In der Mathematik setzt der Gehirnwindungslehrsatz das unter passendem fest

Bedingungen, die der Fourier von einer Gehirnwindung umgestaltet, sind das pointwise Produkt von Fourier verwandelt sich. Mit anderen Worten kommt die Gehirnwindung in einem Gebiet (z.B, Zeitabschnitt) mit dem Punkt kluger Multiplikation im anderen Gebiet (z.B, Frequenzgebiet) gleich. Versionen des Gehirnwindungslehrsatzes sind für den Fourier-zusammenhängenden verschiedenen wahr verwandelt sich.

Lassen Sie und seien Sie zwei Funktionen mit der Gehirnwindung. (Bemerken Sie, dass das Sternchen Gehirnwindung in diesem Zusammenhang und nicht Multiplikation anzeigt. Das Tensor-Produktsymbol wird manchmal stattdessen verwendet.)

Lassen Sie zeigen an, dass der Fourier Maschinenbediener so umgestaltet und der Fourier ist, verwandelt sich von und beziehungsweise.

Dann

:

wo mit dem Punkt kluge Multiplikation anzeigt. Es arbeitet auch der andere Weg ringsherum:

:Indem

er das Gegenteil anwendet, verwandelt sich Fourier, wir können schreiben:

:

Bemerken Sie, dass die Beziehungen nur oben für die Form des Fouriers gültig sind, verwandeln sich gezeigt in der Probeabteilung unten. Das Umgestalten kann auf andere Weisen normalisiert werden, in welchem Fall unveränderliche Skalenfaktoren (normalerweise oder) in den Beziehungen oben erscheinen werden.

Sich dieser Lehrsatz hält auch für Laplace verwandeln sich, zweiseitige Laplace verwandeln sich und, wenn angemessen modifiziert, weil sich Mellin verwandeln und Hartley verwandeln (sieh Inversionslehrsatz von Mellin). Es kann dem Fourier erweitert werden verwandeln sich der abstrakten harmonischen Analyse definiert lokal abelian Kompaktgruppen.

Diese Formulierung ist besonders nützlich, für eine numerische Gehirnwindung auf einem Computer durchzuführen: Der Standardgehirnwindungsalgorithmus hat quadratische rechenbetonte Kompliziertheit. Mit der Hilfe des Gehirnwindungslehrsatzes und des schnellen Fouriers verwandeln sich, die Kompliziertheit der Gehirnwindung kann auf O reduziert werden (n loggen n). Das kann ausgenutzt werden, um schnelle Multiplikationsalgorithmen zu bauen.

Beweis

Der Beweis hier wird für eine besondere Normalisierung des Fouriers gezeigt verwandeln sich. Wie oben erwähnt, wenn das Umgestalten verschieden normalisiert wird, dann werden unveränderliche Skalenfaktoren in der Abstammung erscheinen.

Lassen Sie f, g gehören L(R). Gelassen, der Fourier sein, verwandeln sich dessen, und der Fourier sein, verwandeln sich:

::

wo der Punkt zwischen x und ν das Skalarprodukt von R anzeigt.

Lassen Sie, die Gehirnwindung und der zu sein

:

Bemerken Sie jetzt das

:

Folglich durch den Lehrsatz von Fubini haben wir das so sein Fourier verwandelt sich wird durch die integrierte Formel definiert

:\begin {richten }\aus

H (\nu) = \mathcal {F }\\{h\} &= \int_ {\\mathbb {R} ^n} h (z) e^ {-2 \pi i z\cdot\nu }\\, dz \\

&= \int_ {\\mathbb {R} ^n} \int_ {\\mathbb {R} ^n} f (x) g (z-x) \, dx \, e^ {-2 \pi i z\cdot \nu }\\, dz.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Bemerken Sie, dass und folglich durch das Argument oben wir den Lehrsatz von Fubini wieder anwenden können:

:

Ersatz; dann, so:

:::::::

Diese zwei Integrale sind die Definitionen und, so:

:

QED.

Der Beweis ist in der geradlinigen Algebra trivial, wo Gehirnwindung durch eine unendlich-dimensionale Matrix von Toeplitz, h vertreten wird, die, wie man bekannt, den Fourier eigenbasis, F haben. Das bedeutet, dass h durch einen diagonalen, H = (F h F), vertreten werden kann

:

oder

:

Zusätzliche Mittel

Für die Sehdarstellung des Gebrauches des Gehirnwindungslehrsatzes in der Signalverarbeitung, sieh:

• Die von Java geholfene Simulation der Universität von Johns Hopkins:

http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html

• GNU-C-Graph: Kostenlose Software interaktive Gehirnwindungsdemo.