In der Kategorie-Theorie, einem Zweig der Mathematik, ist eine Topologie von Grothendieck eine Struktur auf einer Kategorie C, der die Gegenstände der C-Tat wie die offenen Sätze eines topologischen Raums macht. Eine Kategorie zusammen mit einer Wahl der Topologie von Grothendieck wird eine Seite genannt.

Topologien von Grothendieck axiomatize der Begriff eines offenen Deckels. Mit dem Begriff der durch eine Topologie von Grothendieck zur Verfügung gestellten Bedeckung wird es möglich, Bündel auf einer Kategorie und ihrem cohomology zu definieren. Das wurde zuerst in der algebraischen Geometrie und Theorie der algebraischen Zahl von Alexander Grothendieck getan, den étale cohomology eines Schemas zu definieren. Es ist verwendet worden, um andere cohomology Theorien seitdem, wie l-adic cohomology, Wohnung cohomology und kristallener cohomology zu definieren. Während Topologien von Grothendieck meistenteils verwendet werden, um cohomology Theorien zu definieren, haben sie andere Anwendungen ebenso, solcher betreffs der Theorie von John Tate der starren analytischen Geometrie gefunden.

Es gibt eine natürliche Weise, eine Seite zu einem gewöhnlichen topologischen Raum zu vereinigen, und die Theorie von Grothendieck wird als eine Generalisation der klassischen Topologie lose betrachtet. Laut spärlicher Hypothesen der Punkt-gesetzten, nämlich Nüchternheit, ist das völlig genau - es ist möglich, einen nüchternen Raum von seiner verbundenen Seite wieder zu erlangen. Jedoch einfache Beispiele wie die homogene topologische Raumshow, dass nicht alle topologischen Räume mit Topologien von Grothendieck ausgedrückt werden können. Umgekehrt gibt es Topologien von Grothendieck, die aus topologischen Räumen nicht kommen.

Einführung

Die berühmten Vermutungen von Weil von André Weil haben vorgeschlagen, dass bestimmte Eigenschaften von Gleichungen mit integrierten Koeffizienten als geometrische Eigenschaften der algebraischen Vielfalt verstanden werden sollten, die sie definieren. Seine Vermutungen haben verlangt, dass es eine cohomology Theorie von algebraischen Varianten geben sollte, die mit der Zahl theoretische Information über ihre Definieren-Gleichungen gegeben haben. Diese cohomology Theorie war als der "Weil cohomology" bekannt, aber das Verwenden der Werkzeuge, die er verfügbar, Weil hatte, war unfähig, sie zu bauen.

Am Anfang der 1960er Jahre hat Alexander Grothendieck Étale-Karten in die algebraische Geometrie als algebraische Entsprechungen des lokalen analytischen Isomorphismus in der analytischen Geometrie eingeführt. Er hat étale Bedeckungen verwendet, um eine algebraische Entsprechung der grundsätzlichen Gruppe eines topologischen Raums zu definieren. Bald hat Jean-Pierre Serre bemerkt, dass einige Eigenschaften von étale Bedeckungen diejenigen von offenen Immersionen nachgeahmt haben, und dass folglich es möglich war, Aufbauten zu machen, die den cohomology functor imitiert haben, hat H. Grothendieck gesehen, dass es möglich sein würde, die Idee von Serre zu verwenden, eine cohomology Theorie zu definieren, die er verdächtigt hat, würde Weil cohomology sein. Um diese cohomology Theorie zu definieren, musste Grothendieck den üblichen, topologischen Begriff einer offenen Bedeckung mit derjenigen ersetzen, die étale Bedeckungen stattdessen verwenden würde. Grothendieck hat auch gesehen, wie man die Definition der Bedeckung abstrakt ausdrückt; das ist, wo die Definition einer Topologie von Grothendieck herkommt.

