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In der Logik ist das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (oder der Grundsatz der ausgeschlossenen Mitte) von den so genannten drei klassischen Gesetzen des Gedankens dritt. Es stellt fest, dass für jeden Vorschlag entweder dieser Vorschlag wahr ist, oder seine Ablehnung ist.

Das Gesetz ist auch bekannt als das Gesetz (oder Grundsatz) vom ausgeschlossenen Drittel (oder von der ausgeschlossenen Mitte), oder, in Latein, principium tertii exclusi. Und doch ist eine andere lateinische Benennung für dieses Gesetz tertium nicht datur: "Kein Drittel (Möglichkeit) wird gegeben".

Die frühste bekannte Formulierung des Grundsatzes ist im Buch Auf der Interpretation durch Aristoteles, wo er dass von zwei widersprechenden Vorschlägen sagt (d. h. wo ein Vorschlag die Ablehnung vom anderen ist), muss man, und anderes falsches wahr sein. Er setzt es auch als ein Grundsatz im Metaphysik-Buch 3 fest, sagend, dass es in jedem Fall notwendig ist, zu versichern oder zu bestreiten, und dass es unmöglich ist, dass es irgendetwas zwischen den zwei Teilen eines Widerspruchs geben sollte. Der Grundsatz wurde als ein Lehrsatz der Satzlogik von Russell und Whitehead in Principia Mathematica als festgesetzt:

::

Der Grundsatz sollte mit dem Grundsatz von bivalence nicht verwirrt sein, der feststellt, dass jeder Vorschlag entweder wahr oder falsch ist, und nur eine semantische Formulierung hat.

Klassische Gesetze des Gedankens

Der Grundsatz der ausgeschlossenen Mitte, zusammen mit seiner Ergänzung, dem Gesetz des Widerspruchs (das zweite von den drei klassischen Gesetzen des Gedankens), ist Korrelate des Gesetzes der Identität (das erste von diesen Gesetzen). Weil der Grundsatz der Identität intellektuell das Weltall in genau zwei Teile verteilt: "Selbst" und "anderer" schafft es eine Zweiteilung, worin die zwei Teile "gegenseitig exklusiv" und "gemeinsam erschöpfend sind". Der Grundsatz des Widerspruchs ist bloß ein Ausdruck des gegenseitig exklusiven Aspekts dieser Zweiteilung, und der Grundsatz der ausgeschlossenen Mitte ist ein Ausdruck seines gemeinsam erschöpfenden Aspekts.

Analoge Gesetze

Einige Systeme der Logik haben verschiedene, aber analoge Gesetze. Für etwas begrenzte n-valued Logik gibt es ein analoges Gesetz genannt das Gesetz von ausgeschlossenem n+1th. Wenn Ablehnung zyklisch ist und "" "max Maschinenbediener" ist, dann kann das Gesetz auf der Gegenstand-Sprache dadurch ausgedrückt werden (P  ~P  ~~ P ...  ~... ~P), wo "~... ~" n1 Ablehnungszeichen und "... " n1 Trennungszeichen vertritt. Es ist leicht zu überprüfen, dass der Satz mindestens einen der n Wahrheitswerte erhalten muss (und nicht ein Wert, der nicht einer der n ist).

Andere Systeme weisen das Gesetz völlig zurück.

Beispiele

Zum Beispiel, wenn P der Vorschlag ist:

:Socrates ist sterblich.

dann meint das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte dass die logische Trennung:

:Either Sokrates ist sterblich, oder ist es nicht der Fall, dass Sokrates sterblich ist.

ist

auf Grund von seiner Form allein wahr. D. h. die "mittlere" Position, dass Sokrates weder Sterblicher noch nicht - Sterblicher ist, wird durch die Logik ausgeschlossen, und deshalb irgendein die erste Möglichkeit (ist Sokrates sterblich), oder seine Ablehnung (es ist nicht der Fall, dass Sokrates sterblich ist), muss wahr sein.

