In der Mathematik ist eine Modulform eine (komplizierte) analytische Funktion auf dem oberen Halbflugzeug, das eine bestimmte Art der funktionellen Gleichung und Wachstumsbedingung befriedigt. Die Theorie von Modulformen gehört deshalb der komplizierten Analyse, aber die Hauptwichtigkeit von der Theorie ist in seinen Verbindungen mit der Zahlentheorie traditionell gewesen. Modulformen erscheinen in anderen Gebieten wie algebraische Topologie und spannen Theorie.

Eine Modulfunktion ist eine Modulform, ohne die Bedingung dass f (z), holomorphic an der Unendlichkeit sein. Statt dessen sind Modulfunktionen meromorphic an der Unendlichkeit.

Modulform-Theorie ist ein spezieller Fall der allgemeineren Theorie von Automorphic-Formen, und kann jetzt deshalb als gerade der konkreteste Teil einer reichen Theorie von getrennten Gruppen gesehen werden.

Modulformen für SL (Z)

Eine Modulform des Gewichts k für die Gruppe

:

ist eine Komplex-geschätzte Funktion f bei der Zufriedenheit der folgenden drei Bedingungen: Erstens ist f eine Holomorphic-Funktion auf H. Zweitens, für jeden z in H und jede Matrix in SL (2, Z) als oben, die Gleichung

:

ist erforderlich zu halten. Drittens ist f erforderlich, holomorphic als z  i  zu sein. Die letzte Bedingung wird auch durch den Ausspruch ausgedrückt, dass f "holomorphic an der Spitze ist,", eine Fachsprache, die unten erklärt wird. Das Gewicht k ist normalerweise eine positive ganze Zahl.

Die zweite Bedingung, mit dem matrices und liest

:

und

:

beziehungsweise. Da S und T die Modulgruppe SL (2, Z) erzeugen, ist die zweite Bedingung oben zu diesen zwei Gleichungen gleichwertig.

Definition in Bezug auf Gitter oder elliptische Kurven

Eine Modulform kann als eine Funktion F vom Satz von Gittern Λ in C gleichwertig definiert werden (d. h. Untergruppen von C, die zu Z isomorph sind) zum Satz von komplexen Zahlen, der bestimmte Bedingungen befriedigt:

: (1), Wenn wir das Gitter als erzeugt durch eine Konstante &alpha betrachten; und eine Variable z, dann F (&Lambda) ist eine analytische Funktion von z.

: (2) Wenn α ist eine komplexe Nichtnullzahl und αΛ ist das erhaltene Gitter durch das Multiplizieren jedes Elements Λ durch α dann F (α&Lambda) = αF (&Lambda), wo k eine Konstante ist (normalerweise eine positive ganze Zahl) hat das Gewicht der Form genannt.

: (3) Der absolute Wert von F (&Lambda) bleibt begrenzt oben so lange der absolute Wert des kleinsten Nichtnullelements in Λ wird weg von 0 begrenzt.

Die Schlüsselidee im Beweis der Gleichwertigkeit der zwei Definitionen besteht darin, dass solch eine Funktion F, wegen des ersten Eigentums, durch seine Werte auf Gittern der Form, wo ω  H bestimmt wird.

Modulfunktionen

Wenn das Gewicht k Null ist, sind die einzigen Modulformen unveränderliche Funktionen, wie gezeigt werden kann. Jedoch, die Voraussetzung entspannend, dass f, holomorphic sein, zum Begriff von Modulfunktionen führt. Eine Funktion f: H  wird C modularen iff genannt es befriedigt die folgenden Eigenschaften:

1. f ist meromorphic im offenen oberen Halbflugzeug H.
2. Für jede MatrixM in der Modulgruppe Γ f (Mτ) = f (τ).
3. f ist erforderlich, "meromorphic an der Spitze" zu sein. Das bedeutet den folgenden: Wie hingewiesen, oben deutet die zweite Bedingung an, dass f periodisch ist, und deshalb eine Reihe von Fourier hat. Die dritte Bedingung besteht darin, dass diese Reihe der Form ist

::

Es wird häufig in Bezug auf als (das Quadrat des nome), geschrieben

::

Das wird auch die Q-Vergrößerung von f genannt (sieh auch Q-Analogon). Die Koeffizienten (n) sind als die Koeffizienten von Fourier von f, die Zahl bekannt M wird die Ordnung des Pols von f an mir  genannt.