Definition

Motivation

Die klassische Definition eines Bündels beginnt mit einem topologischen Raum X. Ein Bündel vereinigt Information zu den offenen Sätzen X. Diese Information kann abstrakt ausgedrückt werden, indem sie O (X) die Kategorie sein lässt, deren Gegenstände die offenen Teilmengen U X sind, und dessen morphisms die Einschließungskarten V  U offener Sätze U und V X sind. Wir werden solche Karten offene Immersionen, ebenso im Zusammenhang von Schemas nennen. Dann ist ein Vorbündel auf X eine Kontravariante functor von O (X) zur Kategorie von Sätzen, und ein Bündel ist ein Vorbündel, das das Kleben-Axiom befriedigt. Das Kleben-Axiom wird in Bezug auf die Pointwise-Bedeckung ausgedrückt, d. h., {U} bedeckt U wenn und nur wenn U = U. In dieser Definition ist U eine offene Teilmenge von Topologien von X. Grothendieck ersetzen jeden U durch eine komplette Familie von offenen Teilmengen; in diesem Beispiel wird U von der Familie aller offenen Immersionen V  U ersetzt. Solch eine Sammlung wird ein Sieb genannt. Pointwise, der bedeckt, wird durch den Begriff einer Bedeckungsfamilie ersetzt; im obengenannten Beispiel, dem Satz von allen {sind V  U}, weil ich mich ändere, eine Bedeckungsfamilie von U. Siebe und Bedeckung von Familien können axiomatized sein, und sobald das getan wird, können offene Sätze und Pointwise-Bedeckung durch andere Begriffe ersetzt werden, die andere Eigenschaften des Raums X beschreiben.

Siebe

In einer Topologie von Grothendieck wird der Begriff einer Sammlung von offenen Teilmengen des U Stalls unter der Einschließung durch den Begriff eines Siebs ersetzt. Wenn c ein gegebener Gegenstand in C ist, ist ein Sieb auf c ein subfunctor von functor Hom (− c); (das ist das Einbetten von Yoneda, das auf c angewandt ist). Im Fall von O (X) wählt ein Sieb S auf einem offenen Satz U eine Sammlung von offenen Teilmengen von U aus, der unter der Einschließung stabil ist. Denken Sie genauer, dass für jede offene Teilmenge V von U, S (V) eine Teilmenge von Hom sein werden (V, U), der nur ein Element, die offene Immersion hat V  U. Then V wird "ausgewählt" durch S betrachtet, wenn, und nur wenn S (V) nichtleer ist. Wenn W eine Teilmenge V ist, dann gibt es einen morphism S (V)  S (W) gegeben durch die Zusammensetzung mit der Einschließung W  V. Wenn S (V) nichtleer ist, hieraus folgt dass S (W) auch nichtleer ist.

Wenn S ein Sieb auf X, und f ist: Y  X ist ein morphism, dann verlassen Zusammensetzung durch f gibt ein Sieb auf Y genannt das Hemmnis von S entlang f, der durch fS angezeigt ist. Es wird als das fibered Produkt S &times definiert; Hom (− Y) zusammen mit seinem natürlichen Einbetten in Hom (− Y). Konkreter, für jeden Gegenstand Z C, fS (Z) = {g: Z  Y | fg S (Z)}, und fS erbt seine Handlung auf morphisms, indem es ein subfunctor von Hom gewesen wird (− Y). Im klassischen Beispiel ist das Hemmnis einer Sammlung {V} von Teilmengen von U entlang einer Einschließung W  U die Sammlung {VW}.

Topologie von Grothendieck

Eine Grothendieck Topologie J auf einer Kategorie C ist eine Sammlung, für jeden Gegenstand c von C von ausgezeichneten Sieben auf c, der durch J (c) und genannte Bedeckung von Sieben von c angezeigt ist. Diese Auswahl wird bestimmten Axiomen unterworfen sein, hat unten festgesetzt. Das vorherige Beispiel fortsetzend, wird ein Sieb S auf einem offenen Satz U in O (X) ein Bedeckungssieb sein, wenn, und nur wenn die Vereinigung aller offenen Sätze V, für den S (V) nichtleer ist, U gleichkommt; mit anderen Worten, wenn, und nur wenn S uns eine Sammlung von offenen Sätzen gibt, die U im klassischen Sinn bedecken.