Ein Beispiel eines Arguments, das vom Gesetz der ausgeschlossenen Mitte abhängt, folgt. Wir bemühen uns zu beweisen, dass dort zwei irrationale Zahlen und solch dass bestehen

: ist vernünftig.

Es ist bekannt, dass das vernunftwidrig ist (sieh Beweis). Denken Sie die Zahl

:

Klar (ausgeschlossene Mitte) diese Zahl ist entweder vernünftig oder vernunftwidrig. Wenn es vernünftig ist, ist der Beweis, und abgeschlossen

: und

Aber wenn, dann gelassener vernunftwidrig

ist: und

Dann

:

und 2 ist sicher vernünftig. Das schließt den Beweis.

Im obengenannten Argument ist die Behauptung "diese Zahl entweder vernünftig oder vernunftwidrig" ruft das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte an. Ein intuitionist würde zum Beispiel dieses Argument ohne weitere Unterstützung für diese Behauptung nicht akzeptieren. Das könnte in der Form eines Beweises kommen, dass die fragliche Zahl tatsächlich vernunftwidrig (oder, je nachdem vernünftig ist); oder ein begrenzter Algorithmus, der bestimmen konnte, ob die Zahl vernünftig ist oder nicht.

Das Gesetz in nichtkonstruktiven Beweisen über das Unendliche

Der obengenannte Beweis ist ein Beispiel eines nichtkonstruktiven durch intuitionists zurückgewiesenen Beweises:

Durch nichtkonstruktive Mittel von Davis, dass "ein Beweis, dass es wirklich mathematic Entitäten gibt, die bestimmte Bedingungen befriedigen, eine Methode würde zur Verfügung stellen müssen, ausführlich die fraglichen Entitäten auszustellen." (p. 85). Solche Beweise wagen die Existenz einer Gesamtheit, die, ein durch intuitionists zurückgewiesener Begriff, wenn erweitert, zum Unendliche — für sie abgeschlossen ist, kann das Unendliche nie vollendet werden:

Tatsächlich führen Hilbert und Brouwer beide Beispiele des Gesetzes der ausgeschlossenen zum Unendliche erweiterten Mitte an. Das Beispiel von Hilbert: "Die Behauptung, dass entweder es nur begrenzt viele Primzahlen gibt oder gibt es ungeheuer viele" (angesetzt in Davis 2000:97); und Brouwer: "Jede mathematische Art ist entweder begrenzt oder unendlich." (Brouwer 1923 in van Heijenoort 1967:336).

Im Allgemeinen erlauben intuitionists den Gebrauch des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte, wenn es auf das Gespräch über begrenzte Sammlungen (Sätze), aber nicht beschränkt wird, wenn es im Gespräch über unendliche Sätze (z.B die natürlichen Zahlen) verwendet wird. So weisen intuitionists absolut die generelle Behauptung zurück: "Für alle Vorschläge P bezüglich unendlicher Sätze D: P oder ~P" (Kleene 1952:48).

:For mehr über den Konflikt zwischen dem intuitionists (z.B. Brouwer), und die Formalisten (Hilbert) sehen Fundamente der Mathematik und Intuitionism.

Vermeintliche Gegenbeispiele zum Gesetz der ausgeschlossenen Mitte schließen das Lügner-Paradox oder das Paradox von Quine ein. Bestimmte Entschlossenheiten dieser Paradoxe, besonders in der LP so formalisierter Priester-dialetheism von Graham, haben das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte wie ein Lehrsatz, aber lösen den Lügner sowohl als wahr als auch als falsch auf. Auf diese Weise ist das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte wahr, aber weil Wahrheit selbst, und deshalb Trennung, nicht exklusiv sind, sagt es nahezu nichts, wenn einer der disjuncts paradox, oder sowohl wahr als auch falsch ist.

