Quant-Überlagerung ist ein grundsätzlicher Grundsatz der Quant-Mechanik. Es meint, dass ein physisches System - wie ein Elektron - teilweise in allen seinen besonderen, theoretisch möglichen Staaten (oder, Konfiguration seiner Eigenschaften) gleichzeitig besteht; aber, wenn gemessen, gibt es ein Ergebnis entsprechend nur einer der möglichen Konfigurationen (wie beschrieben, in der Interpretation der Quant-Mechanik).

Mathematisch bezieht es sich auf ein Eigentum von Lösungen der Gleichung von Schrödinger; da die Gleichung von Schrödinger geradlinig ist, wird jede geradlinige Kombination von Lösungen einer besonderen Gleichung auch eine Lösung davon sein. Solche Lösungen werden häufig gemacht, orthogonal zu sein (d. h. die Vektoren sind rechtwinklig zu einander), wie die Energieniveaus eines Elektrons. Durch das Tun so wird die Übergreifen-Energie der Staaten ungültig gemacht, und der Erwartungswert eines Maschinenbedieners (jeder Überlagerungsstaat) ist der Erwartungswert des Maschinenbedieners in den individuellen Staaten, die mit dem Bruchteil des Überlagerungsstaates multipliziert sind, der "in" diesem Staat ist.

Ein Beispiel einer direkt erkennbaren Wirkung der Überlagerung ist Einmischungsspitzen von einer Elektronwelle in einem Experiment des doppelten Schlitzes. Ein anderes Beispiel ist ein reines Quant logischer Qubit-Staat, wie verwendet, in der Quant-Informationsverarbeitung, die eine geradlinige Überlagerung der "Basisstaaten" ist und.

Konzept

Der Grundsatz der Quant-Überlagerung stellt dass fest, wenn ein physisches System in einer Konfiguration — einer Einordnung von Partikeln oder Feldern sein kann — und wenn das System auch in einer anderen Konfiguration sein konnte, dann ist es in einem Staat, der eine Überlagerung der zwei ist, wo der Betrag jeder Konfiguration, die in der Überlagerung ist, durch eine komplexe Zahl angegeben wird.

Der Grundsatz wurde von Paul Dirac wie folgt beschrieben:

Anton Zeilinger, sich auf das archetypische Beispiel des Experimentes des doppelten Schlitzes beziehend, hat bezüglich der Entwicklung und Zerstörung der Quant-Überlagerung ausführlich behandelt:

Theorie

Beispiele

Für eine Gleichung, die ein physisches Phänomen beschreibt, stellt der Überlagerungsgrundsatz fest, dass eine Kombination von Lösungen einer geradlinigen Gleichung auch eine Lösung davon ist. Wenn das wahr ist, wie man sagt, folgt die Gleichung dem Überlagerungsgrundsatz. So, wenn Funktionen f, f und f jeder löst die geradlinige Gleichung ψ, dann würde ψ = cf+cf+cf auch eine Lösung sein, in der jeder c ein Koeffizient ist. Zum Beispiel kann das elektrische Feld wegen eines Vertriebs von beladenen Partikeln durch die Summe der Beiträge der individuellen Partikeln beschrieben werden.

Ähnlich stellt Wahrscheinlichkeitstheorie fest, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch eine Kombination der Wahrscheinlichkeiten von bestimmten spezifischen anderen Ereignissen beschrieben werden kann (sieh Mathematische Behandlung). Zum Beispiel leitet die Wahrscheinlichkeit, zwei Münzen (Münze A und Münze B) zu schnipsen und mindestens ein Land zu haben, kann als die Summe der Wahrscheinlichkeiten für drei spezifische Ereignisse ausgedrückt werden: Rufen Sie Köpfe mit B Schwänzen ins Leben, rufen Sie Köpfe mit B-Köpfen ins Leben, und rufen Sie Schwänze mit B-Köpfen ins Leben. In diesem Fall konnte die Wahrscheinlichkeit als ausgedrückt werden:

oder sogar:

Wahrscheinlichkeitstheorie, als mit der Quant-Theorie, würde auch verlangen, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ereignisse, nicht nur diejenigen, die die Bedingung befriedigen, der Einheit (d. h. hundert Prozent) gleich ist. So:

Wahrscheinlichkeitstheorie stellt auch fest, dass der Wahrscheinlichkeitsvertrieb entlang einem Kontinuum (d. h. die Chance eines Gegenstands, der in einer besonderen Position entlang einem dauernden Satz von Koordinaten ist) oder unter getrennten Ereignissen (das Beispiel oben), mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte oder Einheitsvektor beziehungsweise mit dem Wahrscheinlichkeitsumfang beschrieben werden kann, der ein Quadrat der Dichte-Funktion ist.