Axiome

Die Bedingungen, die wir einer Topologie von Grothendieck auferlegen, sind:

• (T 1) (Grundänderung), Wenn S ein Bedeckungssieb auf X, und f ist: Y  X ist ein morphism, dann ist das Hemmnis fS ein Bedeckungssieb auf Y.
• (T 2) (Lokaler Charakter) lassen S ein Bedeckungssieb auf X sein, und T jedes Sieb auf X sein lassen. Nehmen Sie dass für jeden Gegenstand Y C und jedes Pfeils f an: Y  X in S (Y) ist das Hemmnis-Sieb fT ein Bedeckungssieb auf Y. Dann ist T ein Bedeckungssieb auf X.
• (T 3) (Identität) Hom (− X) ist ein Bedeckungssieb auf X für jeden Gegenstand X in C.

Das Grundänderungsaxiom entspricht der Idee dass, wenn {} U bedeckt, dann {U  V} sollte U  V bedecken. Das lokale Charakter-Axiom entspricht der Idee, dass, wenn {U} U und {V} Deckel U für jeden ich, dann die Sammlung {V} für alles bedeckt, ich und j U bedecken sollten. Letzt entspricht das Identitätsaxiom der Idee, dass jeder Satz durch alle seine möglichen Teilmengen bedeckt wird.

Alternative Axiome

Tatsächlich ist es möglich, diese Axiome in einer anderen Form zu stellen, wo ihr geometrischer Charakter mehr offenbar ist, annehmend, dass die zu Grunde liegende Kategorie C bestimmte fibered Produkte enthält. In diesem Fall, anstatt Siebe anzugeben, können wir angeben, dass bestimmte Sammlungen von Karten mit einem allgemeinen codomain ihren codomain bedecken sollten. Diese Sammlungen werden genannt, Familien bedeckend. Wenn die Sammlung aller Bedeckungsfamilien bestimmte Axiome befriedigt, dann sagen wir, dass sie eine Vortopologie von Grothendieck bilden. Diese Axiome sind:

• (PT 0) (Existenz von fibered Produkten) Für alle Gegenstände X von C, und für den ganzen morphisms X  X, die in einer Bedeckungsfamilie X, und für den ganzen morphisms Y  X, das fibered Produkt X &times erscheinen; Y besteht.
• (PT 1) (Stabilität unter der Grundänderung) Für alle Gegenstände X von C, der ganze morphisms Y  X, und alle Bedeckungsfamilien {X  X}, die Familie {X × Y  ist Y\eine Bedeckungsfamilie.
• (PT 2) (Lokaler Charakter), Wenn {X  X} eine Bedeckungsfamilie ist, und wenn für den ganzen α, {X  X} eine Bedeckungsfamilie ist, dann ist die Familie von Zusammensetzungen {X  X  X} eine Bedeckungsfamilie.
• (PT 3) (Isomorphismus) Wenn f: Y  X ist ein Isomorphismus, dann ist {f} eine Bedeckungsfamilie.

Für jede Vortopologie ist die Sammlung aller Siebe, die eine Bedeckungsfamilie von der Vortopologie enthalten, immer eine Topologie von Grothendieck.

Für Kategorien mit fibered Produkten gibt es einen gegenteiligen. In Anbetracht einer Sammlung von Pfeilen {X  X} bauen wir ein Sieb S, indem wir S (Y) der Satz des ganzen morphisms Y  X dass Faktor durch einen Pfeil X  X sein lassen. Das wird das Sieb genannt, das durch {X  X} erzeugt ist. Wählen Sie jetzt eine Topologie. Sagen Sie, dass {X  X} eine Bedeckungsfamilie sind, wenn, und nur wenn das Sieb, das sie erzeugt, ein Bedeckungssieb für die gegebene Topologie ist. Es ist leicht zu überprüfen, dass das eine Vortopologie definiert.

(PT 3) wird manchmal durch ein schwächeres Axiom ersetzt:

• (PT 3') (Identität) Wenn 1: X  X sind der Identitätspfeil, dann {1} ist eine Bedeckungsfamilie.

(PT 3) bezieht (PT 3'), aber nicht umgekehrt ein. Nehmen Sie jedoch an, dass wir eine Sammlung haben, Familien zu bedecken, der (PT 0) durch (PT 2) und (PT 3'), aber nicht (PT 3) befriedigt. Diese Familien erzeugen eine Vortopologie. Die Topologie, die durch die ursprüngliche Sammlung erzeugt ist, Familien zu bedecken, ist dann dasselbe als die durch die Vortopologie erzeugte Topologie, weil das Sieb, das durch einen Isomorphismus Y  X erzeugt ist, Hom ist (− X). Folglich, wenn wir unsere Aufmerksamkeit auf Topologien einschränken, (PT 3) und (PT 3') sind gleichwertig.