Geschichte

Aristoteles

Aristoteles hat geschrieben, dass Zweideutigkeit aus dem Gebrauch von zweideutigen Namen entstehen kann, aber in den "Tatsachen" selbst nicht bestehen kann:

Aristoteles Behauptung, dass "... es nicht möglich sein wird, zu sein und dasselbe Ding nicht zu sein", das in der Satzlogik als ¬ (P  ¬ P) geschrieben würde, ist eine Behauptung, die moderne Logiker das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (P  ¬ P) nennen konnten, weil der Vertrieb der Ablehnung von Aristoteles Behauptung sie gleichwertig trotzdem macht, dass die ehemaligen Ansprüche, dass keine Behauptung sowohl wahr als auch falsch ist, während der Letztere verlangt, dass jede Behauptung entweder wahr oder falsch ist.

Jedoch schreibt Aristoteles auch, "da es unmöglich ist, dass Widersprüche zur gleichen Zeit auf dasselbe Ding zutreffen sollten, offensichtlich können Gegenteile nicht auch zur gleichen Zeit demselben Ding gehören" (Buch IV, CH 6, p. 531). Er schlägt dann vor, dass "es kein Zwischenglied zwischen Widersprüchen geben kann, aber eines Themas müssen wir entweder versichern oder irgendwelches Prädikat bestreiten" (Buch IV, CH 7, p. 531). Im Zusammenhang von Aristoteles traditioneller Logik ist das eine bemerkenswert genaue Behauptung des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte, P  ¬ P.

Leibniz

Bertrand Russell und Principia Mathematica

Bertrand Russell behauptet eine Unterscheidung zwischen dem "Gesetz der ausgeschlossenen Mitte" und dem "Gesetz des Nichtwiderspruchs". In Den Problemen der Philosophie zitiert er drei "Gesetze des Gedankens" als "mehr oder weniger selbstverständlich" oder "a priori" im Sinne Aristoteles:

Es ist mindestens für die zweiwertige Logik richtig — d. h. es kann mit einer Karte von Karnaugh gesehen werden — dass das Gesetz (2) von Russell "die Mitte" des einschließlichen - oder verwendet in seinem Gesetz (3) entfernt. Und das ist der Punkt der Demonstration von Reichenbach, dass einige das exklusive glauben - oder den Platz des einschließlichen nehmen sollten - oder.

Über dieses Problem (in zugegebenermaßen sehr Fachbegriffen) beobachtet Reichenbach:

In der Linie (30)" (x)" bedeutet "für alle" oder "für jeder", eine Form, die von Russell und Reichenbach verwendet ist; heute ist die Symbolik gewöhnlich x. So würde ein Beispiel des Ausdrucks wie das aussehen:

• (Schwein): (Fliegen (Schwein)  ~Flies (Schwein))
• (Für alle Beispiele "des Schweins" gesehen und ungesehen): ("Schwein fliegt", oder "Schwein fliegt", aber nicht beide gleichzeitig nicht)

Eine formelle Definition von Principia Mathematica

Principia Mathematica (PM) definiert das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte formell:

So, gerade was sind "Wahrheit" und "Lüge"? Am öffnenden PREMIERMINISTER gibt schnell einige Definitionen bekannt:

Das ist nicht viel Hilfe. Aber später, in einer viel tieferen Diskussion, ("Definition und systematische Zweideutigkeit der Wahrheit und Lüge" Teil III, p. 41 des Kapitels II ff) definiert PREMIERMINISTER Wahrheit und Lüge in Bezug auf eine Beziehung zwischen und der "b" und der "Wahrnehmungs-". Zum Beispiel "Das 'b' zu sein", (z.B "ist Dieser 'Gegenstand'" 'rot'), bedeutet wirklich "'protestieren' ist eine Sinngegebenheit", und "'rot' ist eine Sinngegebenheit", und sie "stehen in der Beziehung" zu einander und in Bezug auf "I". So, was wir wirklich vorhaben, ist: "Ich nehme wahr, dass 'Dieser Gegenstand rot' zu sein", und das ein unleugbarer durch die 3. Parteien"Wahrheit" ist.