Eine andere Weise, die Definition von Modulfunktionen auszudrücken, soll elliptische Kurven verwenden: Jedes Gitter Λ bestimmt eine elliptische Kurve C/Λ über C; zwei Gitter bestimmen isomorphe elliptische Kurven, wenn, und nur wenn man bei anderem durch das Multiplizieren durch eine komplexe Nichtnullzahl α erhalten wird. So kann eine Modulfunktion auch als eine Meromorphic-Funktion auf dem Satz von Isomorphismus-Klassen von elliptischen Kurven betrachtet werden. Zum Beispiel ist der j-invariant j (z) einer elliptischen Kurve, die als eine Funktion auf dem Satz aller elliptischen Kurven betrachtet ist, eine Modulfunktion. Mehr begrifflich kann von Modulfunktionen als Funktionen auf dem Modul-Raum von Isomorphismus-Klassen von komplizierten elliptischen Kurven gedacht werden.

Eine Modulform f, der an q = 0 verschwindet (gleichwertig, (0) = 0, auch paraphrasiert als z = ich ) wird eine Spitze-Form (Spitzenform in Deutsch) genannt. Der kleinste solcher n, dass (n)  0 die Ordnung der Null von f an mir  ist.

Modulformen für allgemeinere Gruppen

Die funktionelle Gleichung, d. h., das Verhalten von f in Bezug darauf kann durch das Verlangen davon nur für matrices in kleineren Gruppen entspannt werden.

Die Oberfläche von Riemann G\H

Lassen Sie G eine Untergruppe von SL sein (2, Z), der vom begrenzten Index ist. Solch eine Gruppe G folgt H ebenso als SL (2, Z). Wie man zeigen kann, ist der Quotient topologischer RaumG\H ein Raum von Hausdorff. Normalerweise ist es nicht kompakt, aber kann compactified durch das Hinzufügen einer begrenzten Zahl von Punkten genannt Spitzen sein. Das sind Punkte an der Grenze von H, d. h., entweder in Q, dem rationals oder in , solch, dass es ein parabolisches Element von G (eine Matrix mit der Spur ±2) Befestigen des Punkts gibt. Hier sendet eine Matrix  an a/c. Das gibt einen kompakten topologischen RaumG\H nach. Hinzu kommt noch, dass es mit der Struktur einer Oberfläche von Riemann ausgestattet sein kann, die erlaubt, von holo- und Meromorphic-Funktionen zu sprechen.

Wichtige Beispiele, sind für jede positive ganze Zahl N, jede der Kongruenz-Untergruppen

:

\begin {pmatrix} a & b \\c & d \end {pmatrix} \in SL_2 (\mathbf {Z}):

c \equiv 0 \pmod {N} \right\} </Mathematik>

und:\begin {pmatrix} a & b \\c & d \end {pmatrix} \in SL_2 (\mathbf {Z}):

c \equiv b \equiv 0, ein \equiv d \equiv 1 \pmod {N} \right\}. </Mathematik>

Für G = Γ0 (N) oder Γ (N) die Räume werden G\H und G\H Y (N) und X (N) und Y (N), X (N) beziehungsweise angezeigt.

Die Geometrie von G\H kann durch das Studieren grundsätzlicher Gebiete für G, d. h. Teilmengen D  H solch verstanden werden, dass D jede Bahn der G-Handlung auf H genau einmal und solch durchschneidet, dass der Verschluss von D alle Bahnen entspricht. Zum Beispiel kann die Klasse von G\H geschätzt werden.

