In der grundlegenden Mathematik ist ein Maschinenbediener ein Symbol oder Funktion, die eine mathematische Operation vertritt.

In Bezug auf Vektorräume ist ein Maschinenbediener von einem Vektorraum oder Modul zu einem anderen kartografisch darzustellen. Maschinenbediener sind von kritischer Wichtigkeit sowohl zur geradlinigen Algebra als auch zu Funktionsanalyse, und sie finden Anwendung in vielen anderen Feldern der reinen und angewandten Mathematik. Zum Beispiel, in der klassischen Mechanik, wird die Ableitung allgegenwärtig, und in der Quant-Mechanik verwendet, observables werden von geradlinigen Maschinenbedienern vertreten. Wichtige Eigenschaften, die verschiedene Maschinenbediener ausstellen können, schließen Linearität, Kontinuität und boundedness ein.

Definitionen

Lassen Sie U, V zwei Vektorräume sein. Von U bis V kartografisch darzustellen, wird einen Maschinenbediener genannt. Lassen Sie V ein Vektorraum über Feld K sein. Wir können die Struktur eines Vektorraums auf dem Satz aller Maschinenbediener von U bis V definieren:

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für den ganzen A, B: U  V, für den ganzen x in U und für den ganzen α in K.

Zusätzlich, Maschinenbediener von jedem Vektorraum, um selbst eine unital assoziative Algebra zu bilden:

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mit der kartografisch darstellenden Identität (hat gewöhnlich E, mich oder id angezeigt), die Einheit zu sein.

Begrenzte Maschinenbediener und Maschinenbediener-Norm

Lassen Sie U und V zwei Vektorräume über dasselbe bestellte Feld (zum Beispiel,) sein, und sie werden mit Normen ausgestattet. Dann wird ein geradliniger Maschinenbediener von U bis V begrenzt genannt, wenn dort C> 0 solches dass besteht

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für den ganzen x in U.

Es ist trivial, um zu zeigen, dass begrenzte Maschinenbediener einen Vektorraum bilden. Auf diesem Vektorraum können wir eine Norm einführen, die mit den Normen von U und V vereinbar ist:

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Im Falle Maschinenbediener von U bis sich kann ihm das gezeigt werden

:.

Jeder unital normed Algebra mit diesem Eigentum wird eine Algebra von Banach genannt. Es ist möglich, geisterhafte Theorie zu solchen Algebra zu verallgemeinern. C*-algebras, die Algebra von Banach mit einer zusätzlichen Struktur sind, eine wichtige Rolle in der Quant-Mechanik spielen.

Spezielle Fälle

Functionals

Ein funktioneller ist ein Maschinenbediener, der einen Vektorraum zu seinem zu Grunde liegenden Feld kartografisch darstellt. Wichtige Anwendungen von functionals sind die Theorien von verallgemeinerten Funktionen und Rechnung von Schwankungen. Beide sind zur theoretischen Physik von großer Bedeutung.

Geradlinige Maschinenbediener

Die allgemeinste Art des gestoßenen Maschinenbedieners ist geradlinige Maschinenbediener. Lassen Sie U und V Vektorräume über Feld K sein. Maschinenbediener A: U  V wird geradlinig wenn genannt

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für den ganzen x, y in U und für den ganzen α, β in K.

Die Wichtigkeit von geradlinigen Maschinenbedienern besteht teilweise darin, weil sie morphisms zwischen Vektorräumen sind.

Im endlich-dimensionalen Fall können geradlinige Maschinenbediener durch matrices folgendermaßen vertreten werden. Lassen Sie, ein Feld zu sein, und und endlich-dimensionale zu Ende Vektorräume zu sein. Lassen Sie uns eine Basis in und in auswählen. Dann lassen Sie, ein willkürlicher Vektor in (das Annehmen der Tagung von Einstein) zu sein, und ein geradliniger Maschinenbediener zu sein. Dann

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Dann ist die Matrix des Maschinenbedieners in festen Basen. Es ist leicht zu sehen, dass das von der Wahl, und das iff nicht abhängt. So in festen Basen n durch M sind matrices in der bijektiven Ähnlichkeit geradlinigen Maschinenbedienern von dazu.

Die wichtigen Konzepte, die direkt mit Maschinenbedienern zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen verbunden sind, sind diejenigen von Reihe, Determinante, umgekehrtem Maschinenbediener und eigenspace.