In der Quant-Mechanik wird eine zusätzliche Schicht der Analyse eingeführt, da die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion jetzt mehr spezifisch eine Welle-Funktion ist. Die Welle-Funktion ist entweder eine komplizierte Funktion eines begrenzten Satzes von echten Variablen oder ein komplizierter Vektor, der eines begrenzten oder unendlicher Zahl von Bestandteilen gebildet ist. Weil die Koeffizienten in der geradlinigen Kombination, die unsere Wahrscheinlichkeitsdichte beschreibt, jetzt kompliziert sind, muss die Wahrscheinlichkeit jetzt aus dem absoluten Wert der Multiplikation der Welle-Funktion durch seinen verbundenen Komplex kommen. In Fällen, wo die Funktionen nicht kompliziert sind, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis-Auftretens, das auf irgendwelche aller möglichen Ereignisse in einem Teilmenge-Auftreten abhängig ist, die einfache Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses in dieser Teilmenge. Zum Beispiel, wenn ein Beobachter eine Glocke anruft, wann auch immer ein oder mehr Münzland im Beispiel oben leitet, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Beobachters, der eine Glocke anruft, dasselbe als die Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses, in dem mindestens ein Münzländer leitet. Das ist eine einfache Summe, weil das Quadrat der Wahrscheinlichkeitsfunktion immer positiv ist. Das Verwenden der Wellengleichung, das Ergebnis der Multiplikation der Funktion durch seinen Komplex verbunden (d. h. das Ergebnis des Quadrierens es) ist folglich nicht immer positiv, kann gegenintuitive Ergebnisse erzeugen.

Zum Beispiel, wenn ein Foton in plus der Drehungsstaat einen 0.1 Umfang hat, der zu absorbieren ist und ein Atom ins zweite Energieniveau zu bringen ist, und wenn das Foton in minus der Drehungsstaat einen 0.1 Umfang hat, um dasselbe zu machen, würde ein Foton, das einen gleichen Umfang hat, um plus oder minus zu sein, Nullumfang haben, um das Atom in den zweiten aufgeregten Staat zu bringen, und das Atom wird nicht aufgeregt sein. Wenn die Drehung des Fotons gemessen wird, bevor sie das Atom, was für die Antwort - plus oder minus erreicht - wird sie einen nicht Nullumfang haben, um das Atom, plus oder minus 0.1 zu erregen.

Normalisierung annehmend (d. h. dass alle Wahrscheinlichkeiten im Satz ganze 100 % tun) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte in der Quant-Mechanik dem Quadrat des absoluten Werts des Umfangs der Wellenform gleich. Je weiter der Umfang von der Null, desto größer die Wahrscheinlichkeit ist. Wo Wahrscheinlichkeitsvertrieb als eine dauernde Funktion vertreten wird, ist die Wahrscheinlichkeit das Integral der Dichte-Funktion über die relevanten Werte. Wo die Wellengleichung als ein komplizierter Vektor vertreten wird, wird die Wahrscheinlichkeit aus dem absoluten Wert eines Skalarprodukts der mitwirkenden Matrix und seines verbundenen Komplexes herausgezogen. Im Atom-Beispiel oben ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Atom aufgeregt sein wird, Null. Aber die einzige Gelegenheit, auf der Wahrscheinlichkeit ins Bild eingeht, ist, wenn ein Beobachter achtet zu sehen, welcher Weg das Atom geht; dann werden die verschiedenen Umfänge Wahrscheinlichkeiten, um verschiedene Dinge zu sehen. So, wenn Sie überprüfen, um zu sehen, ob das Atom zum zweiten Energieniveau sofort aufgeregt gewesen ist, nachdem das Foton mit dem Nullumfang es erreicht, gibt es keine Chance, das aufgeregte Atom zu sehen.

Ein anderes Beispiel: Wenn eine Partikel in der Position A und Position B sein kann, kann es auch in einem Staat sein, wo es ein Betrag "3i/5" in der Position A und ein Betrag "4/5" in der Position B ist. Um das zu schreiben, sagen Physiker gewöhnlich:

:

| \psi\rangle = {3\over 5} ich |A\rangle + {4\over 5} |B\rangle.

</Mathematik>

In der Beschreibung, nur die Verhältnisgröße der verschiedenen Teilsache und ihr Winkel zu einander auf dem komplizierten Flugzeug. Das wird gewöhnlich durch das Erklären festgesetzt, dass zwei Staaten, die ein Vielfache von einander sind, dasselbe sind, so weit die Beschreibung der Situation betroffen wird.

