In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der negative binomische Vertrieb ein getrennter Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Zahl von Erfolgen in einer Folge von Proben von Bernoulli vor einer angegebenen (nichtzufälligen) Zahl von Misserfolgen (hat r angezeigt) kommen vor. Zum Beispiel, wenn man ein Sterben wiederholt wirft, bis das dritte Mal "1" erscheint, dann wird der Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Zahl nicht - "1" s, der erschienen war, negatives Binom sein.

Der Vertrieb von Pascal (nach Blaise Pascal) und Vertrieb von Polya (für George Pólya) sind spezielle Fälle des negativen Binoms. Es gibt eine Tagung unter Ingenieuren, Klimaforschern und anderen, um "negatives Binom" in einem strengen Sinn oder "Pascal" für den Fall eines auf die ganze Zahl geschätzten Arbeitsschluss-Parameters r vorzubestellen, und "Polya" für den reellwertigen Fall zu verwenden. Der Polya Vertrieb genauer Musterereignisse von "ansteckenden" getrennten Ereignissen, wie Tornado-Ausbrüche, als der Vertrieb von Poisson.

Definition

Nehmen Sie an, dass es eine Folge von unabhängigen Proben von Bernoulli, jeder Probe gibt, die zwei potenzielle Ergebnisse "Erfolg" und "Misserfolg" nennt. In jeder Probe ist die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs p, und des Misserfolgs ist (1  p). Wir beobachten diese Folge, bis eine vorherbestimmte Nummer r von Misserfolgen vorgekommen ist. Dann wird die Zufallszahl von Erfolgen, die wir, X gesehen haben, das negative Binom (oder Pascal) Vertrieb haben:

:

X\\sim\\text {NB} (r, \, p)

</Mathematik>

Wenn angewandt, auf wirkliche Situationen brauchen der Worterfolg und Misserfolg nicht mit Ergebnissen notwendigerweise vereinigt zu werden, die wir als gut oder schlecht sehen. Sagen Sie in einem Fall wir können den negativen binomischen Vertrieb verwenden, um die Zahl von Tagen zu modellieren, eine bestimmte Maschine arbeitet, bevor es zusammenbricht. In solch einem Fall "Erfolg" würde bedeuten, dass die Maschine richtig arbeitete, wohingegen "Misserfolg" bedeuten würde, dass es zusammengebrochen ist. In einem anderen Fall können wir den negativen binomischen Vertrieb verwenden, um die Zahl von für einen Sportler erforderlichen Versuchen zu modellieren, um eine Absicht einzukerben. Dann würde "Misserfolg" sein/ihr Zählen der Absicht sein, wohingegen "Erfolge" Fräulein sind.

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion des negativen binomischen Vertriebs ist

:

f (k) \equiv \Pr (X = k) = {k+r-1 \choose k} (1-p) ^r P^k \quad\text {für} k = 0, 1, 2, \dots

</Mathematik>

Hier ist die Menge in Parenthesen der binomische Koeffizient, und ist gleich

:

{k+r-1 \choose k} = \frac {(k+r-1)!} {k! \, (r-1)!} = \frac {(k+r-1) (k+r-2) \cdots (r)} {k!}.

</Mathematik>

Diese Menge kann auf die folgende Weise wechselweise geschrieben werden, den Namen "negatives Binom" erklärend:

:

\frac {(k+r-1) \cdots (r)} {k!} = (-1) ^k \frac {(-r) (-r-1) (-r-2) \cdots (-r-k+1)} {k!} = (-1) ^k {-r \choose k}.

\qquad (*)

</Mathematik>

Um die obengenannte Definition der Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion zu verstehen, bemerken Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für jede spezifische Folge von k Erfolgen und r Misserfolgen ist, weil die Ergebnisse des k + r Proben unabhängig geschehen sollen. Da der r Misserfolg letzt kommt, muss es, die k Proben mit Erfolgen aus dem restlichen k + r  1 Proben zu wählen. Der obengenannte binomische Koeffizient, wegen seiner kombinatorischen Interpretation, gibt genau die Zahl aller dieser Folgen der Länge k + r  1.

Erweiterung auf reellwertigen r

Es ist möglich, die Definition des negativen binomischen Vertriebs zum Fall eines positiven echten Parameters r zu erweitern. Obwohl es unmöglich ist, sich eine Zahl der nichtganzen Zahl von "Misserfolgen" zu vergegenwärtigen, können wir noch den Vertrieb durch seine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion formell definieren.

