In der Mathematik, Wahrscheinlichkeit und Statistik, ist ein multivariate zufälliger variabler oder zufälliger Vektor eine Liste von mathematischen Variablen jeder sind dessen Werte unbekannt, entweder weil der Wert noch nicht vorgekommen ist, oder weil es unvollständige Kenntnisse seines Werts gibt. Die individuellen Variablen in einem zufälligen Vektoren werden zusammen gruppiert, weil es Korrelationen unter ihnen geben kann — häufig vertreten sie verschiedene Eigenschaften einer individuellen statistischen Einheit (z.B eine besondere Person, Ereignis, usw.). Normalerweise ist jedes Element eines zufälligen Vektoren eine reelle Zahl.

Zufällige Vektoren werden häufig als die zu Grunde liegende Durchführung von verschiedenen Typen von gesamten zufälligen Variablen, z.B eine zufällige Matrix, zufälliger Baum, Zufallsfolge, Zufallsprozess usw. verwendet.

Mehr formell ist eine multivariate zufällige Variable ein Spaltenvektor X = (X..., X) (oder sein umstellen, der ein Zeilenvektor ist), wessen Bestandteile zufällige Variablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum skalargeschätzt werden (Ω, P), wo Ω der Beispielraum ist, ist die Sigma-Algebra (die Sammlung aller Ereignisse), und P ist das Wahrscheinlichkeitsmaß (eine Funktion, die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses zurückgebend).

Wahrscheinlichkeitsvertrieb

Jeder zufällige Vektor verursacht ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R mit der Algebra von Borel als die zu Grunde liegende Sigma-Algebra. Dieses Maß ist auch bekannt als der gemeinsame Wahrscheinlichkeitsvertrieb, der gemeinsame Vertrieb oder der multivariate Vertrieb des zufälligen Vektoren.

Der Vertrieb von jeder der zufälligen Teilvariablen X wird Randvertrieb genannt. Der bedingte Wahrscheinlichkeitsvertrieb X gegeben X ist der Wahrscheinlichkeitsvertrieb X, wenn X bekannt ist, ein besonderer Wert zu sein.

Operationen auf zufälligen Vektoren

Zufällige Vektoren können denselben Arten von algebraischen Operationen unterworfen werden, wie nichtzufällige Vektoren kann: Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation durch einen Skalar und die Einnahme von Skalarprodukten.

Erwarteter Wert, Kovarianz und Quer-Kovarianz

Der erwartete Wert oder bösartig eines zufälligen Vektoren X ist ein fester Vektor E (X), dessen Elemente die erwarteten Werte der jeweiligen zufälligen Variablen sind.

Die Kovarianz-Matrix (hat auch die Abweichungskovarianz-Matrix genannt), eines n× 1 zufälliger Vektor ist ein n × n Matrix, deren ich, j Element die Kovarianz zwischen mir und den j zufälligen Variablen bin. Die Kovarianz-Matrix ist der erwartete Wert, das Element durch das Element, des n × n Matrix geschätzt als [X - E (X)] [X-E (X)], wo sich der Exponent T auf das Umstellen des angezeigten Vektoren bezieht:

Durch die Erweiterung, die Quer-Kovarianz-Matrix zwischen zwei zufälligen Vektoren X und Y (X habende n Elemente und Y, der p Elemente hat), ist der n × p Matrix

wo wieder die angezeigte Matrixerwartung Element-für-Element in der Matrix genommen wird. Die Quer-Kovarianz-Matrix ist Cov (Y, X) einfach das Umstellen von Matrixcov (X, Y).

Weitere Eigenschaften

Ein

Man kann die Erwartung einer quadratischen Form im zufälligen Vektoren X wie folgt nehmen:

wo C die Kovarianz-Matrix X ist und sich tr auf die Spur einer Matrix — d. h. zur Summe der Elemente auf seiner Hauptdiagonale (vom oberen bezieht, der verlassen ist, Recht zu senken). Da die quadratische Form ein Skalar ist, seine Erwartung auch.

Beweis:

Lassen Sie, ein zufälliger Vektor zu sein mit und und A eine nichtstochastische Matrix sein zu lassen.