:

| \psi \rangle \approx \alpha | \psi \rangle

</Mathematik>

Das grundsätzliche Gesetz der Quant-Mechanik ist, dass die Evolution geradlinig ist, dass bedeutend, wenn sich Staat Umdrehungen in' und B in B' nach 10 Sekunden verwandelt, dann nach 10 Sekunden verwandelt sich die Überlagerung in eine Mischung' und B' mit denselben Koeffizienten wie A und B.

Eine Partikel kann jede Position haben, so dass es verschiedene Staaten gibt, die jeden Wert der Position x haben. Diese werden geschrieben:

:

|x\rangle

</Mathematik>

Der Grundsatz der Überlagerung versichert, dass es Staaten gibt, die willkürliche Überlagerungen aller Positionen mit komplizierten Koeffizienten sind:

:

\sum_x \psi (x) |x\rangle

</Mathematik>

Diese Summe wird nur definiert, wenn der Index getrennt ist. Wenn der Index zu Ende ist, dann wird die Summe nicht definiert und wird durch ein Integral stattdessen ersetzt. Die Menge wird den wavefunction der Partikel genannt.

Wenn eine Partikel einige getrennte Orientierungen der Drehung haben kann, zu sagen, dass die Drehung nach der z Achse oder dagegen ausgerichtet werden kann, dann kann die Partikel jeden Staat der Form haben:

:

C_1 | + \rangle + C_2 |-\rangle

</Mathematik>

Wenn die Partikel sowohl Position als auch Drehung hat, ist der Staat eine Überlagerung aller Möglichkeiten für beide:

:

\sum_x \psi _ + (x) |x, + \rangle + \psi_-(x) |x,-\rangle

\</Mathematik>

Der Konfigurationsraum eines Quants mechanisches System kann ohne einige physische Kenntnisse nicht ausgearbeitet werden. Der Eingang ist gewöhnlich die erlaubten verschiedenen klassischen Konfigurationen, aber ohne die Verdoppelung des Umfassens sowohl Position als auch Schwung.

Ein Paar von Partikeln kann in jeder Kombination von Paaren von Positionen sein. Ein Staat, wo eine Partikel an der Position x und dem anderen ist, ist an der Position y wird geschrieben. Der allgemeinste Staat ist eine Überlagerung der Möglichkeiten:

:

\sum_ {xy} (x, y) |x, y\rangle

\</Mathematik>

Die Beschreibung der zwei Partikeln ist viel größer als die Beschreibung einer Partikel — es ist eine Funktion in zweimal der Zahl von Dimensionen. Das ist auch in der Wahrscheinlichkeit wahr, wenn die Statistiken von zwei zufälligen Dingen aufeinander bezogen werden. Wenn zwei Partikeln unkorreliert sind, ist der Wahrscheinlichkeitsvertrieb für ihre gemeinsame Position P (x, y) ein Produkt der Wahrscheinlichkeit, ein an einer Position und anderem an der anderen Position zu finden:

:

P (x, y) = P_x (x) P_y (y)

\</Mathematik>

In der Quant-Mechanik können zwei Partikeln in speziellen Staaten sein, wo die Umfänge ihrer Position unkorreliert sind. Für Quant-Umfänge ersetzt die Wortverwicklung die Wortkorrelation, aber die Analogie ist genau. Ein entwirrter wavefunction hat die Form:

:

(x, y) = \psi_x (x) \psi_y (y)

\</Mathematik>

während ein verfangener wavefunction diese Form nicht hat. Wie Korrelation in der Wahrscheinlichkeit gibt es noch viele verfangene Staaten als entwirrte. Zum Beispiel, wenn zwei Partikeln, die mit einer gleichen Wahrscheinlichkeit aufbrechen, um überall in einem Kasten zu sein, eine starke Anziehungskraft und eine Weise haben, Energie zu zerstreuen, können sie zusammen leicht kommen, um einen bestimmten Staat zu machen. Der bestimmte Staat hat noch eine gleiche Wahrscheinlichkeit, um überall zu sein, so dass jede Partikel noch ebenso wahrscheinlich überall sein wird, aber die zwei Partikeln werden jetzt verfangen: So, wo auch immer eine Partikel ist, der andere ist auch.

Analogie mit der Wahrscheinlichkeit

In der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es einen ähnlichen Grundsatz. Wenn ein System eine probabilistic Beschreibung hat, gibt diese Beschreibung die Wahrscheinlichkeit jeder Konfiguration, und gegeben irgendwelche zwei verschiedenen Konfigurationen, es gibt einen Staat, der teilweise das und teilweise ist, dass, mit positiven Koeffizienten der reellen Zahl, den Wahrscheinlichkeiten, die sagen, wie viel jedes es gibt.

