie 'prüfen':

• Modelle der Mengenlehre entsprechend Beweisen der Unabhängigkeit des Axioms der Wahl und Kontinuum-Hypothese durch die Methode von Cohen zu zwingen.
• Anerkennung der Verbindung mit der Semantik von Kripke, dem intuitionistic existenziellen quantifier und der intuitionistic Typ-Theorie.
• diese, Diskussion der intuitionistic Theorie von reellen Zahlen durch Bündel-Modelle verbindend.

Position der topos Theorie

Es gab eine Ironie, dass im Stoßen durch des Langstreckenprogrammes von David Hilbert ein natürliches Haus für die Hauptideen der intuitionistic Logik gefunden wurde: Hilbert hatte die Schule von L. E. J. Brouwer verabscheut. Die Existenz als 'lokale' Existenz im mit dem Bündel theoretischen Sinn, jetzt durch den Namen der Kripke-Joyal Semantik gehend, ist ein gutes Match. Andererseits werden die langen Anstrengungen von Brouwer auf 'Arten', wie er die intuitionistic Theorie von reals genannt hat, vermutlich irgendwie untergeordnet und vom Status außer dem historischen beraubt. Es gibt eine Theorie der reellen Zahlen in jedem topos, und so kein Master intuitionist Theorie.

Die spätere Arbeit an étale cohomology hat dazu geneigt darauf hinzuweisen, dass die volle, allgemeine topos Theorie nicht erforderlich ist. Andererseits werden andere Seiten verwendet, und Grothendieck topos hat seinen Platz innerhalb der homological Algebra genommen.

Das Lawvere Programm sollte höherwertige Logik in Bezug auf die Kategorie-Theorie schreiben. Dass das getan werden kann, sauber wird durch die Buchbehandlung von Joachim Lambek und P.S. Scott gezeigt. Welche Ergebnisse im Wesentlichen ein intuitionistic (d. h. konstruktive Logik) Theorie, sein Inhalt ist, der durch die Existenz eines freien topos wird klärt. Das ist eine Mengenlehre, in einem weiten Sinn, sondern auch etwas, dem Bereich der reinen Syntax gehörend. Die Struktur auf seinem Subgegenstand classifier ist die einer Algebra von Heyting. Um eine mehr klassische Mengenlehre zu bekommen, kann man auf toposes schauen, in dem es außerdem eine Algebra von Boolean oder Spezialisierung noch weiter, an denjenigen mit gerade zwei Wahrheitswerten ist. In diesem Buch ist das Gespräch über die konstruktive Mathematik; aber tatsächlich kann das als foundational Informatik gelesen werden (der nicht erwähnt wird). Wenn man mit dem Satz theoretische Operationen, wie die Bildung des Images (Reihe) einer Funktion besprechen will, wie man versichert, ist ein topos im Stande, das völlig konstruktiv auszudrücken.

Es hat auch ein zugänglicheres Nebenprodukt in der sinnlosen Topologie erzeugt, wo das Schauplatz-Konzept einige von zugänglicheren gefundenen Einblicken durch das Behandeln topos als eine bedeutende Entwicklung des topologischen Raums isoliert. Der Slogan ist 'Punkte gekommen später': Das bringt Diskussionsvollkreis auf dieser Seite. Der Gesichtspunkt wird in den Steinräumen von Peter Johnstone geschrieben, der von einem Führer im Feld der Informatik 'eine Abhandlung auf extensionality' genannt worden ist. Der Verlängerungs-wird in der Mathematik als umgebend behandelt - es ist nicht etwas, über das Mathematiker wirklich annehmen, eine Theorie zu haben. Vielleicht ist das, warum topos Theorie als eine Kuriosität behandelt worden ist; es übertrifft, was die traditionell geometrische Denkart erlaubt. Der Bedarf nach gründlich intensional Theorien wie ungetippte Lambda-Rechnung ist in der denotational Semantik gedeckt worden. Theorie von Topos hat lange wie eine mögliche 'Master-Theorie' in diesem Gebiet ausgesehen.

Zusammenfassung

Das topos Konzept ist in der algebraischen Geometrie demzufolge entstanden, das Konzept des Bündels und Verschlusses unter kategorischen Operationen zu verbinden. Es spielt eine bestimmte bestimmte Rolle in cohomology Theorien.

Die nachfolgenden mit der Logik vereinigten Entwicklungen sind mehr zwischendisziplinarisch. Sie schließen Beispiele ein, die sich homotopy Theorie stützen (toposes klassifizierend). Sie schließen Verbindungen zwischen der Kategorie-Theorie und mathematischen Logik, und auch (als eine organisatorische Diskussion auf höchster Ebene) zwischen Kategorie-Theorie und theoretischer auf der Typ-Theorie gestützter Informatik ein. Gewährt die allgemeine Ansicht von Saunders Mac Lane über die Allgegenwart von Konzepten, das gibt ihnen einen bestimmten Status. Eine 'Mörderanwendung' ist étale cohomology.

• http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/