In der Mathematik ist ein nirgends dichter Satz in einem topologischen Raum ein Satz, dessen Verschluss leeres Interieur hat. Die Ordnung von Operationen ist wichtig. Zum Beispiel, der Satz von rationalen Zahlen, weil eine Teilmenge von R das Eigentum hat, dass der Verschluss des Interieurs leer ist, aber es ist nicht nirgends dicht; tatsächlich ist es in R dicht.

Die Umgebungsraumsachen: Ein Satz A, kann wenn betrachtet, als ein Subraum eines topologischen Raums X, aber nicht wenn betrachtet, als ein Subraum eines anderen topologischen Raums Y nirgends dicht sein. Ein nirgends dichter Satz ist immer an sich dicht.

Jede Teilmenge eines nirgends dichten Satzes, ist und die Vereinigung von begrenzt vielen nirgends nirgends dicht dichte Sätze sind nirgends dicht. D. h. die nirgends dichten Sätze bilden ein Ideal von Sätzen, einen passenden Begriff des unwesentlichen Satzes. Die Vereinigung von zählbar vielen nirgends dichte Sätze braucht jedoch nirgends dicht zu sein. (So brauchen die nirgends dichten Sätze kein Sigma-Ideal zu bilden.) Statt dessen wird solch eine Vereinigung einen mageren Satz oder die eine Reihe ersten Kategorie genannt. Das Konzept ist wichtig, um den Kategorie-Lehrsatz von Baire zu formulieren.

Offen und geschlossen

• Ein nirgends dichter Satz braucht nicht geschlossen zu werden (zum Beispiel, der Satz ist im reals nirgends dicht), aber wird in einem nirgends dichten geschlossenen Satz, nämlich sein Verschluss richtig enthalten (der 0 zum Satz beitragen würde). Tatsächlich ist ein Satz nirgends dicht, wenn, und nur wenn sein Verschluss nirgends dicht ist.
• Die Ergänzung eines geschlossenen nirgends ist dichter Satz ein dichter offener Satz, und so ist die Ergänzung eines nirgends dichten Satzes ein Satz mit dem dichten Interieur.
• Die Grenze jedes offenen Satzes wird geschlossen und nirgends dicht.
• Jeder geschlossene nirgends dichter Satz ist die Grenze eines offenen Satzes.

Nirgends dichte Sätze mit dem positiven Maß

Ein nirgends dichter Satz ist in jedem Sinn nicht notwendigerweise unwesentlich. Zum Beispiel, wenn X der Einheitszwischenraum [0,1] ist, nicht nur ist es möglich, einen dichten Satz von der Maß-Null von Lebesgue (wie der Satz von rationals) zu haben, aber es ist auch möglich, einen nirgends dichten Satz mit dem positiven Maß zu haben.

Für ein Beispiel (ist eine Variante des Kantoren untergegangen), ziehen Sie von [0,1] alle dyadischen Bruchteile, d. h. Bruchteile der Form a/2 in niedrigsten Begriffen für positive ganze Zahlen a und n und die Zwischenräume um sie um: [A/2 − 1/2, a/2 + 1/2]. Seitdem für jeden n entfernt das Zwischenräume, die sich am grössten Teil von 1/2, der nirgends dichte Satz belaufen, der bleibt, nachdem alle diese Zwischenräume entfernt worden sind, hat Maß mindestens 1/2 (tatsächlich gerade mehr als 0.535... wegen Übergreifen) und vertritt also gewissermaßen die Mehrheit des umgebenden Raums [0,1].

Diese Methode verallgemeinernd, kann man im Einheitszwischenraum nirgends dichte Sätze jedes Maßes weniger als 1 bauen.

Siehe auch

• Raum von Baire
• Fetter Kantor hat gesetzt

Links

• Einige nirgends dichte Sätze mit dem positiven Maß