In der Mathematik ist eine Elementarfunktion eine Funktion einer Variable, die von einer begrenzten Zahl von exponentials, Logarithmen, Konstanten und den n-ten Wurzeln durch die Zusammensetzung und Kombinationen mit den vier elementaren Operationen (+ - × ÷) gebaut ist. Indem sie diesen Funktionen (und Konstanten) erlaubt wird, komplexe Zahlen zu sein, werden trigonometrische Funktionen und ihre Gegenteile eingeschlossen in die Elementarfunktionen (sieh trigonometrische Funktionen und Komplex exponentials).

Die Wurzeln von Gleichungen sind die Funktionen, die implizit als das Lösen einer polynomischen Gleichung mit unveränderlichen Koeffizienten definiert sind. Für Polynome des Grads vier und kleiner gibt es ausführliche Formeln für die Wurzeln (die Formeln sind Elementarfunktionen).

Elementarfunktionen wurden von Joseph Liouville in einer Reihe von Papieren von 1833 bis 1841 eingeführt. Eine algebraische Behandlung von Elementarfunktionen wurde mit Joseph Fels Ritt in den 1930er Jahren angefangen.

Beispiele

Beispiele von Elementarfunktionen schließen ein:

Diese letzte Funktion ist dem umgekehrten Kosinus trigonometrische Funktion im kompletten komplizierten Gebiet gleich. Folglich, ist eine Elementarfunktion. Ein Beispiel einer Funktion, die nicht elementar ist, ist die Fehlerfunktion

eine Tatsache, die direkt aus der Definition der Elementarfunktion nicht gesehen werden kann, aber verwendend des Algorithmus von Risch bewiesen werden kann.

Differenzialalgebra

Die mathematische Definition einer Elementarfunktion oder eine Funktion in der elementaren Form, wird im Zusammenhang der Differenzialalgebra betrachtet. Eine Differenzialalgebra ist eine Algebra mit der Extraoperation der Abstammung (algebraische Version der Unterscheidung). Mit der Abstammungsoperation, die neue Gleichungen geschrieben werden können und ihre Lösungen in Erweiterungen der Algebra verwendet. Durch das Starten mit dem Feld von vernünftigen Funktionen können zwei spezielle Typen von transzendentalen Erweiterungen (der Logarithmus und der Exponential-) zum Feld hinzugefügt werden, das einen Turm baut, der Elementarfunktionen enthält.

Ein unterschiedliches Feld F ist Feld F (vernünftige Funktionen über den rationals Q zum Beispiel) zusammen mit einer Abstammungskarte u  u. (Hier ist u eine neue Funktion. Manchmal die Notation u′ wird verwendet.) Gewinnt die Abstammung die Eigenschaften der Unterscheidung, so dass für irgendwelche zwei Elemente des Grundfeldes die Abstammung geradliniger ist

und befriedigt die Produktregel von Leibniz

Ein Element h ist eine Konstante wenn h = 0. Wenn das Grundfeld über den rationals ist, muss Sorge genommen werden, wenn man das Feld erweitert, um die erforderlichen transzendentalen Konstanten hinzuzufügen.

Eine Funktion u einer Differenzialerweiterung F [u] eines unterschiedlichen Feldes F ist eine Elementarfunktion über F wenn die Funktion u

• über F oder algebraisch
• ist ein Exponential-, d. h. u = u a für einen  F oder
• ist ein Logarithmus, d. h. u = a / für einen  F.

(das ist der Lehrsatz von Liouville).

Siehe auch

• Galois Differenzialtheorie
• Algebraische Funktion
• Transzendente Funktion
• Joseph Ritt, Differenzialalgebra, AMS, 1950.

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