Ein Ellipsoid ist eine geschlossene Quadric-Oberfläche, die eine dreidimensionale Entsprechung einer Ellipse ist. Die Standardgleichung eines am Ursprung eines Kartesianischen Koordinatensystems in den Mittelpunkt gestellten Ellipsoids ist

:

Die Punkte (a, 0,0), (0, b, 0) und (0,0, c) liegen auf der Oberfläche, und die Liniensegmente vom Ursprung bis diese Punkte werden die Halbhauptäxte der Länge a, b, c genannt. Sie entsprechen der Halbhauptachse und halbgeringen Achse der passenden Ellipsen.

Es gibt vier verschiedene Fälle, von denen degeneriert ist:

• — tri-axial oder (selten) scalene Ellipsoid;
• — an den Polen abgeplattetes Ellipsoid der Revolution (an den Polen abgeplattetes Sphäroid);
• — der degenerierte Fall eines Bereichs;

Mathematische Literatur verwendet häufig 'Ellipsoid' im Platz des 'tri-axialen Ellipsoids'. Wissenschaftliche Literatur (besonders Erdmessung) verwendet häufig 'Ellipsoid' im Platz des 'Ellipsoids der Revolution' und wendet nur das 'tri-axiale' Adjektiv an, wenn sie den allgemeinen Fall behandelt. Ältere Literatur verwendet 'Sphäroid' im Platz des 'Ellipsoids der Revolution'.

Jede planare böse Abteilung, die das Zentrum eines Ellipsoids durchführt, bildet eine Ellipse auf seiner Oberfläche: Das degeneriert zu einem Kreis für Abteilungen, die zur Symmetrie-Achse eines Ellipsoids der Revolution normal sind (oder alle Abteilungen, wenn das Ellipsoid zu einem Bereich degeneriert.)

Verallgemeinerte Gleichungen

Mehr allgemein wird ein willkürlich orientiertes Ellipsoid, das an v in den Mittelpunkt gestellt ist, durch die Gleichung definiert

:

wo A eine positive bestimmte Matrix ist und x, v Vektoren sind.

Die Eigenvektoren von A definieren die Hauptrichtungen des Ellipsoids, und die eigenvalues von A sind die Quadrate der Halbäxte: und.

Eine invertible geradlinige auf einen Bereich angewandte Transformation erzeugt ein Ellipsoid, das in die obengenannte Standardform durch eine passende Folge, eine Folge der polaren Zergliederung gebracht werden kann (auch, sieh geisterhaften Lehrsatz). Wenn die geradlinige Transformation durch einen symmetrischen 3 durch 3 Matrix vertreten wird, dann sind die Eigenvektoren der Matrix (wegen des geisterhaften Lehrsatzes) orthogonal und vertreten die Richtungen der Äxte des Ellipsoids: Die Längen der Halbäxte werden durch den eigenvalues gegeben. Die einzigartige Wertzergliederung und polare Zergliederung sind mit diesen geometrischen Beobachtungen nah verbundene Matrixzergliederungen.

Parameterization

Die Oberfläche des Ellipsoids kann auf mehrere Weisen parametrisiert werden. Eine mögliche Wahl, die 'z '-Achse aussucht, ist:

::::

x&=a \,\cos u\cos v, \\

y&=b \,\cos u\sin v, \\

z&=c \,\sin u; \end {richten }\\, \aus! </Mathematik>

:: wo

::::

- {\\Pi} / {2 }\\leq u\leq + {\\Pi} / {2},

\qquad

- \pi\leq v\leq +\pi. \! \, \!

</Mathematik>

Es gibt keine einfache Interpretation dieses parameterization. Für unveränderlichen u, der auf der Ellipse ist, die der Abschnitt mit einem unveränderlichen z Flugzeug, v dann ist, spielt die Rolle der exzentrischen Anomalie für diese Ellipse. Für unveränderlichen v auf einem Flugzeug durch die Achse von Oz spielt der Parameter u dieselbe Rolle für die Ellipse der Kreuzung. Zwei andere ähnliche parameterizations, sind jeder mit ihren eigenen Interpretationen möglich. Nur auf einer Ellipse der Revolution kann eine einzigartige Definition der reduzierten Breite gemacht werden.

Volumen und Fläche

Volumen

Das Volumen eines Ellipsoids wird durch die Formel gegeben

::

Bemerken Sie, dass diese Gleichung zu diesem des Volumens eines Bereichs abnimmt, wenn alle drei elliptischen Radien, und diesem eines an den Polen abgeplatteten oder pro-späten Sphäroids gleich sind, wenn zwei von ihnen gleich sind.

Die Volumina der maximalen eingeschriebenen und minimalen umschriebenen Kästen sind beziehungsweise:

::

Das Volumen einer Ellipse der Dimension höher als 3 kann mit der dimensionalen für das Volumen eines Hyperbereichs gegebenen Konstante berechnet werden.

Man kann auch Ellipsoide in höheren Dimensionen als die Images von Bereichen unter invertible geradlinigen Transformationen definieren. Der geisterhafte Lehrsatz kann wieder verwendet werden, um eine Standardgleichung zu erhalten, die mit ein gegebener oben verwandt ist.