Seiten und Bündel

Lassen Sie C eine Kategorie sein und J eine Topologie von Grothendieck auf C sein zu lassen. Das Paar (C, J) wird eine Seite genannt.

Ein Vorbündel auf einer Kategorie ist eine Kontravariante functor von C bis die Kategorie aller Sätze. Bemerken Sie, dass für diese Definition C nicht erforderlich ist, eine Topologie zu haben. Ein Bündel auf einer Seite sollte jedoch erlauben, gerade wie Bündel in der klassischen Topologie zu kleben. Folglich definieren wir ein Bündel auf einer Seite, um ein Vorbündel F solch zu sein, dass für alle Gegenstände X und die ganze Bedeckung S auf X, die natürliche Karte Hom (Hom siebt (− X), F)  Hom (S, F), veranlasst durch die Einschließung von S in Hom (− X), ist eine Bijektion. Halbwegs zwischen einem Vorbündel und einem Bündel ist der Begriff eines getrennten Vorbündels, wo die natürliche Karte oben erforderlich ist, nur eine Einspritzung, nicht eine Bijektion, für alle Siebe S zu sein. Ein morphism von Vorbündeln oder Bündel ist eine natürliche Transformation von functors. Die Kategorie aller Bündel auf C ist der topos, der durch die Seite (C, J) definiert ist.

Mit dem Lemma von Yoneda ist es möglich zu zeigen, dass ein Vorbündel auf der Kategorie O (X) ein Bündel auf der Topologie ist, die oben definiert ist, wenn, und nur wenn es ein Bündel im klassischen Sinn ist.

Bündel auf einer Vortopologie haben eine besonders einfache Beschreibung: Für jede Bedeckungsfamilie {X  X}, das Diagramm

:

muss ein Equalizer sein. Für ein getrenntes Vorbündel muss der erste Pfeil nur injective sein.

Ähnlich kann man Vorbündel und Bündel von abelian Gruppen, Ringen, Modulen und so weiter definieren. Man kann verlangen, entweder dass ein Vorbündel F eine Kontravariante functor zur Kategorie von abelian Gruppen (oder Ringe oder Module, usw.) ist, oder dass F, eine abelian Gruppe (Ring, Modul, usw.) sein, in der Kategorie der ganzen Kontravariante functors von C bis die Kategorie von Sätzen protestieren. Diese zwei Definitionen sind gleichwertig.

Beispiele von Seiten

Die getrennten und homogenen Topologien

Lassen Sie C jede Kategorie sein. Um die getrennte Topologie zu definieren, erklären wir alle Siebe, Siebe zu bedecken. Wenn C alle fibered Produkte hat, ist das zum Erklären alle Familien gleichwertig, Familien zu bedecken. Um die homogene Topologie zu definieren, erklären wir nur die Siebe der Form Hom (− X), um Siebe zu bedecken. Die homogene Topologie ist auch bekannt als die größte oder chaotische Topologie, und es wird durch die Vortopologie erzeugt, die nur Isomorphismus hat, um Familien zu bedecken. Ein Bündel auf der homogenen Seite ist dasselbe Ding wie ein Vorbündel.

Die kanonische Topologie

Lassen Sie C jede Kategorie sein. Das Yoneda-Einbetten gibt functor Hom (− X) für jeden Gegenstand X von C. Die kanonische Topologie ist die größte solche Topologie dass jedes wiederpräsentable Vorbündel Hom (− X) ist ein Bündel. Wie man sagt, sind ein Bedeckungssieb oder Bedeckung der Familie für diese Seite ausschließlich allgemein epimorphic. Eine Topologie, die weniger fein ist als die kanonische Topologie, d. h. für den jedes Bedeckungssieb ausschließlich allgemein epimorphic ist, wird subkanonisch genannt. Subkanonische Seiten sind genau die Seiten für der jedes Vorbündel der Form Hom (− X) ist ein Bündel. Die meisten Seiten gestoßen sind in der Praxis subkanonisch.