Zum Beispiel, wenn wir einen Wahrscheinlichkeitsvertrieb dafür haben, wo eine Partikel ist, wird sie durch den "Staat" beschrieben

:

\sum_x \rho (x) |x\rangle

</Mathematik>

Wo die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion, eine positive Zahl ist, die die Wahrscheinlichkeit misst, dass die Partikel an einer bestimmten Position gefunden wird.

Die Evolutionsgleichung ist auch in der Wahrscheinlichkeit aus grundsätzlichen Gründen geradlinig. Wenn die Partikel etwas Wahrscheinlichkeit hat, um von der Position x zu y, und von z bis y, die Wahrscheinlichkeit des Gehens zu y zu gehen, der von einem Staat anfängt, der half-x ist und half-z halb und halb Mischung der Wahrscheinlichkeit des Gehens zu y von jeder der Optionen ist. Das ist der Grundsatz der geradlinigen Überlagerung in der Wahrscheinlichkeit.

Quant-Mechanik ist verschieden, weil die Zahlen positiv oder negativ sein können. Während die komplizierte Natur der Zahlen gerade eine Verdoppelung ist, wenn Sie die echten und imaginären Teile getrennt denken, ist das Zeichen der Koeffizienten wichtig. In der Wahrscheinlichkeit tragen zwei verschiedene mögliche Ergebnisse immer zusammen, so dass bei, wenn es mehr Optionen gibt, zu einem Punkt z zu kommen, steigt die Wahrscheinlichkeit immer. In der Quant-Mechanik können verschiedene Möglichkeiten annullieren.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie mit einer begrenzten Zahl von Staaten können die Wahrscheinlichkeiten immer mit einer positiven Zahl multipliziert werden, um ihre Summe gleich einer zu machen. Zum Beispiel, wenn es ein drei Zustandwahrscheinlichkeitssystem gibt:

:

x |1\rangle + y |2\rangle + z |3\rangle

\</Mathematik>

wo die Wahrscheinlichkeiten positive Zahlen sind. x, y, z so dass wiederkletternd

:

x+y+z=1

\</Mathematik>

Die Geometrie des Zustandraums ist ein offenbarter, um ein Dreieck zu sein. Im Allgemeinen ist es ein Simplex. Es gibt spezielle Punkte in einem Dreieck oder Simplex entsprechend den Ecken, und diese Punkte sind diejenigen, wo eine der Wahrscheinlichkeiten 1 gleich ist und andere Null sind. Das sind die einzigartigen Positionen, wo die Position mit der Gewissheit bekannt ist.

In einem Quant mechanisches System mit drei Staaten das Quant ist mechanischer wavefunction eine Überlagerung von Staaten wieder, aber dieses Mal doppelt so viele Mengen ohne Beschränkung des Zeichens:

:

A|1\rangle + B|2\rangle + C|3\rangle = (A_r + iA_i) |1\rangle + (B_r + ich B_i) |2\rangle + (C_r + iC_i) |3\rangle

\</Mathematik>

die Variablen wiedererkletternd, so dass die Summe der Quadrate 1 ist, wird die Geometrie des Raums offenbart, um ein hoher dimensionaler Bereich zu sein

:

A_r^2 + A_i^2 + B_r^2 + B_i^2 + C_r^2 + C_i^2 = 1

\</Mathematik>.

Ein Bereich hat einen großen Betrag der Symmetrie, er kann in verschiedenen Koordinatensystemen oder Basen angesehen werden. So verschieden von einer Wahrscheinlichkeitstheorie hat eine Quant-Theorie eine Vielzahl von verschiedenen Basen, in denen sie ebenso gut beschrieben werden kann. Die Geometrie des Phase-Raums kann als ein Hinweis angesehen werden, dass die Menge in der Quant-Mechanik, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, das absolute Quadrat des Koeffizienten der Überlagerung ist.

Evolution von Hamiltonian

Die Zahlen, die die Umfänge für verschiedene Möglichkeiten beschreiben, definieren den kinematics, den Raum von verschiedenen Staaten. Die Dynamik beschreibt, wie sich diese Zahlen mit der Zeit ändern. Für eine Partikel, die in irgendwelchen von ungeheuer vielen getrennten Positionen, einer Partikel auf einem Gitter sein kann, erzählt der Überlagerungsgrundsatz Ihnen, wie man einen Staat macht:

:

\sum_n \psi_n |n\rangle

\</Mathematik>

So dass die unendliche Liste von Umfängen völlig den Quant-Staat der Partikel beschreibt. Diese Liste wird den Zustandvektoren genannt, und formell ist es ein Element eines Raums von Hilbert, eines unendlichen dimensionalen komplizierten Vektorraums. Es ist üblich, den Staat zu vertreten, so dass sich die Summe der absoluten Quadrate der Umfänge auf denjenigen beläuft:

:

