In der Mathematik ist eine konkrete Kategorie eine Kategorie, die mit einem treuen functor zur Kategorie von Sätzen ausgestattet wird. Dieser functor macht es möglich, an die Gegenstände der Kategorie als Sätze mit der zusätzlichen Struktur, und seines morphisms zu denken, weil Struktur-Bewahrung fungiert. Viele wichtige Kategorien haben offensichtliche Interpretationen als konkrete Kategorien, zum Beispiel die Kategorie von topologischen Räumen und die Kategorie von Gruppen, und trivial auch die Kategorie von Sätzen selbst. Andererseits ist die homotopy Kategorie von topologischen Räumen nicht concretizable, d. h. sie lässt keinen treuen functor zur Kategorie von Sätzen zu.

Eine konkrete Kategorie, wenn definiert, ohne Berücksichtigung des Begriffs einer Kategorie, besteht aus einer Klasse von Gegenständen, jeder, der mit einem zu Grunde liegenden Satz ausgestattet ist; und für irgendwelche zwei Gegenstände A und B eine Reihe von Funktionen, genannt morphisms, vom zu Grunde liegenden Satz zum zu Grunde liegenden Satz von B. Außerdem, für jeden Gegenstand A, muss die Identitätsfunktion auf dem zu Grunde liegenden Satz von A ein morphism von bis A sein, und die Zusammensetzung eines morphism von bis B, der von einem morphism von B bis C gefolgt ist, muss ein morphism von bis C sein.

Definition

Eine konkrete Kategorie ist ein Paar (C, U) solch dass

• C ist eine Kategorie und
• U ist ein treuer functor C  Satz (die Kategorie von Sätzen und Funktionen).

Vom functor U soll als ein vergesslicher functor gedacht werden, der jedem Gegenstand von C seinen "zu Grunde liegenden Satz", und zu jedem morphism in C seine "zu Grunde liegende Funktion" zuteilt.

Eine Kategorie C ist concretizable, wenn dort eine konkrete Kategorie (C, U) besteht;

d. h., wenn dort ein treuer functor U:C  Satz besteht. Alle kleinen Kategorien sind concretizable: Definieren Sie U, so dass sein Gegenstand-Teil jeden Gegenstand b C zum Satz des ganzen morphisms von C kartografisch darstellt, dessen codomain b ist (d. h. der ganze morphisms der Form f: Ein  b für jeden Gegenstand C), und sein morphism Teil stellt jeden morphism g kartografisch dar: b  c C zur Funktion U (g): U (b)  U (c), der jedes Mitglied f kartografisch darstellt: ein  b U (b) zur Zusammensetzung gf: ein  c, ein Mitglied von U (c). (Artikel 6 unter Weiteren Beispielen drückt denselben U auf der weniger elementaren Sprache über Vorbündel aus.) Stellt die Gegenbeispiel-Abteilung zwei große Kategorien aus, die nicht concretizable sind.

Bemerkungen

Es ist wichtig zu bemerken, dass, gegen die Intuition, Greifbarkeit nicht ein Eigentum ist, das eine Kategorie kann oder nicht befriedigen kann, aber eher eine Struktur, mit der eine Kategorie kann oder nicht ausgestattet werden darf. Insbesondere eine Kategorie C kann mehrere treue functors in den Satz zulassen. Folglich kann es mehrere konkrete Kategorien (C, U) alle entsprechend derselben Kategorie C. geben

In der Praxis, jedoch, ist die Wahl von treuem functor häufig klar, und in diesem Fall sprechen wir einfach von der "konkreten Kategorie C". Zum Beispiel "bedeutet der konkrete Kategorie-Satz" das Paar (Satz, I), wo ich die Identität functor Satz  Satz anzeige.

Die Voraussetzung, dass U, treu sein, bedeutet, dass er verschiedenen morphisms zwischen denselben Gegenständen zu verschiedenen Funktionen kartografisch darstellt. Jedoch kann U verschiedene Gegenstände zu demselben Satz kartografisch darstellen und, wenn das vorkommt, wird es auch verschiedenen morphisms zu derselben Funktion kartografisch darstellen.

Zum Beispiel, wenn S und T zwei verschiedene Topologien auf demselben Satz X, dann sind

(X, S), und (X, T) sind verschiedene Gegenstände in der Kategorie-Spitze von topologischen Räumen und dauernden Karten, aber kartografisch dargestellt zu demselben Satz X durch die vergessliche functor Spitze  Satz. Außerdem werden die Identität morphism (X, S)  (X, S) und die Identität morphism (X, T)  (X, T) als verschiedener morphisms in der Spitze betrachtet, aber sie haben dieselbe zu Grunde liegende Funktion, nämlich die Identitätsfunktion auf X.

Ähnlich kann jeder Satz mit 4 Elementen zwei nichtisomorphe Gruppenstrukturen gegeben werden: ein isomorpher dazu; anderes isomorphes dazu.