Definition

Eine Modulform für G des Gewichts k ist eine Funktion auf H Zufriedenheit der obengenannten funktionellen Gleichung für den ganzen matrices in G, der holomorphic auf H und an allen Spitzen von G ist. Wieder werden Modulformen, die an allen Spitzen verschwinden, Spitze-Formen nach G genannt. Die C-Vektorräume von modularen und Spitze-Formen des Gewichts k sind angezeigte M (G) und S (G) beziehungsweise. Ähnlich wird eine Meromorphic-Funktion auf G\H eine Modulfunktion nach G genannt. Im Falle dass G = Γ (N), sie auch modulare Formen / Spitze-Formen und Funktionen des Niveaus N genannt werden. Für G = Γ (1) = SL (Z) gibt das die oben erwähnten Definitionen zurück.

Folgen

Die Theorie von Oberflächen von Riemann kann auf G\H angewandt werden, um weitere Information über Modulformen und Funktionen zu erhalten. Zum Beispiel können die Räume M (G) und S (G), ist und ihre Dimensionen endlich-dimensional, dank des Lehrsatzes von Riemann-Roch in Bezug auf die Geometrie der G-Handlung auf H geschätzt werden. Zum Beispiel,

:

\left \{\begin {Reihe} {ll} \lfloor k/12 \rfloor & k \equiv 2 \pmod {12} \\

\lfloor k/12 \rfloor + 1 & \text {sonst }\

\end {Reihe} \right. </math>

wo die Fußboden-Funktion anzeigt.

Die Modulfunktionen setzen den Aufgabenbereich der Oberfläche von Riemann ein, und bilden folglich ein Feld des Überlegenheitsgrads ein (über C). Wenn eine Modulfunktion f nicht identisch 0 ist, dann kann es gezeigt werden, dass die Zahl von zeroes von f der Zahl von Polen von f im Verschluss des grundsätzlichen Gebiets R.It gleich ist, kann das gezeigt werden das Feld der Modulfunktion des Niveaus N (N  1) wird durch die Funktionen j (z) und j (Nz) erzeugt.

Linienbündel

Die Situation kann rentabel im Vergleich dazu sein, was in der Suche nach Funktionen auf dem projektiven Raum P (V) entsteht: In dieser Einstellung möchte man Funktionen F auf dem Vektorraum V ideal, die Polynom in den Koordinaten von v  0 in V sind und die Gleichung F (Lebenslauf) = F (v) für die ganze Nichtnull c befriedigen. Leider sind die einzigen solche Funktionen Konstanten. Wenn wir Nenner erlauben (vernünftige Funktionen statt Polynome), können wir F das Verhältnis von zwei homogenen Polynomen desselben Grads sein lassen. Wechselweise können wir mit Polynomen stecken und die Abhängigkeit von c lösen, F (Lebenslauf) = vgl (v) lassend. Die Lösungen sind dann die homogenen Polynome des Grads k. Einerseits bilden diese einen begrenzten dimensionalen Vektorraum für jeden k, und auf dem anderen, wenn wir k sich ändern lassen, können wir die Zähler und Nenner finden, um alle vernünftigen Funktionen zu bauen, die wirklich Funktionen auf dem zu Grunde liegenden projektiven Raum P (V) sind.

Man könnte fragen, da die homogenen Polynome nicht sind, wirklich fungiert auf P (V), wie sind sie, geometrisch sprechend? Die algebro-geometrische Antwort ist, dass sie Abteilungen eines Bündels sind (man konnte auch ein Linienbündel in diesem Fall sagen). Die Situation mit Modulformen ist genau analog.

Modulformen kann auch von dieser geometrischen Richtung als Abteilungen von Linienbündeln auf dem Modul-Raum von elliptischen Kurven rentabel genähert werden.

Verschieden

Komplette Formen

Wenn f holomorphic an der Spitze ist (hat keinen Pol an q = 0), es wird eine komplette Modulform genannt.

Wenn f meromorphic, aber nicht holomorphic an der Spitze ist, wird es eine nichtkomplette Modulform genannt. Zum Beispiel ist der j-invariant eine nichtkomplette Modulform des Gewichts 0, und hat einen einfachen Pol an mir .