Wie zuvor sagen wir, dass X ein negatives Binom (oder Pólya) Vertrieb hat, wenn es eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion hat:

: f (k) \equiv \Pr (X = k) = {k+r-1 \choose k} (1-p) ^r P^k \quad\text {für} k = 0, 1, 2, \dots </Mathematik>

Hier ist r eine echte, positive Zahl. Der binomische Koeffizient wird dann durch die multiplicative Formel definiert und kann auch mit der Gammafunktion umgeschrieben werden:

:

{k+r-1 \choose k} = \frac {(k+r-1) (k+r-2) \cdots (r)} {k!} = \frac {\\Gamma (k+r)} {k! \, \Gamma (r)}.

</Mathematik>

Bemerken Sie das durch die binomische Reihe und (*) oben für jeden

</Mathematik>

Jetzt, wenn wir die Grenze als r   denken, wird der zweite Faktor zu einem und dem dritten zur Hochzahl-Funktion zusammenlaufen:

:

\lim_ {r\to\infty} f (k) = \frac {\\lambda^k} {k!} \cdot 1 \cdot \frac {1} {e^\\Lambda},

</Mathematik>

der die Massenfunktion einer Poisson-verteilten zufälligen Variable mit dem erwarteten Wert λ ist.

Mit anderen Worten läuft der wechselweise parametrisierte negative binomische Vertrieb zum Vertrieb von Poisson zusammen, und r kontrolliert die Abweichung vom Poisson. Das macht den negativen binomischen Vertrieb passend als eine robuste Alternative zum Poisson, der sich dem Poisson für großen r nähert, aber der größere Abweichung hat als der Poisson für kleinen r.

:

\text {Poisson} (\lambda) = \lim_ {r \to \infty} \text {NB }\\Groß (r, \\frac {\\Lambda} {\\lambda+r }\\Groß).

</Mathematik>

Mischung von Gamma-Poisson

Der negative binomische Vertrieb entsteht auch als eine dauernde Mischung des Vertriebs von Poisson (d. h. ein zusammengesetzter Wahrscheinlichkeitsvertrieb), wo der sich vermischende Vertrieb der Rate von Poisson ein Gammavertrieb ist. D. h. wir können das negative Binom als ein Vertrieb ansehen, wo λ selbst eine zufällige Variable ist, die gemäß verteilt ist.

Formell bedeutet das, dass die Massenfunktion des negativen binomischen Vertriebs als geschrieben werden kann

:

f (k) & = \int_0^\\infty f_ {\\Text {Poisson} (\lambda)} (k) \cdot f_ {\\Text {Gamma ist }\\(r, \, \frac {p} {1-p }\\Recht)} (\lambda) \abgereist; \mathrm {d }\\Lambda \\[8pt]

& = \int_0^\\infty \frac {\\lambda^k} {k!} E^ {-\lambda} \cdot \lambda^ {r-1 }\\frac {e^ {-\lambda (1-p)/p}} {\\groß (\frac {p} {1-p }\\groß) ^r \,\Gamma (r)} \; \mathrm {d }\\Lambda \\[8pt]

& = \frac {(1-p) ^r P^ {-r}} {k! \, \Gamma (r)} \int_0^\\infty \lambda^ {r+k-1} E^ {-\lambda/p} \; \mathrm {d }\\Lambda \\[8pt]

& = \frac {(1-p) ^r P^ {-r}} {k! \, \Gamma (r)} \P^ {r+k} \, \Gamma (r+k) \\[8pt]

& = \frac {\\Gamma (r+k)} {k! \; \Gamma (r)} \; (1-p) ^r p^k.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Wegen dessen ist der negative binomische Vertrieb auch bekannt als das Gamma-Poisson (Mischung) Vertrieb.

Summe des geometrischen Vertriebs

Wenn Y eine zufällige Variable im Anschluss an den negativen binomischen Vertrieb mit Rahmen r und p und Unterstützung {0, 1, 2 ist...} dann ist Y eine Summe von r unabhängigen Variablen im Anschluss an den geometrischen Vertrieb (auf {0, 1, 2, 3...}) mit dem Parameter 1  p. Infolge des Hauptgrenzwertsatzes, Y (richtig erklettert und ausgewechselt) ist deshalb für genug großen r ungefähr normal.

Außerdem, wenn B eine zufällige Variable im Anschluss an den binomischen Vertrieb mit Rahmen s + r und 1 &minus ist; p, dann

: \begin {richten }\aus

\Pr (Y_r \leq s) & {} = 1 - I_p (s+1, r) \\

& {} = 1 - I_ {p} ((s+r) - (r-1), (r-1) +1) \\

& {} = 1 - \Pr (B_ {s+r} \leq r-1) \\

& {} = \Pr (B_ {s+r} \geq r) \\

& {} = \Pr (\text {danach} s+r \text {Proben, es gibt mindestens} r \text {Erfolge}).

\end {richten }\aus</Mathematik>

In diesem Sinn ist der negative binomische Vertrieb das "Gegenteil" des binomischen Vertriebs.