Fläche

Die Fläche eines allgemeinen (tri-axialen) Ellipsoids ist

::

S=2\pi c^2 + \frac {2\pi ab} {\\sin\phi }\

\left (E (\phi, k) \, \sin^2\phi + F (\phi, k) \, \cos^2\phi \right),

</Mathematik>:: wo::

\cos\phi = \frac {c}, \qquad

k^2 = \frac {A^2 (b^2-c^2)} {B^2 (a^2-c^2)}, \qquad

a\ge b \ge c,

</Mathematik>

und F (φ, k), E (φ, k) sind unvollständige elliptische Integrale der ersten und zweiten Art beziehungsweise http://dlmf.nist.gov/19.2

Die Fläche eines Ellipsoids der Revolution (oder Sphäroid) kann in Bezug auf Elementarfunktionen ausgedrückt werden:

::

\quad\mbox {wo }\\Viererkabele^2=1-\frac {c^2} {a^2 }\\Viererkabel (c

::

\quad\qquad\mbox {wo }\\; \quad e^2=1-\frac {a^2} {c^2 }\\Viererkabel (c> a). </Mathematik>

In beiden Fällen kann e wieder als die Seltsamkeit der Ellipse identifiziert werden, die durch die böse Abteilung durch die Symmetrie-Achse gebildet ist. (Sieh Ellipse). Abstammungen dieser Ergebnisse können an Mathworld gefunden werden

Ungefähre Formel

::

Hier p  1.6075 Erträge ein Verhältnisfehler an den meisten 1.061 %; ein Wert von p = 8/5 = 1.6 ist für fast kugelförmige Ellipsoide, mit einem Verhältnisfehler an den meisten 1.178 % optimal.

In der "flachen" Grenze von c, der viel kleiner ist als a, b, ist das Gebiet ungefähr 2πab.

Dynamische Eigenschaften

Die Masse eines Ellipsoids der gleichförmigen Dichte ρ ist:

:

Die Momente der Trägheit eines Ellipsoids der gleichförmigen Dichte sind:

::

I_ {\\mathrm {yy}} = \frac {1} {5} M (c^2+a^2), \qquad

I_ {\\mathrm {zz}} = \frac {1} {5} M (a^2+b^2), </Mathematik>

::

Weil a=b=c in diesen Momenten der Trägheit zu denjenigen für einen Bereich der gleichförmigen Dichte abnehmen.

Ellipsoide und cuboids rotieren stabil entlang ihren größeren oder geringen Äxten, aber nicht entlang ihrer Mittelachse. Das kann experimentell durch das Werfen eines Radiergummis mit einer Drehung gesehen werden. Außerdem, Moment von Trägheitsrücksichten bedeuten, dass die Folge entlang der Hauptachse leichter gestört wird als Folge entlang der geringen Achse.

Eine praktische Wirkung davon besteht darin, dass scalene astronomische Körper solcher als allgemein entlang ihren geringen Äxten rotieren (wie die Erde tut, die bloß an den Polen abgeplattet ist); außerdem, wegen der Gezeitenblockierung, haben sich Monde in der gleichzeitigen Bahn wie Bahn von Mimas mit ihrer Hauptachse radial zu ihrem Planeten ausgerichtet.

Ein entspanntes Ellipsoid, d. h. ein im hydrostatischen Gleichgewicht, hat eine an den Polen Abgeplattetkeit, die zu seiner Mitteldichte und Mittelradius direkt proportional ist. Ellipsoide mit einem unterschiedenen Interieur — d. h. ein dichterer Kern als Mantel — haben eine niedrigere an den Polen Abgeplattetkeit als ein homogener Körper. Über alle ist das Verhältnis (b-c) / (ac) etwa 0.25, obwohl das fällt, um Körper schnell rotieren zu lassen.

Die Fachsprache hat normalerweise für Körper verwendet, die auf ihrer geringen Achse rotieren, und dessen Gestalt durch ihr Schwerefeld bestimmt wird, ist Sphäroid von Maclaurin (an den Polen abgeplatteter speroid) und Ellipsoid von Jacobi (scalene Ellipsoid). Bei schnelleren Folgen kann piriform oder Oviform-Gestalten erwartet werden, aber diese sind nicht stabil.

Flüssige Eigenschaften

Das Ellipsoid ist die allgemeinste Gestalt, für die es möglich gewesen ist, den kriechenden Fluss von Flüssigkeit um die feste Gestalt zu berechnen. Die Berechnungen schließen die Kraft ein, die erforderlich ist, durch eine Flüssigkeit zu übersetzen und innerhalb seiner zu rotieren. Anwendungen schließen Bestimmung der Größe und Gestalt von großen Molekülen, der sinkenden Rate von kleinen Partikeln und der geistigen Schwimmen-Anlagen von Kleinstlebewesen ein.

Siehe auch

• Paraboloid
• Hyperboloid
• Bezugsellipsoid
• Geoid
• Ellipsoid-Methode
• Superellipsoid

• ein planetoid in der Form von des Ellipsoids
• Homoeoid, eine Schale, die durch zwei konzentrische, ähnliche Ellipsoide begrenzt ist
• Focaloid, eine Schale, die durch zwei konzentrische, confocal Ellipsoide begrenzt ist
• Elliptischer Vertrieb, in der Statistik
• Ellipse
• "Ellipsoid" durch Jeff Bryant, Wolfram-Demonstrationsprojekt, 2007.
• Ellipsoid und quadratische Oberfläche, MathWorld.

Außenverbindungen

• Java 3D-Modell des Ellipsoids
• Programm in C ++, um ein Ellipsoid mit der parametrischen Gleichung zu ziehen
• Ellipsenförmiger Werkzeugkasten für MATLAB