\sum \psi_n^*\psi_n = 1

</Mathematik>

Für eine Partikel, die durch die Wahrscheinlichkeitstheorie das zufällige Wandern auf einer Linie beschrieben ist, ist das analoge Ding die Liste von Wahrscheinlichkeiten, die die Wahrscheinlichkeit jeder Position geben. Die Mengen, die beschreiben, wie sie sich rechtzeitig ändern, sind die Übergangswahrscheinlichkeiten, der die Wahrscheinlichkeit gibt, dass, an x anfangend, die Partikel an y nach der Zeit t endet. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, an y zu enden, wird durch die Summe über alle Möglichkeiten gegeben

:

P_y (t_0+t) = \sum_x P_x (t_0) K_ {x\rightarrow y} (t)

\</Mathematik>

Die Bedingung der Bewahrung der Wahrscheinlichkeit stellt fest, dass, an jedem x anfangend sich die Gesamtwahrscheinlichkeit, um irgendwo zu enden, 1 belaufen muss:

:

\sum_y K_ {x\rightarrow y} = 1

\</Mathematik>

So dass die Gesamtwahrscheinlichkeit bewahrt wird, ist K, was eine stochastische Matrix genannt wird.

Wenn keine Zeit geht, ändert sich nichts: Für die verbrauchte Nullzeit ist die K Matrix Null außer von einem Staat bis sich. So im Fall, dass die Zeit kurz ist, ist es besser, über die Rate der Änderung der Wahrscheinlichkeit statt der absoluten Änderung in der Wahrscheinlichkeit zu sprechen.

:

P_y (t+dt) = P_y (t) + dt \sum_x P_x R_ {x\rightarrow y }\

\</Mathematik>

wo die Zeitableitung der K Matrix ist:

:

R_ {x\rightarrow y} = {K_ {x\rightarrow y} (dt) - \delta_ {xy} \over dt }\

\</Mathematik>.

Die Gleichung für die Wahrscheinlichkeiten ist eine Differenzialgleichung, die manchmal die Master-Gleichung genannt wird:

:

{dP_y \over dt} = \sum_x P_x R_ {x\rightarrow y }\

\</Mathematik>

Die R Matrix ist die Wahrscheinlichkeit pro Einheitszeit für die Partikel, um einen Übergang von x bis y zu machen. Die Bedingung, auf die sich die K Matrixelemente belaufen, wird man die Bedingung, dass sich die R Matrixelemente auf Null belaufen:

:

\sum_y R_ {x\rightarrow y} = 0

\</Mathematik>

Ein einfacher Fall, um zu studieren, ist, wenn die R Matrix eine gleiche Wahrscheinlichkeit hat, um eine Einheit nach links oder nach rechts zu gehen, eine Partikel beschreibend, die eine unveränderliche Rate des zufälligen Wanderns hat. In diesem Fall ist Null, wenn y entweder x+1, x, oder x1 nicht ist, wenn y x+1 oder x1 ist, hat die R Matrix Wert c, und in der Größenordnung von der Summe der R Matrixkoeffizienten zur gleichen Null, der Wert dessen muss 2c sein. So folgen die Wahrscheinlichkeiten der discretized Verbreitungsgleichung:

:

{dP_x \over dt} = c (P_ {x+1} - 2P_ {x} + P_ {x-1})

\</Mathematik>

der, wenn c passend erklettert wird und der P Vertrieb glatt genug ist, um an das System in einer Kontinuum-Grenze zu denken, wird:

:

{\\teilweiser P (x, t) \over \partial t\= c {\\partial^2 P \over \partial x^2 }\

\</Mathematik>

Der die Verbreitungsgleichung ist.

Quant-Umfänge geben die Rate, an der sich Umfänge rechtzeitig ändern, und sie mathematisch genau dasselbe sind, außer dass sie komplexe Zahlen sind. Das Analogon der endlichen Zeit K Matrix wird die U Matrix genannt:

:

\psi_n (t) = \sum_m U_ {nm} (t) \psi_m

\</Mathematik>

Da die Summe der absoluten Quadrate der Umfänge unveränderlich sein muss, muss einheitlich sein:

:

\sum_n U^ *_ {nm} U_ {np} = \delta_ {Mitglied des Parlaments }\

\</Mathematik>

oder, in der Matrixnotation,

:

U^\\Dolch U = ich

\</Mathematik>

Die Rate der Änderung von U wird den Hamiltonian H, bis zu einem traditionellen Faktor von mir genannt:

:

H_ {mn} = ich {d \over dt} U_ {mn }\

</Mathematik>

Der Hamiltonian gibt die Rate, an der die Partikel einen Umfang hat, um von der M bis n zu gehen. Der Grund, mit dem es multipliziert wird, bin mich, dass die Bedingung, dass U einheitlich ist, zur Bedingung übersetzt:

:

(Ich + ich H^\\Dolch dt) (Ich - ich H dt) = ich

\</Mathematik>:

H^\\Dolch - H = 0

\</Mathematik>

der sagt, dass H Hermitian ist. Die eigenvalues der Matrix von Hermitian H sind echte Mengen, die eine physische Interpretation als Energieniveaus haben. Wenn der Faktor ich, fehlte die H Matrix, antihermitian sein würde und rein imaginären eigenvalues haben würde, der nicht die traditionelle Weise ist, wie Quant-Mechanik erkennbare Mengen wie die Energie vertritt.