PREMIERMINISTER definiert weiter eine Unterscheidung zwischen einer "Sinngegebenheit" und einer "Sensation":

Russell hat seine Unterscheidung zwischen "Sinngegebenheit" und "Sensation" in seinem Buch Die Probleme der Philosophie (1912) veröffentlicht zur gleichen Zeit als PREMIERMINISTER (1910-1913) ständig wiederholt:

Russell hat weiter sein Denken hinter seinen Definitionen "der Wahrheit" und "Lüge" in demselben Buch (Wahrheit des Kapitels XII und Lüge) beschrieben.

Folgen des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte in Principia Mathematica

Aus dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte leitet die Formel 2.1 in Principia Mathematica, Whitehead und Russell einige der stärksten Werkzeuge im Beweisführungswerkzeug des Logikers ab. (In Principia Mathematica werden Formeln und Vorschläge durch ein Hauptsternchen und zwei Zahlen, solcher als "2.1" identifiziert.)

2.1 ~p  p "Ist das das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte" (PREMIERMINISTER, p. 101).

Der Beweis 2.1 ist grob wie folgt: "Primitive Idee" 1.08 definiert p  q = ~p  q. Das Auswechseln p für q in dieser Regel gibt p  p = ~p  p nach. Seitdem p  ist p wahr (das ist Lehrsatz 2.08, der getrennt bewiesen wird), dann ~p  muss p wahr sein.

2.11 p  ~p (Wird der Versetzung der Behauptungen durch das Axiom 1.4 erlaubt)

2.12 p  ~ (~p) (Grundsatz der doppelten Ablehnung, Teils 1: Wenn "sich das erhoben hat, ist rot" ist dann wahr es ist nicht wahr, dass "'sich das erhoben hat, ist nicht - rot' ist wahr".)

2.13 p  ~ {~ (~p)} (Hat Lemma zusammen mit 2.12 gepflegt, 2.14 abzustammen)

2.14 ~ (~p)  p (Grundsatz der doppelten Ablehnung, des Teils 2)

2.15 (~p  q)  (~q  p) (Einer der vier "Grundsätze der Umstellung". Ähnlich 1.03, 1.16 und 1.17. Eine sehr lange Demonstration war hier erforderlich.)

2.16 (p  q)  (~q  ~p) (Wenn es wahr ist, dass, "Wenn sich das erhoben hat, dann dieses Schwein Fliegen" dann rot ist, ist es wahr, dass, "Wenn dieses Schwein dann nicht fliegt, sich das erhoben hat, ist nicht rot.")

2.17 (~p  ~q)  (q  p) (Ein anderer der "Grundsätze der Umstellung".)

2.18 (~p  p)  p (Genannt "Die Ergänzung der reductio Anzeige absurdum. Es stellt fest, dass ein Vorschlag, der aus der Hypothese seiner eigenen Lüge folgt", (PREMIERMINISTER, Seiten 103-104) wahr ist.)

Die meisten dieser Lehrsätze insbesondere 2.1, 2.11, und 2.14 - werden durch intuitionism zurückgewiesen. Diese Werkzeuge werden in eine andere Form umgearbeitet, die Kolmogorov als die "vier Axiome von Hilbert der Implikation" und "die zwei Axiome von Hilbert der Ablehnung" zitiert (Kolmogorov in van Heijenoort, p. 335).

Vorschläge 2.12 und 2.14, "verdoppeln Ablehnung":

Die intuitionist Schriften von L. E. J. Brouwer beziehen sich darauf, was er "den Grundsatz der Reziprozität der vielfachen Arten, d. h. der Grundsatz nennt, dass für jedes System die Genauigkeit eines Eigentums aus der Unmöglichkeit der Unmöglichkeit dieses Eigentums folgt" (Brouwer, ibd., p. 335).