Die Summe von unabhängigen negativen binomisch verteilten zufälligen Variablen r und r mit demselben Wert für den Parameter p ist verteilt mit demselben p, aber mit "dem R-Wert" r + r negativ binomisch.

Der negative binomische Vertrieb ist ungeheuer teilbar, d. h., wenn Y einen negativen binomischen Vertrieb hat, dann für jede positive ganze Zahl n, dort bestehen Sie unabhängige identisch verteilte zufällige Variablen Y..., Y, dessen Summe denselben Vertrieb hat, den Y hat.

Darstellung als Zusammensetzung Vertrieb von Poisson

Der negative binomische Vertrieb kann NB (r, p) als eine Zusammensetzung Vertrieb von Poisson vertreten werden: Lassen Sie} zeigen eine Folge von unabhängigen an und hat identisch zufällige Variablen verteilt, jeder, den logarithmischen Vertriebsklotz (p) mit der Wahrscheinlichkeitsmasse habend, fungiert

:

Lassen Sie N eine zufällige Variable sein, die der Folge unabhängig ist, und anzunehmen, dass N einen Vertrieb von Poisson mit dem Parameter hat. Dann die zufällige Summe

:

ist NB (r, p) - verteilt. Um das zu beweisen, berechnen wir die Wahrscheinlichkeitserzeugen-Funktion G X, der die Zusammensetzung der Wahrscheinlichkeitserzeugen-Funktionen G und G ist. Das Verwenden

:und:

wir erhalten

:

&=G_N (G_ {Y_1} (z)) \\

&= \exp\biggl (\lambda\biggl (\frac {\\ln (1-pz)} {\\ln (1-p)}-1\biggr) \biggr) \\

&= \exp\bigl (-r (\ln (1-pz)-\ln (1-p)) \bigr) \\

&= \biggl (\frac {1-p} {1-pz }\\biggr) ^r, \qquad |z |

der die Wahrscheinlichkeitserzeugen-Funktion des NB (r, p) Vertrieb ist.

Eigenschaften

Kumulative Vertriebsfunktion

Die kumulative Vertriebsfunktion kann in Bezug auf die normalisierte unvollständige Beta-Funktion ausgedrückt werden:

:

F (k) \equiv \Pr (X\le k) = 1 - I_ {p} (k+1, r). \!

</Mathematik>

Die Stichprobenerhebung und Punktschätzung von p

Nehmen Sie an, dass p unbekannt ist und ein Experiment durchgeführt wird, wo es vorzeitig entschieden wird, dass Stichprobenerhebung weitergehen wird, bis r Erfolge werden gefunden. Ein genügend statistischer für das Experiment ist k, die Zahl von Misserfolgen.

Im Schätzen p die minimale Abweichung ist unvoreingenommener Vorkalkulator

:

Die maximale Wahrscheinlichkeitsschätzung von p ist

:

aber das ist eine voreingenommene Schätzung. Sein Gegenteil (r + k)/r, ist eine unvoreingenommene Schätzung von 1/p jedoch.

Beziehung zum binomischen Lehrsatz

Nehmen Sie an, dass Y eine zufällige Variable mit einem binomischen Vertrieb mit Rahmen n und p ist. Nehmen Sie p + q = 1, mit p, q> =0 an. Dann bezieht der binomische Lehrsatz das ein

:

Mit dem binomischen Lehrsatz des Newtons kann das als ebenso geschrieben werden:

:

in dem das der Summierung gebundene obere unendlich ist. In diesem Fall, der binomische Koeffizient

:

wird definiert, wenn n eine reelle Zahl statt gerade einer positiven ganzen Zahl ist. Aber in unserem Fall des binomischen Vertriebs ist es Null wenn k> n. Wir können dann, zum Beispiel sagen

:

Nehmen Sie jetzt r> 0 an, und wir verwenden eine negative Hochzahl:

:

Dann sind alle Begriffe, und der Begriff positiv

:

ist gerade die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl von Misserfolgen vor dem rth Erfolg k gleich ist, ist zur Verfügung gestellter r eine ganze Zahl. (Wenn r eine negative nichtganze Zahl ist, so dass die Hochzahl eine positive nichtganze Zahl ist, dann sind einige der Begriffe in der Summe oben negativ, so haben wir keinen Wahrscheinlichkeitsvertrieb auf dem Satz aller natürlichen Zahlen.)

Jetzt erlauben wir auch Werte der nichtganzen Zahl von r. Dann haben wir einen richtigen negativen binomischen Vertrieb, der eine Generalisation des Vertriebs von Pascal ist, der mit dem Vertrieb von Pascal zusammenfällt, wenn r zufällig eine positive ganze Zahl ist.

Rufen Sie vom obengenannten das zurück

Die:The-Summe von unabhängigen negativen binomisch verteilten zufälligen Variablen r und r mit demselben Wert für den Parameter p ist verteilt mit demselben p, aber mit "dem R-Wert" r + r negativ binomisch.