Faktoren von Automorphic und andere Generalisationen

Andere allgemeine Generalisationen erlauben dem Gewicht k, eine ganze Zahl nicht zu sein, und einen Vermehrer zu erlauben, mit, in der Transformation, so dass zu erscheinen

:

Funktionen der Form sind als automorphic Faktoren bekannt.

Funktionen wie die Funktion von Dedekind eta, eine Modulform des Gewichts 1/2, können durch die Theorie durch das Erlauben automorphic Faktoren umfasst werden. Lassen Sie so zum Beispiel χ ein Charakter von Dirichlet mod N sein. Eine Modulform des Gewichts k Niveau N (oder Niveau-Gruppe) mit nebentypus ist der Charakter von Dirichlet χ eine Holomorphic-Funktion f auf dem oberen Halbflugzeug solch das für jeden

:

und jeder z im oberen Halbflugzeug, wir haben

:

und f ist holomorphic an allen Spitzen; wenn die Form an allen Spitzen verschwindet, wird es eine Spitze-Form genannt.

Beispiele

Die einfachsten Beispiele aus diesem Gesichtspunkt sind die Reihe von Eisenstein. Für jede gleiche ganze Zahl k> 2 definieren wir E (Λ), um die Summe von λ über alle Nichtnullvektoren λ Λ zu sein:

:

Die Bedingung k> 2 ist für die Konvergenz erforderlich; die Bedingung, dass k sogar ist, hält λ davon ab, mit (&minus;) zu annullieren.

Sogar unimodular Gitter L in R ist ein Gitter, das durch n Vektoren erzeugt ist, die die Säulen einer Matrix der Determinante 1 bilden und die Bedingung befriedigen, dass das Quadrat der Länge jedes Vektoren in L eine gleiche ganze Zahl ist. Demzufolge der Summierungsformel von Poisson fungieren die theta

:

ist eine Modulform des Gewichts n/2. Es ist nicht so leicht, sogar unimodular Gitter zu bauen, aber hier ist ein Weg: Lassen Sie n eine ganze Zahl sein, die durch 8 teilbar ist und alle Vektoren v in R zu betrachten, als solch, dass 2v Koordinaten der ganzen Zahl, entweder alle sogar oder alle seltsam, und solch hat, dass die Summe der Koordinaten von v eine gleiche ganze Zahl ist. Wir nennen dieses Gitter L. Wenn n = 8, das das Gitter ist, das durch die Wurzeln im Wurzelsystem genannt E erzeugt ist. Weil es nur eine Modulform des Gewichts 8 bis zur Skalarmultiplikation, gibt

:

wenn auch die Gitter L&times;L und L nicht ähnlich sind. John Milnor hat bemerkt, dass die 16-dimensionalen erhaltenen Ringe durch das Teilen R durch diese zwei Gitter folglich Beispiele von Kompaktsammelleitungen von Riemannian sind, die isospectral, aber nicht isometrisch sind (sieh das Hören der Gestalt einer Trommel.)

Die Funktion von Dedekind eta wird als definiert

:

Dann ist der modulare discriminant Δ (z) = η (z) eine Modulform des Gewichts 12. Die Anwesenheit von 24 kann mit dem Blutegel-Gitter verbunden werden, das 24 Dimensionen hat. Eine berühmte Vermutung von Ramanujan hat behauptet, dass der q Koeffizient für jeden ersten p absoluten Wert 2p hat. Das wurde von Pierre Deligne infolge seiner Arbeit an den Vermutungen von Weil gesetzt.

Die zweiten und dritten Beispiele geben etwas Hinweis der Verbindung zwischen Modulformen und klassischen Fragen in der Zahlentheorie, wie Darstellung von ganzen Zahlen durch quadratische Formen und die Teilungsfunktion. Die entscheidende Begriffsverbindung zwischen Modulformen und Zahlentheorie wird durch den ausgestattet

die Theorie von Maschinenbedienern von Hecke, die auch die Verbindung zwischen der Theorie von Modulformen und Darstellungstheorie gibt.