Kleine Seite hat zu einem topologischen Raum verkehrt

Wir wiederholen das Beispiel, das wir mit dem obengenannten begonnen haben. Lassen Sie X ein topologischer Raum sein. Wir haben O (X) definiert, um die Kategorie zu sein, deren Gegenstände die offenen Sätze X sind, und dessen morphisms Einschließungen von offenen Sätzen sind. Die Bedeckungssiebe auf einem Gegenstand U O (X) waren jene Siebe S Zufriedenheit der folgenden Bedingung:

• Wenn W die Vereinigung aller Sätze V solch ist, dass S (V), dann W = U nichtleer ist.

Diese Topologie kann auch als eine Vortopologie natürlich ausgedrückt werden. Wir sagen, dass eine Familie von Einschließungen {V U} eine Bedeckungsfamilie sind, wenn, und nur wenn die Vereinigung V U gleichkommt. Diese Seite wird die kleine Seite genannt, die zu einem topologischen Raum X vereinigt ist.

Große Seite hat zu einem topologischen Raum verkehrt

Lassen Sie Spc die Kategorie aller topologischen Räume sein. In Anbetracht jeder Familie von Funktionen {u: V  X\, wir sagen, dass es eine surjective Familie ist, oder dass die morphisms u gemeinsam surjective sind, wenn u (V) X gleich ist. Wir definieren eine Vortopologie auf Spc, indem wir die Bedeckungsfamilien nehmen, um surjective Familien zu sein, alle sind dessen Mitglieder offene Immersionen. Lassen Sie S ein Sieb auf Spc sein. S ist ein Bedeckungssieb für diese Topologie wenn und nur wenn:

• Für den ganzen Y und jeden morphism f: Y  X in S (Y), dort besteht ein V und ein g: V  X solch, dass g eine offene Immersion, g ist, sind in S (V) und f Faktoren durch g.
• Wenn W die Vereinigung aller Sätze f (Y), wo f ist: Y  X ist in S (Y), dann W = X.

Befestigen Sie einen topologischen Raum X. Betrachten Sie die Komma-Kategorie als Spc/X von topologischen Räumen mit einer festen dauernden Karte zu X. Die Topologie auf Spc veranlasst eine Topologie auf Spc/X. Die Bedeckungssiebe und Bedeckung von Familien sind fast genau dasselbe; der einzige Unterschied ist, dass jetzt alle beteiligten Karten mit den festen Karten zu X pendeln. Das ist die große Seite, die zu einem topologischen Raum X vereinigt ist. Bemerken Sie, dass Spc die große zu einem Punkt-Raum vereinigte Seite ist. Diese Seite wurde zuerst von Jean Giraud betrachtet.

Die großen und kleinen Seiten einer Sammelleitung

Lassen Sie M eine Sammelleitung sein. M hat eine Kategorie von offenen Sätzen O (M), weil es ein topologischer Raum ist, und es eine Topologie als im obengenannten Beispiel bekommt. Für zwei offene Sätze U und V der M, das Faser-Produkt U × V ist der offene Satz U  V, der noch in O (M) ist. Das bedeutet, dass die Topologie auf O (M) durch eine Vortopologie, dieselbe Vortopologie wie zuvor definiert wird.

Lassen Sie Mfd die Kategorie aller Sammelleitungen und dauernder Karten sein. (Oder glatte Sammelleitungen und glatte Karten, oder echte analytische Sammelleitungen und analytische Karten, usw.) Mfd ist eine Unterkategorie von Spc, und offene Immersionen sind dauernd (oder glatt, oder, usw. analytisch), so erbt Mfd eine Topologie von Spc. Das lässt uns die große Seite der mannigfaltigen M als die Seite Mfd/M bauen. Wir können auch diese Topologie mit derselben Vortopologie definieren, die wir oben verwendet haben. Bemerken Sie, dass um (PT 0) zu befriedigen, wir das für jede dauernde Karte von Sammelleitungen X  Y und jede offene Teilmenge U Y, das fibered Produkt U &times überprüfen müssen; X ist in Mfd/M. Das ist gerade die Behauptung, dass das Vorimage eines offenen Satzes offen ist. Bemerken Sie jedoch, dass nicht alle fibered Produkte in Mfd bestehen, weil das Vorimage einer glatten Karte an einem kritischen Wert keine Sammelleitung zu sein braucht.