Für eine Partikel, die gleichen Umfang hat, um sich verlassen und Recht zu bewegen, ist die Matrix von Hermitian H Null abgesehen von nächsten Nachbarn, wo es den Wert c hat. Wenn der Koeffizient überall unveränderlich ist, fordert die Bedingung, dass H Hermitian ist, dass der Umfang, um sich nach links zu bewegen, der des Umfangs verbundene Komplex ist, um sich nach rechts zu bewegen. Die Gleichung der Bewegung dafür ist die Zeitdifferenzialgleichung:

:

ich {d \psi_n \over dt} = C^* \psi_ {n+1} + c \psi_ {n-1 }\

</Mathematik>

Im Fall, der abgereist ist und ist Recht symmetrisch, c ist echt. Durch das Wiederdefinieren der Phase des wavefunction rechtzeitig, werden die Umfänge, um an verschiedenen Positionen zu sein, nur wiedererklettert, so dass die physische Situation unverändert ist. Aber diese Phase-Folge führt einen geradlinigen Begriff ein.

:

ich {d \psi_n \over dt} = c \psi_ {n+1} - 2c\psi_n + c\psi_ {n-1 }\

</Mathematik>

der die richtige Wahl der Phase ist, die Kontinuum-Grenze zu nehmen. Wenn c sehr groß ist und sich psi langsam ändert, so dass vom Gitter als eine Linie gedacht werden kann, wird das die freie Gleichung von Schrödinger:

:

ich {\partial \psi \over \partial t} = - {\\Partial^2 \psi \over \partial x^2 }\

</Mathematik>

Wenn es einen zusätzlichen Begriff in der H Matrix gibt, die eine Extraphase-Folge ist, die sich vom Punkt bis Punkt ändert, ist die Kontinuum-Grenze die Gleichung von Schrödinger mit einer potenziellen Energie:

:

ich {\partial \psi \over \partial t} = - {\\Partial^2 \psi \over \partial x^2} + V (x) \psi

</Mathematik>

Diese Gleichungen beschreiben die Bewegung einer einzelnen Partikel in der nichtrelativistischen Quant-Mechanik.

Quant-Mechanik in der imaginären Zeit

Die Analogie zwischen Quant-Mechanik und Wahrscheinlichkeit ist sehr stark, so dass es viele mathematische Verbindungen zwischen ihnen gibt. In einem statistischen System in der diskreten Zeit, t=1,2,3, beschrieben durch eine Übergang-Matrix für einen Zeitsprung, die Wahrscheinlichkeit, um zwischen zwei Punkten nachdem zu gehen, kann eine begrenzte Zahl von Zeitsprüngen als eine Summe über alle Pfade der Wahrscheinlichkeit vertreten werden, jeden Pfad zu nehmen:

:

K_ {x\rightarrow y} (T) = \sum_ {x (t)} \prod_t K_ {x (t) x (t+1) }\

\</Mathematik>

wo die Summe über alle Pfade mit dem Eigentum das erweitert und. Der analoge Ausdruck in der Quant-Mechanik ist der integrierte Pfad.

Eine allgemeine Übergang-Matrix in der Wahrscheinlichkeit hat einen stationären Vertrieb, der die schließliche an jedem Punkt zu findende Wahrscheinlichkeit egal was der Startpunkt ist. Wenn es eine Nichtnullwahrscheinlichkeit für irgendwelche zwei Pfade gibt, um denselben Punkt zur gleichen Zeit zu erreichen, hängt dieser stationäre Vertrieb von den anfänglichen Bedingungen nicht ab. In der Wahrscheinlichkeitstheorie die Wahrscheinlichkeit folgt die M für die stochastische Matrix ausführlich berichtetem Gleichgewicht, wenn der stationäre Vertrieb das Eigentum hat:

:

\rho_n K_ {n\rightarrow M} = \rho_m K_ {m\rightarrow n }\

\</Mathematik>

Ausführliches Gleichgewicht sagt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit des Gehens von der M bis n im stationären Vertrieb, der die Wahrscheinlichkeit des Startens an der M Zeiten die Wahrscheinlichkeit des Hüpfens von der M bis n ist, der Wahrscheinlichkeit des Gehens von n bis M gleich ist, so dass die Summe hin und her Fluss der Wahrscheinlichkeit im Gleichgewicht Null entlang jedem Sprung ist. Die Bedingung ist automatisch zufrieden, wenn n=m, so hat es dieselbe Form, wenn geschrieben, wie eine Bedingung für die Übergangswahrscheinlichkeit R Matrix.