Generalisationen

Es gibt mehreren anderen Gebrauch des Begriffes Modulfunktion abgesondert von dieser klassischen; zum Beispiel, in der Theorie von Maßnahmen von Haar, ist es eine Funktion Δ (g) bestimmt durch die Konjugationshandlung.

Formen von Maass sind echt-analytischer eigenfunctions von Laplacian, aber brauchen nicht holomorphic zu sein. Die holomorphic Teile von bestimmten schwachen Welle-Formen von Maass erweisen sich, im Wesentlichen der Spott von Ramanujan theta Funktionen zu sein. Gruppen, die nicht Untergruppen von SL sind (2, Z) können betrachtet werden.

Hilbert Modulformen sind Funktionen in n Variablen, jeder eine komplexe Zahl im oberen Halbflugzeug, eine Modulbeziehung für 2&times;2 matrices mit Einträgen in einem Feld der völlig reellen Zahl befriedigend.

Siegel Modulformen werden zu größeren symplectic Gruppen ebenso vereinigt, in denen die Formen wir besprochen haben, wird zu SL (2, R) vereinigt; mit anderen Worten sind sie mit abelian Varianten in demselben Sinn verbunden, dass unsere Formen (die manchmal elliptische Modulformen genannt werden, um den Punkt zu betonen) mit elliptischen Kurven verbunden sind.

Formen von Jacobi sind eine Mischung von Modulformen und elliptischen Funktionen. Beispiele solcher Funktionen sind - die Funktionen von Jacobi theta und die Koeffizienten von Fourier von Siegel Modulformen der Klasse zwei sehr klassisch - aber es ist eine relativ neue Beobachtung, dass die Formen von Jacobi eine arithmetische der üblichen Theorie von Modulformen sehr analoge Theorie haben.

Formen von Automorphic strecken sich aus der Begriff von Modulformen dem General Liegen Gruppen.

Geschichte

Die Theorie von Modulformen wurde in drei oder vier Perioden entwickelt: zuerst im Zusammenhang mit der Theorie von elliptischen Funktionen, im ersten Teil des neunzehnten Jahrhunderts; dann durch Felix Klein und andere zum Ende des neunzehnten Jahrhunderts weil ist das Automorphic-Form-Konzept verstanden (für eine Variable) geworden; dann durch Erich Hecke ungefähr von 1925; und dann in den 1960er Jahren, weil die Bedürfnisse nach der Zahlentheorie und die Formulierung des Modularitätslehrsatzes insbesondere verständlich gemacht haben, dass Modulformen tief hineingezogen werden.

Der Begriff Modulform, als eine systematische Beschreibung, wird gewöhnlich Hecke zugeschrieben.

Zeichen

• Jean-Pierre Serre: Ein Kurs in der Arithmetik. Absolvententexte in der Mathematik 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Kapitel VII stellt eine elementare Einführung in die Theorie von Modulformen zur Verfügung.
• Tom M. Apostol, Modulfunktionen und Dirichlet Reihe in der Zahlentheorie (1990), Springer-Verlag, New York. Internationale Standardbuchnummer 0-387-97127-0
• Goro Shimura: Einführung in die arithmetische Theorie von Automorphic-Funktionen. Universität von Princeton Presse, Princeton, N.J. 1971. Stellt eine fortgeschrittenere Behandlung zur Verfügung.
• Stephen Gelbart: Automorphic formt sich auf adele Gruppen. Annalen von Mathematik-Studien 83, Universität von Princeton Presse, Princeton, N.J. 1975. Stellt eine Einführung in Modulformen aus dem Gesichtswinkel von der Darstellungstheorie zur Verfügung.
• Robert A. Rankin, Modulformen und Funktionen, (1977) Universität von Cambridge Presse, Cambridge. Internationale Standardbuchnummer 0 521 21212 X
• Die Zeichen des Bierkrugs auf dem Kurs von Ribet Modulformen und Hecke Maschinenbediener
• Erich Hecke: "Mathematische Werke", Goettingen, Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.
• NP Skoruppa, D Zagier Jacobi formt sich und ein bestimmter Raum von Modulformen, Inventiones Mathematicae, 1988, Springer