Weitere Beispiele

1. Jede Gruppe G kann als eine "abstrakte" Kategorie mit einem Gegenstand, und ein morphism für jedes Element der Gruppe betrachtet werden. Das würde als Beton gemäß dem intuitiven an der Oberseite von diesem Artikel beschriebenen Begriff nicht aufgezählt. Aber jeder treue G-Satz (gleichwertig, jede Darstellung von G als eine Gruppe von Versetzungen) bestimmen einen treuen functor G  Satz. Da jede Gruppe treu auf sich handelt, kann G in eine konkrete Kategorie auf mindestens eine Weise gemacht werden.
2. Ähnlich kann jeder poset P als eine abstrakte Kategorie mit einem einzigartigen Pfeil x  y wann auch immer x  y betrachtet werden. Das kann konkret durch das Definieren eines functor D gemacht werden: P  Satz, der jeden Gegenstand x zu und jeden Pfeil x  y zur Einschließungskarte kartografisch darstellt.
3. Die Kategorie Rel, dessen Gegenstände Sätze sind, und dessen morphisms Beziehungen sind, kann konkret durch das Bringen U gemacht werden, um jeden Satz X zu seinem Macht-Satz und jeder Beziehung zur Funktion kartografisch darzustellen, die dadurch definiert ist. Bemerkend, dass Macht-Sätze ganze Gitter unter der Einschließung sind, sind jene Funktionen zwischen ihnen, aus etwas Beziehung R entstehend, auf diese Weise genau die Supremum bewahrenden Karten. Folglich ist Rel zu einer vollen Unterkategorie des Kategorie-Munds voll von ganzen Gittern und ihren Mund voll bewahrenden Karten gleichwertig. Umgekehrt von dieser Gleichwertigkeit anfangend, können wir U als zerlegbarer Rel  Mund voll  Satz des vergesslichen functor für den Mund voll mit diesem Einbetten von Rel im Mund voll wieder erlangen.
4. Der Kategorie-Satz kann in Rel durch das Darstellen jedes Satzes als selbst und jeder Funktion f eingebettet werden: X  Y als die Beziehung von Y bis X haben sich als der Satz von Paaren (f (x), x) für den ganzen x  X geformt; folglich ist Satz concretizable. Der vergessliche functor, der auf diese Weise entsteht, ist die Kontravariante powerset functor Satz  Satz.
5. Es folgt aus dem vorherigen Beispiel, dass das Gegenteil jeder concretizable Kategorie C wieder concretizable seitdem ist, wenn U ein treuer functor C  ist, Satz dann kann C mit der Zusammensetzung C  Satz  Satz ausgestattet werden.
6. Wenn C eine kleine Kategorie ist, dann dort besteht ein treuer functor P: Satz  Satz, der ein Vorbündel X zum coproduct kartografisch darstellt. Indem man das mit Yoneda zusammensetzt, der Y:C  Satz einbettet, erhält man einen treuen functor C  Satz.
7. Aus technischen Gründen werden das Kategorie-Verbot von Banachräumen und die geradlinigen Zusammenziehungen häufig nicht mit dem "offensichtlichen" vergesslichen functor, aber dem functor U ausgestattet: Verbieten Sie -Satz, der einen Banachraum zu seinem (geschlossenen) Einheitsball kartografisch darstellt.

Gegenbeispiele

Die Kategorie hTop, wo die Gegenstände topologische Räume und der morphisms sind, ist homotopy Klassen von dauernden Funktionen, ist ein Beispiel einer Kategorie, die nicht concretizable ist.

Während die Gegenstände Sätze sind (mit der zusätzlichen Struktur), sind die morphisms nicht wirkliche Funktionen zwischen ihnen, aber eher Klassen von Funktionen.

Die Tatsache, dass dort kein treuer functor von hTop besteht, um Unterzugehen, wurde zuerst von Peter Freyd bewiesen.

In demselben Artikel zitiert Freyd ein früheres Ergebnis, dass die Kategorie "kleiner Kategorien und natürlichen Gleichwertigkeitsklassen von functors" auch scheitern, concretizable zu sein.

Implizite Struktur von konkreten Kategorien

In Anbetracht einer konkreten Kategorie (C, U) und eine Grundzahl N, lassen U der functor C  Satz sein, der durch U (c) = (U (c)) bestimmt ist.

Dann wird ein subfunctor von U ein N-stufiges Prädikat und einen genannt

natürliche Transformation U  U eine N-stufige Operation.

Die Klasse aller N-stufigen Prädikate und N-stufiger Operationen einer konkreten Kategorie (C, U), mit N, der sich über die Klasse aller Grundzahlen erstreckt, bildet eine große Unterschrift. Die Kategorie von Modellen für diese Unterschrift enthält dann eine volle Unterkategorie, die zu C. gleichwertig

ist

Verhältnisgreifbarkeit

In einigen Teilen der Kategorie-Theorie, am meisten namentlich topos Theorie, ist es üblich, den Kategorie-Satz durch eine verschiedene Kategorie X, häufig genannt eine Grundkategorie zu ersetzen.

Deshalb hat es Sinn, ein Paar zu nennen (C, U), wo C eine Kategorie und U ein treuer functor C  X eine konkrete Kategorie mehr als X ist.

Zum Beispiel kann es nützlich sein, an die Modelle einer Theorie mit N Sorten als das Formen einer konkreten Kategorie über den Satz zu denken.

In diesem Zusammenhang wird eine konkrete Kategorie über den Satz manchmal eine Konstruktion genannt.

Zeichen

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstrakte und Konkrete Kategorien (4.2 Mb PDF). Ursprünglich publ. John Wiley & Sons. Internationale Standardbuchnummer 0-471-60922-6. (jetzt freie Online-Ausgabe).
• Freyd, Peter; (1970). Homotopy ist nicht konkret. Ursprünglich veröffentlicht in: Die Steenrod Algebra und seine Anwendungen, Springer-Vortrag-Zeichen in der Mathematik Vol. 168. Neu veröffentlicht in einer freien Online-Zeitschrift: Nachdrücke in der Theorie und den Anwendungen von Kategorien, Nr. 6 (2004), mit der Erlaubnis des Springers-Verlag.
• Rosický, Jiří; (1981). Konkrete Kategorien und infinitary Sprachen. Zeitschrift der Reinen und Angewandten Algebra, des Bands 22, der Ausgabe 3.