:

\rho_n R_ {n\rightarrow M} = \rho_m R_ {m\rightarrow n }\

\</Mathematik>

Wenn die R Matrix ausführlich berichtetem Gleichgewicht folgt, kann die Skala der Wahrscheinlichkeiten mit dem stationären Vertrieb wiederdefiniert werden, so dass sie nicht mehr zu 1 resümieren:

:

p' _n = \sqrt {\\rho_n }\\; p_n

\</Mathematik>

In den neuen Koordinaten wird die R Matrix wie folgt wiedererklettert:

:

\sqrt {\\rho_n} R_ {n\rightarrow M} {1\over \sqrt {\\rho_m}} = H_ {nm }\

\</Mathematik>

und H ist symmetrischer

:

H_ {nm} = H_ {mn }\

\</Mathematik>

Diese Matrix H definiert ein Quant mechanisches System:

:

ich {d \over dt} \psi_n = \sum H_ {nm} \psi_m

\</Mathematik>

wessen Hamiltonian denselben eigenvalues wie diejenigen der R Matrix des statistischen Systems hat. Die Eigenvektoren sind dasselbe auch außer dem ausgedrückten in der wiederschuppigen Basis. Der stationäre Vertrieb des statistischen Systems ist der Boden-Staat von Hamiltonian, und es hat Energie genau Null, während alle anderen Energien positiv sind. Wenn H exponentiated ist, um die U Matrix zu finden:

:

U (t) = e^ {-iHt }\

\</Mathematik>

und t wird erlaubt, komplizierte Werte zu übernehmen, der K' Matrix wird gefunden, indem er imaginär Zeit in Anspruch genommen wird.

:

K' (t) = e^ {-Ht }\

\</Mathematik>

Für Quant-Systeme, die invariant unter der Zeitumkehrung sind, kann Hamiltonian echt und symmetrisch gemacht werden, so dass die Handlung der Zeitumkehrung auf der Welle-Funktion gerade komplizierte Konjugation ist. Wenn solch ein Hamiltonian einen einzigartigen niedrigsten Energiestaat mit einer positiven echten Welle-Funktion hat, wie er häufig aus physischen Gründen tut, wird er mit einem stochastischen System in der imaginären Zeit verbunden. Diese Beziehung zwischen stochastischen Systemen und Quant-Systemen wirft viel Licht auf die Supersymmetrie.

Experimente und Anwendungen

Erfolgreiche Experimente, die mit Überlagerungen von relativ großen (nach den Standards der Quant-Physik) Gegenstände verbunden sind, sind durchgeführt worden.

• Ein "Katze-Staat" ist mit Fotonen erreicht worden.
• Ein Beryllium-Ion ist in einem superaufgestellten Staat gefangen worden.
• Ein doppeltes Schlitz-Experiment ist mit Molekülen so groß durchgeführt worden wie buckyballs.
• Ein Experiment, das mit einem Superleiten-Quant-Einmischungsgerät ("TINTENFISCH") verbunden ist, ist mit dem Thema des Gedanke-Experimentes verbunden worden: "Der Überlagerungsstaat entspricht einer Milliarde Elektronen nicht, die einen Weg und eine Milliarde andere überfluten, die den anderen Weg überfluten. Das Superleiten von Elektronen bewegt sich in Massen. Alle Superleiten-Elektronen im TINTENFISCH überfluten beide Wege um die Schleife sofort, wenn sie im Katze-Staat von Schrödinger sind."
• Eine piezoelektrische "Stimmgabel" ist gebaut worden, der in eine Überlagerung des Vibrierens gelegt werden kann und Staaten nicht vibrieren zu lassen. Der Resonator umfasst ungefähr 10 Trillionen Atome.

• Ein Experiment, das mit einem Grippe-Virus verbunden ist, ist vorgeschlagen worden.

Im Quant, den Ausdruck schätzend, "bezieht sich Katze-Staat" häufig auf die spezielle Verwicklung von qubits, worin die qubits in einer gleichen Überlagerung von ganzem sind, 0 und ganzem seiend, 1 seiend; d. h.,

:.