Gestützt auf der Formel der Kovarianz dann wenn wir z' =X und z'A' =Y nennen, sehen wir dass:

E (XY') = \operatorname {cov} (X, Y) +E (X) E (Y)' \rightarrow

</Mathematik>

E (z'Az) = \operatorname {cov} (z', z'A') +E (z') E (z'A')' = \operatorname {cov} (z', z'A') + \mu' (\mu'A')' </Mathematik>

\operatorname {cov} (z', z'A') + \mu'A\mu </Mathematik>

Der uns verlässt, um dem zu zeigen

Das ist gestützt auf der Tatsache wahr, dass man matrices zyklisch permutieren kann, wenn man eine Spur nimmt, ohne das Endergebnis zu ändern (z.B:)

Wir sehen das

. Und seitdem ist eine Zahl dann trivial. Mit der Versetzung kommen wir:

Und indem wir es in die ursprüngliche Formel einstecken, kommen wir:

verfolgen Sie \left [{Ein \cdot E \left [{(z - \mu)' (z - \mu)} \right]} \right]

verfolgen Sie \left [{Ein V} \right] </Mathematik>

Zwei

Man kann die Erwartung des Produktes von zwei verschiedenen quadratischen Formen in nullbösartigem Gaussian zufälliger Vektor X wie folgt nehmen:

wo wieder C die Kovarianz-Matrix X ist. Wieder seitdem sind sowohl quadratische Formen Skalare als auch folglich ihr Produkt ist ein Skalar, die Erwartung ihres Produktes ist auch ein Skalar.

Anwendungen

Mappe-Theorie

In der Mappe-Theorie in der Finanz ist ein Ziel häufig, eine Mappe des unsicheren solchen Vermögens zu wählen, dass der Vertrieb der zufälligen Mappe-Rückkehr wünschenswerte Eigenschaften hat. Zum Beispiel könnte man die Mappe-Rückkehr wählen wollen, die die niedrigste Abweichung für einen gegebenen erwarteten Wert hat. Hier ist der zufällige Vektor der Vektor r des zufälligen Umsatzes auf dem individuellen Vermögen, und die Mappe gibt p zurück (ein zufälliger Skalar) ist das Skalarprodukt des Vektoren des zufälligen Umsatzes mit einem Vektoren w Mappe-Gewichte — die Bruchteile der ins jeweilige Vermögen gelegten Mappe. Seitdem p = wr ist der erwartete Wert der Mappe-Rückkehr, wie man zeigen kann, sind wir (r) und die Abweichung der Mappe-Rückkehr wCw, wo C die Kovarianz-Matrix von r ist.

Theorie des rückwärts Gehens

In der geradlinigen Theorie des rückwärts Gehens haben wir Daten auf n Beobachtungen auf einer abhängigen Variable y und n Beobachtungen auf jeder von k unabhängigen Variablen x. Die Beobachtungen auf der abhängigen Variable werden in einen Spaltenvektor y aufgeschobert; die Beobachtungen auf jeder unabhängigen Variable werden auch in Spaltenvektoren aufgeschobert, und diese letzten Spaltenvektoren werden in eine Matrix X von Beobachtungen auf den unabhängigen Variablen verbunden. Dann wird die folgende Gleichung des rückwärts Gehens als eine Beschreibung des Prozesses verlangt, der die Daten erzeugt hat:

wo ein verlangter fester, aber unbekannter Vektor von k Ansprechkoeffizienten ist, und e ein unbekannter zufälliger Vektor ist, der zufällige Einflüsse auf die abhängige Variable widerspiegelt. Durch etwas gewählte Technik solcher als gewöhnlich kleinste Quadrate wird ein Vektor als eine Schätzung gewählt, und die Schätzung des Vektoren, angezeigt, wird als geschätzt

Dann muss der Statistiker die Eigenschaften analysieren und, die als zufällige Vektoren angesehen werden, seitdem eine zufällig verschiedene Auswahl an n Fällen, um zu beobachten, auf verschiedene Werte für sie hinausgelaufen wäre.