Dieser Grundsatz wird "den Grundsatz der doppelten Ablehnung" (PREMIERMINISTER, Seiten 101-102) allgemein genannt. Aus dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (2.1 und 2.11) leitet PREMIERMINISTER Grundsatz 2.12 sofort ab. Wir wechseln gegen ~p p in 2.11 aus, um ~p  ~ (~p), und durch die Definition der Implikation (d. h. 1.01 p  q = ~p  q) dann ~p  ~ (~p) = p  ~ (~p) nachzugeben. QED (Wird die Abstammung 2.14 ein bisschen mehr beteiligt.)

Kritiken

Viele moderne Logiksysteme weisen das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte zurück, es durch das Konzept der Ablehnung als Misserfolg ersetzend. D. h. es gibt eine dritte Möglichkeit: Die Wahrheit eines Vorschlags ist unbekannt. Ein klassisches Beispiel, das den Unterschied illustriert, ist der Vorschlag: "Es ist nicht sicher, die Gleise-Spuren zu durchqueren, wenn man weiß, dass ein Zug kommt". Man sollte es nicht ableiten ist sicher, die Spuren zu durchqueren, wenn man nicht weiß, dass ein Zug kommt. Der Grundsatz der Ablehnung als der Misserfolg wird als ein Fundament für die autoepistemic Logik verwendet, und wird in der Logikprogrammierung weit verwendet. In diesen Systemen ist der Programmierer frei, das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte als eine wahre Tatsache zu behaupten; es ist a priori in diese Systeme nicht eingebaut.

Mathematiker wie L. E. J. Brouwer und Arend Heyting haben um die Nützlichkeit des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte im Zusammenhang der modernen Mathematik gekämpft

Stéphane Lupasco (1900-1988) hat auch die Logik der eingeschlossenen Mitte begründet, zeigend, dass es "eine wahre Logik, mathematisch formalisiert, multivalent einsetzt (mit drei Werten: A, non-A, und T) und nichtwidersprechend". Wie man sagt, ist Quant-Mechanik ein Vorbild dieser Logik, durch die Überlagerung von "ja" und Nein-Quant-Staaten; die eingeschlossene Mitte wird auch als eines der drei Axiome von transdisciplinarity erwähnt, ohne den Wirklichkeit nicht verstanden werden kann.

Siehe auch

• Gesetz von bivalence

Gesetze des Gedankens

• Logische Graphen: eine grafische Syntax für die Satzlogik
• Das Gesetz von Peirce: Eine andere Weise, Intuition klassischer zu drehen
• Dreifältige Logik
• Logik von Intuitionistic
• Der Lehrsatz von Diaconescu