Dieses Eigentum dauert an, wenn die Definition so verallgemeinert wird, und eine schnelle Weise gewährt zu sehen, dass der negative binomische Vertrieb ungeheuer teilbar ist.

Parameter-Bewertung

Maximale Wahrscheinlichkeitsbewertung

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für N iid Beobachtungen (k..., k) ist

:

von dem wir die Funktion der Klotz-Wahrscheinlichkeit berechnen

:

Um das Maximum zu finden, nehmen wir die partiellen Ableitungen in Bezug auf r und p und setzen sie gleich der Null:

: und:wo

: ist die Digamma-Funktion.

Das Lösen der ersten Gleichung für p gibt:

:

Das Ersetzen davon in der zweiten Gleichung gibt:

:

Diese Gleichung kann in der geschlossenen Form nicht gelöst werden. Wenn eine numerische Lösung gewünscht wird, kann eine wiederholende Technik wie die Methode von Newton verwendet werden.

Beispiele

Verkauf von Süßigkeiten

Pat ist erforderlich, Süßigkeiten-Bars zu verkaufen, um Geld für die 6. Rang-Exkursion zu erheben. Es gibt dreißig Häuser in der Nachbarschaft, und Pat soll nach Hause nicht zurückkehren, bis fünf Süßigkeiten-Bars verkauft worden sind. So geht das Kind Tür zur Tür, Süßigkeiten-Bars verkaufend. In jedem Haus gibt es eine 0.4 Wahrscheinlichkeit, eine Süßigkeiten-Bar und eine 0.6 Wahrscheinlichkeit des Verkaufs von nichts zu verkaufen.

Was ist die Wahrscheinlichkeit des Verkaufs die letzte Süßigkeiten-Bar im n Haus?

Rufen Sie zurück, dass NegBin (r, p) Vertrieb die Wahrscheinlichkeit von k Misserfolgen und r Erfolgen in k + r Bernoulli (p) Proben mit dem Erfolg auf der letzten Probe beschreibt. Der Verkauf von fünf Süßigkeiten-Bars bedeutet, fünf Erfolge zu bekommen. Die Zahl von Proben (d. h. Häuser) das nimmt ist deshalb k + 5 = n. Die zufällige Variable, für die wir uns interessieren, ist die Zahl von Häusern, so setzen wir k = n &minus ein; 5 in NegBin (5, 0.4) Masse fungieren und erhalten die folgende Massenfunktion des Vertriebs von Häusern (für n  5):

:

Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass Pat auf dem zehnten Haus fertig ist?

:

Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass Pat auf oder vor dem Erreichen des achten Hauses fertig ist?

Um auf oder vor dem achten Haus fertig zu sein, muss Pat im fünften, sechsten, siebenten oder achten Haus fertig sein. Summieren Sie jene Wahrscheinlichkeiten:

:::::

Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass Pat alle 30 Häuser in der Nachbarschaft erschöpft?

Das kann als die Wahrscheinlichkeit ausgedrückt werden, dass Pat auf dem fünften durch das dreißigste Haus nicht fertig ist:

:

Polygynie in afrikanischen Gesellschaften

Daten auf der Polygynie unter einer breiten Reihe von traditionellen afrikanischen Gesellschaften weisen darauf hin, dass der Vertrieb von Frauen einer Reihe von binomischen Profilen folgt. Die Mehrheit von diesen ist negatives Binom, das den Grad der Konkurrenz für Frauen anzeigt. Jedoch neigen einige zu einem Vertrieb von Poisson und sogar darüber hinaus zu einem wahren Binom, einen Grad der Anpassung in der Zuteilung von Frauen anzeigend. Die weitere Analyse dieser Profile zeigt Verschiebungen entlang diesem Kontinuum zwischen mehr Wettbewerbsfähigkeit oder mehr Anpassung gemäß dem Alter des Mannes und auch gemäß dem Status von besonderen Sektoren innerhalb einer Gesellschaft an. Auf diese Weise stellt dieser binomische Vertrieb ein Werkzeug zum Vergleich, zwischen Gesellschaften, zwischen Sektoren von Gesellschaften, und mit der Zeit zur Verfügung.

Siehe auch

• Gutschein-Sammler-Problem
• Beta negativer binomischer Vertrieb
• Verlängerter negativer binomischer Vertrieb
• Negativer multinomial Vertrieb
• Binomischer Vertrieb
• Vertrieb von Poisson
• Exponentialfamilie

Weiterführende Literatur

• Hilbe, Joseph M., negatives binomisches rückwärts Gehen, Cambridge, das Vereinigte Königreich: Universität von Cambridge Presse (2007) negatives binomisches rückwärts Gehen - Universität von Cambridge drückt