Topologien auf der Kategorie von Schemas

Die Kategorie von Schemas, angezeigtem Sch, hat eine enorme Zahl von nützlichen Topologien. Ein ganzes Verstehen von einigen Fragen kann das Überprüfen eines Schemas mit mehreren verschiedenen Topologien verlangen. Alle diese Topologien haben kleine und große Seiten vereinigt. Die große Seite wird durch die Einnahme der kompletten Kategorie von Schemas und ihrem morphisms zusammen mit den durch die Topologie angegebenen Bedeckungssieben gebildet. Die kleine Seite über ein gegebenes Schema wird gebildet, indem sie nur die Gegenstände und morphisms genommen wird, die ein Teil eines Deckels des gegebenen Schemas sind.

Der elementarste von diesen ist die Topologie von Zariski. Lassen Sie X ein Schema sein. X hat einen zu Grunde liegenden topologischen Raum, und dieser topologische Raum bestimmt eine Topologie von Grothendieck. Die Topologie von Zariski auf Sch wird durch die Vortopologie erzeugt, deren bedeckende Familien gemeinsam surjective Familien von mit dem Schema theoretischen offenen Immersionen sind. Die Bedeckung siebt S für Zar werden durch die folgenden zwei Eigenschaften charakterisiert:

Für den ganzen Y und jeden morphism f: Y  X in S (Y), dort besteht ein V und ein g: V  X solch, dass g eine offene Immersion, g ist, sind in S (V) und f Faktoren durch g.Wenn W die Vereinigung aller Sätze f (Y), wo f ist: Y  X ist in S (Y), dann W = X.

Trotz ihrer äußeren Ähnlichkeiten ist die Topologie auf Zar nicht die Beschränkung der Topologie auf Spc! Das ist, weil es morphisms von Schemas gibt, die topologisch offene Immersionen sind, aber die nicht mit dem Schema theoretische offene Immersionen sind. Lassen Sie zum Beispiel A ein nichtreduzierter Ring sein und N sein Ideal von nilpotents sein zu lassen. Die Quotient-Karte Ein  A/N veranlasst eine Karte-Spekulation A/N  Spekulation, der die Identität auf zu Grunde liegenden topologischen Räumen ist. Um eine mit dem Schema theoretische offene Immersion zu sein, muss es auch einen Isomorphismus auf Struktur-Bündeln veranlassen, die diese Karte nicht tut. Tatsächlich ist diese Karte eine geschlossene Immersion.

Die étale Topologie ist feiner als die Topologie von Zariski. Es war die erste nah zu studierende Topologie von Grothendieck. Seine bedeckenden Familien sind gemeinsam surjective Familien von étale morphisms. Es ist feiner als die Topologie von Nisnevich, aber weder feiner noch rauer als der cdh und l′ Topologien.

Es gibt zwei flache Topologien, die fppf Topologie und die fpqc Topologie. fppf, tritt und in dieser Topologie ein, ein morphism von affine Schemas ist eine Bedeckung morphism, wenn es der begrenzten Präsentation treu flach ist und quasibegrenzt ist. fpqc, tritt und in dieser Topologie ein, ein morphism von affine Schemas ist eine Bedeckung morphism, wenn es treu flach ist. In beiden Kategorien wird eine Bedeckungsfamilie definiert, eine Familie sein, die ein Deckel auf Zariski offene Teilmengen ist. In der fpqc Topologie ist jeder treu flache und quasikompakte morphism ein Deckel. Diese Topologien sind nah mit dem Abstieg verbunden. Die fpqc Topologie ist feiner als alle Topologien, die oben erwähnt sind, und sie ist sehr der kanonischen Topologie nah.

Grothendieck hat kristallenen cohomology eingeführt, um den P-Verdrehungsteil des cohomology von Varianten der Eigenschaft p zu studieren. In der kristallenen Topologie, die die Basis dieser Theorie ist, werden bedeckende Karten durch unendlich kleinen thickenings zusammen mit geteilten Macht-Strukturen gegeben. Die kristallenen Deckel eines festen Schemas bilden eine Kategorie ohne Endgegenstand.