Kommentare

• Aquinas, Thomas, "Summa Theologica", Väter der englischen dominikanischen Provinz (trans). Daniel J. Sullivan (Hrsg.). vols. 19-20 in Robert Maynard Hutchins (Hrsg.). Große Bücher der Westwelt, Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago, Illinois, 1952. Zitiert als GB 19-20.
• Aristoteles, "Metaphysik", W.D. Ross (trans). vol. 8 in Robert Maynard Hutchins (Hrsg.). Große Bücher der Westwelt, Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago, Illinois, 1952. Zitiert als GB 8. 1. veröffentlicht, W.D. Ross (trans). Die Arbeiten von Aristoteles, Presse der Universität Oxford, Oxford, das Vereinigte Königreich.
• Martin Davis 2000, Motoren der Logik: Mathematiker und der Ursprung des Computers", W. W. Norton & Company, New York, internationale Standardbuchnummer 0-393-32229-7 pbk.
• Dawson, J., Logische Dilemmas, Das Leben und die Arbeit von Kurt Gödel, A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts, 1997.
• van Heijenoort, J., Von Frege bis Gödel, Ein Quellbuch in der Mathematischen Logik, 1879-1931, Universität von Harvard Presse, Cambridge, Massachusetts, 1967. Nachgedruckt mit Korrekturen, 1977.
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1923, Auf der Bedeutung des Grundsatzes der ausgeschlossenen Mitte in der Mathematik, besonders in der Funktionstheorie [nachgedruckt mit dem Kommentar, p. 334, van Heijenoort]
• Andrei Nikolaevich Kolmogorov, 1925, Auf dem Grundsatz der ausgeschlossenen Mitte, [nachgedruckt mit dem Kommentar, p. 414, van Heijenoort]
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1927, Auf den Gebieten von Definitionen von Funktionen, [nachgedruckt mit dem Kommentar, p. 446, van Heijenoort], Obwohl nicht direkt zusammenhängend in seinem (1923) Brouwer bestimmte in dieser Zeitung definierte Wörter verwendet.
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1927 (2), Nachdenken von Intuitionistic über den Formalismus, [nachgedruckt mit dem Kommentar, p. 490, van Heijenoort]
• Stephen C. Kleene 1952 ursprünglicher Druck, 1971 6. Druck mit Korrekturen, 10. Druck-1991, Einführung in Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, internationale Standardbuchnummer 0 7204 2103 9.
• Kneale, W. und Kneale, M., Die Entwicklung der Logik, Presse der Universität Oxford, Oxfords, das Vereinigte Königreich, 1962. Nachgedruckt mit Korrekturen, 1975.
• Alfred North Whitehead und Bertrand Russell, Principia Mathematica zu *56, Cambridge an der Universitätspresse 1962 (Die zweite Ausgabe von 1927, nachgedruckt). Äußerst schwierig wegen der geheimnisvollen Symbolik, aber einer Sache, die man haben muss, für ernste Logiker.
• Bertrand Russell, Die Probleme der Philosophie, Mit einer Neuen Einführung durch John Perry, Presse der Universität Oxford, New York, 1997 Ausgabe (zuerst veröffentlichter 1912). Sehr leicht zu lesen: Russell war ein wunderbarer Schriftsteller.
• Bertrand Russell, Die Kunst von Philosophieren und Anderen Aufsätzen, Littlefield, Adams & Co., Totowa, New Jersey, 1974 Ausgabe (zuerst veröffentlichter 1968). Schließt einen wunderbaren Aufsatz auf "Der Kunst ein, Schlussfolgerungen zu ziehen".
• Hans Reichenbach, Elemente der Symbolischen Logik, Dovers, New York, 1947, 1975.
• Tom Mitchell, das Maschinenlernen, der WCB McGraw-Hügel, 1997.
• Constance Reid, Hilbert, Copernicus: Springer-Verlag New York, Inc. 1996, zuerst veröffentlichter 1969. Enthält einen Reichtum der biografischen Information, viel ist auf Interviews zurückzuführen gewesen.
• Bart Kosko, das Krause Denken: Die Neue Wissenschaft der Fuzzy-Logik, des Hyperions, New York, 1993. Das krause Denken an seinem feinsten. Aber eine gute Einführung in die Konzepte.
• David Hume, Eine Untersuchung Bezüglich des Menschlichen Verstehens, das in Großen Büchern des Westlichen Weltencyclopædia Britannica, Band 35, 1952, p. 449 ff nachgedruckt ist. Diese Arbeit wurde von Hume 1758 als sein veröffentlicht, schreiben Sie seiner "jugendlichen" Abhandlung der Menschlichen Natur um: Ein Versuch zu sein, die experimentelle Methode einzuführen, in Moralische Themen Vol Zu schließen. Ich, Des Verstehens habe zuerst 1739, nachgedruckt als veröffentlicht: David Hume, Eine Abhandlung der Menschlichen Natur, Pinguin-Klassiker, 1985. Siehe auch: David Applebaum, Die Vision von Hume, Vega, London, 2001: Ein Nachdruck eines Teils Einer Untersuchung fängt auf p an. 94 ff

Außenverbindungen

• "Widerspruch"-Zugang in der Enzyklopädie von Stanford der Philosophie