Formelle Interpretation

Den Überlagerungsgrundsatz auf ein Quant anwendend mechanische Partikel, die Konfigurationen der Partikel sind alle Positionen, so machen die Überlagerungen eine komplizierte Welle im Raum. Die Koeffizienten der geradlinigen Überlagerung sind eine Welle, die die Partikel so am besten beschreibt, wie möglich ist, und dessen sich Umfang gemäß dem Grundsatz von Huygens einmischt.

Für jede physikalische Eigenschaft in der Quant-Mechanik gibt es eine Liste aller Staaten, wo dieses Eigentum einen Wert hat. Diese Staaten sind auf einander notwendigerweise rechtwinklig, den Euklidischen Begriff von perpendicularity verwendend, der aus der Länge der Summen Quadrate kommt, außer dass sie ich auch Vielfachen von einander nicht sein müssen. Diese Liste von rechtwinkligen Staaten hat einen verbundenen Wert, der der Wert der physikalischen Eigenschaft ist. Der Überlagerungsgrundsatz versichert, dass jeder Staat als eine Kombination von Staaten dieser Form mit komplizierten Koeffizienten geschrieben werden kann.

Schreiben Sie jeden Staat mit dem Wert q von der physischen Menge als ein Vektor in einer Basis, einer Liste von Zahlen an jedem Wert von n für den Vektoren, der Wert q für die physische Menge hat. Bilden Sie jetzt das Außenprodukt der Vektoren, indem Sie alle Vektor-Bestandteile multiplizieren, und fügen Sie sie mit Koeffizienten hinzu, um die Matrix zu machen

:

A_ {nm} = \sum_q q \psi^ {*q} _n \psi^q_m

</Mathematik>

wo sich die Summe über alle möglichen Werte von q ausstreckt. Diese Matrix ist notwendigerweise symmetrisch, weil sie von den orthogonalen Staaten gebildet wird, und eigenvalues q hat. Die Matrix A wird das zur physischen Menge vereinigte erkennbare genannt. Es hat das Eigentum, dass der eigenvalues und die Eigenvektoren die physische Menge und die Staaten bestimmen, die bestimmte Werte für diese Menge haben.

Jede physische Menge hat Hermitian geradliniger dazu vereinigter Maschinenbediener, und die Staaten, wo der Wert dieser physischen Menge bestimmt ist, sind der eigenstates dieses geradlinigen Maschinenbedieners. Die geradlinige Kombination von zwei oder mehr eigenstates läuft auf Quant-Überlagerung von zwei oder mehr Werten der Menge hinaus. Wenn die Menge gemessen wird, wird der Wert der physischen Menge mit einer Wahrscheinlichkeit zufällig sein, die dem Quadrat des Koeffizienten der Überlagerung in der geradlinigen Kombination gleich ist. Sofort nach dem Maß wird der Staat durch den Eigenvektoren entsprechend dem gemessenen eigenvalue gegeben.

Es ist natürlich zu fragen, warum "echt" (makroskopisch, Newtonisch) Gegenstände und Ereignisse nicht scheinen, Quant mechanische Eigenschaften wie Überlagerung zu zeigen. 1935 hat Erwin Schrödinger ein wohl bekanntes Gedanke-Experiment ausgedacht, das jetzt als die Katze von Schrödinger bekannt ist, die die Dissonanz zwischen Quant-Mechanik und Newtonischer Physik hervorgehoben hat, wo nur eine Konfiguration vorkommt, obwohl eine Konfiguration für eine Partikel in der Newtonischen Physik sowohl Position als auch Schwung angibt.

Tatsächlich läuft Quant-Überlagerung auf viele direkt erkennbare Effekten wie Einmischungsspitzen von einer Elektronwelle in einem Experiment des doppelten Schlitzes hinaus. Die Überlagerungen dauern jedoch an allen Skalen an, ein Mechanismus fehlend, um sie zu entfernen. Dieser Mechanismus kann als in der Kopenhagener Interpretation, oder physisch philosophisch sein.

Neue Forschung zeigt an, dass das Chlorophyll innerhalb von Werken scheint, die Eigenschaft der Quant-Überlagerung auszunutzen, um größere Leistungsfähigkeit im Transportieren der Energie zu erreichen, Pigment-Proteinen erlaubend, weiter einzeln unter Drogeneinfluss zu sein, als sonst möglich sein würde.

Wenn die Maschinenbediener entsprechend zwei observables nicht pendeln, haben sie keinen gleichzeitigen eigenstates, und sie folgen einem Unklarheitsgrundsatz. Ein Staat, wo ein erkennbarer einen bestimmten Wert hat, entspricht einer Überlagerung von vielen Staaten für anderes erkennbares.

Siehe auch

• Mach-Zehnder interferometer
• Interpretation von Penrose
• Reine qubit setzen fest
• Quant-Berechnung
• Die Katze von Schrödinger
• Welle-Paket