Dauernd und cocontinuous functors

Es gibt zwei natürliche Typen von functors zwischen Seiten. Ihnen wird durch functors gegeben, die mit der Topologie im gewissen Sinne vereinbar sind.

Dauernder functors

Wenn (C, J) und (D, K) Seiten und u sind: C  ist D ein functor, dann ist u dauernd, wenn für jedes Bündel F auf D in Bezug auf die Topologie K das Vorbündel Fu ein Bündel in Bezug auf die Topologie J ist. Dauernde functors veranlassen functors zwischen dem entsprechenden topoi durch das Senden eines Bündels F zu Fu. Diese functors werden pushforwards genannt. Wenn und den topoi anzeigen, der zu C und D vereinigt ist, dann ist der pushforward functor.

u gibt zu, dass ein linker adjoint u das Hemmnis genannt hat. u braucht Grenzen, sogar begrenzte Grenzen nicht zu bewahren.

Ebenso sendet u ein Sieb auf einem Gegenstand X von C zu einem Sieb auf dem Gegenstand uX von D. Ein dauernder functor sendet Bedeckung von Sieben an die Bedeckung von Sieben. Wenn J die Topologie ist, die durch eine Vortopologie definiert ist, und wenn u mit fibered Produkten pendelt, dann ist u dauernd, wenn, und nur wenn es Bedeckung von Sieben an die Bedeckung von Sieben sendet, und wenn, und nur wenn es Bedeckung von Familien an die Bedeckung von Familien sendet. Im Allgemeinen ist es für u nicht genügend, Bedeckung von Sieben an die Bedeckung von Sieben zu senden (sieh SGA IV 3, 1.9.3).

Cocontinuous functors

Lassen Sie wieder (C, J) und (D, K) Seiten und v sein: C  D, ein functor sein. Wenn X ein Gegenstand von C ist und R ein Sieb auf vX ist, dann kann R zu einem Sieb S wie folgt zurückgezogen werden: Ein morphism f: Z  X ist in S wenn und nur wenn v (f): VZ  vX ist in R. Das definiert ein Sieb. v ist cocontinuous, wenn, und nur wenn für jeden Gegenstand X von C und jeder Bedeckung R von vX sieben, das Hemmnis S R ein Bedeckungssieb auf X ist.

Die Zusammensetzung mit v sendet ein Vorbündel F auf D zu einem Vorbündel Fv auf C, aber wenn v cocontinuous ist, braucht das nicht Bündel an Bündel zu senden. Jedoch lässt dieser functor auf Vorbündel-Kategorien, gewöhnlich angezeigt, ein Recht adjoint zu. Dann ist v cocontinuous, wenn, und nur wenn Bündel an Bündel sendet, d. h. wenn, und nur wenn es auf einen functor einschränkt. In diesem Fall ist die Zusammensetzung mit dem verbundenen Bündel functor ein linker adjoint von angezeigtem v von v. Außerdem bewahrt v begrenzte Grenzen, so bestimmen der adjoint functors v und v einen geometrischen morphism von topoi.

Morphisms von Seiten

Ein dauernder functor u: C  ist D ein morphism von Seiten D  C (nicht C  D), wenn u begrenzte Grenzen bewahrt. In diesem Fall bestimmen u und u einen geometrischen morphism von topoi. Das Denken hinter der Tagung, dass, wie man sagt, ein dauernder functor C  D einen morphism von Seiten in der entgegengesetzten Richtung bestimmt, besteht darin, dass das mit der Intuition übereinstimmt, die aus dem Fall von topologischen Räumen kommt. Eine dauernde Karte von topologischen Räumen X  Y bestimmt einen dauernden functor O (Y)  O (X). Da, wie man sagt, die ursprüngliche Karte auf topologischen Räumen X an Y sendet, wird der morphism von Seiten ebenso gesagt.

Ein besonderer Fall davon geschieht, wenn ein dauernder functor einen linken adjoint zulässt. Nehmen Sie dass u an: C  D und v: D  sind C functors mit dem u Recht adjoint zu v. Dann ist u dauernd, wenn, und nur wenn v cocontinuous ist, und wenn das geschieht, u zu v natürlich isomorph ist und u zu v natürlich isomorph ist. Insbesondere u ist ein morphism von Seiten.

Bibliografie

• verfügbar an der Website von Nisnevich