Im unendlich-dimensionalen Fall spielen geradlinige Maschinenbediener auch eine große Rolle. Die Konzepte der Reihe und Determinante können zum unendlich-dimensionalen Fall nicht erweitert werden, und obwohl es unendlichen matrices gibt, hören sie auf, ein nützliches Werkzeug zu sein. Das ist, warum sehr verschiedene Techniken verwendet werden, wenn man geradlinige Maschinenbediener (und Maschinenbediener im Allgemeinen) im unendlich-dimensionalen Fall studiert. Sie formen sich ein Feld der Funktionsanalyse (hat solchen genannt, weil verschiedene Klassen von Funktionen interessante Beispiele von unendlich-dimensionalen Vektorräumen bilden).

Begrenzte geradlinige Maschinenbediener über den Banachraum bilden eine Algebra von Banach hinsichtlich der Standardmaschinenbediener-Norm. Die Theorie von Algebra von Banach entwickelt ein sehr Gesamtkonzept von Spektren, das elegant die Theorie von eigenspaces verallgemeinert.

Beispiele

Geometrie

In der Geometrie (besonders unterschiedliche Geometrie) werden zusätzliche Strukturen auf Vektorräumen manchmal studiert. Maschinenbediener, die solche Vektorräume zu sich bijektiv kartografisch darstellen, sind in diesen Studien sehr nützlich, sie bilden natürlich Gruppen durch die Zusammensetzung.

Zum Beispiel sind bijektive Maschinenbediener, die die Struktur des geradlinigen Raums bewahren, genau invertible geradlinige Maschinenbediener. Sie bilden allgemeine geradlinige Gruppe; bemerken Sie, dass sie keinen Vektorraum bilden, z.B sind sowohl id als auch-id invertible, aber 0 ist nicht.

Maschinenbediener, die euklidisch metrisch auf solch einer Raumform orthogonale Gruppe und Maschinenbediener bewahren, die auch Orientierung von Vektor-Tupeln bewahren, bilden spezielle orthogonale Gruppe oder die Gruppe von Folgen.

Wahrscheinlichkeitstheorie

Maschinenbediener werden auch an der Wahrscheinlichkeitstheorie, wie Erwartung, Abweichung, Kovarianz, factorials usw. beteiligt.

Rechnung

Aus dem Gesichtswinkel von der Funktionsanalyse ist Rechnung die Studie von zwei geradlinigen Maschinenbedienern: der Differenzialoperator und der unbestimmte integrierte Maschinenbediener.

Reihe von Fourier und Fourier verwandeln sich

Der Fourier verwandelt sich ist in der angewandten Mathematik, besonders Physik und Signalverarbeitung nützlich. Es ist ein anderer integrierter Maschinenbediener; es ist hauptsächlich nützlich, weil es eine Funktion auf einem (zeitlichem) Gebiet zu einer Funktion auf anderem (Frequenz) Gebiet, in einem Weg effektiv invertible umwandelt. Nichts Bedeutendes wird verloren, weil es ein Gegenteil gibt, gestalten Maschinenbediener um. Im einfachen Fall von periodischen Funktionen basiert dieses Ergebnis auf dem Lehrsatz, dass jede dauernde periodische Funktion als die Summe einer Reihe von Sinus-Wellen und Kosinus-Wellen vertreten werden kann:

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Koeffizienten (a, a, b, a, b...) sind tatsächlich ein Element eines unendlich-dimensionalen Vektorraums , und so ist Reihe von Fourier ein geradliniger Maschinenbediener.

Wenn, sich mit allgemeiner Funktion R  C befassend, das Umgestalten eine integrierte Form übernimmt:

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Laplace verwandeln sich

Die Laplace verwandeln sich ist ein anderer integrierter Maschinenbediener und wird an der Vereinfachung des Prozesses beteiligt, Differenzialgleichungen zu lösen.

Gegebener f = f (s), es wird definiert durch:

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Grundsätzliche Maschinenbediener auf dem Skalar und den Vektorfeldern

Drei Maschinenbediener sind Schlüssel, Rechnung zu leiten:

• Student im Aufbaustudium (Anstieg), (mit dem Maschinenbediener-Symbol ) teilt einen Vektoren an jedem Punkt in einem Skalarfeld zu, das in der Richtung auf die größte Rate der Änderung dieses Feldes hinweist, und dessen Norm den absoluten Wert dieser größten Rate der Änderung misst.
• Div (Abschweifung) ist ein Vektor-Maschinenbediener, der eine Abschweifung eines Vektorfeldes von oder Konvergenz zu einem gegebenen Punkt misst.
• Locke ist ein Vektor-Maschinenbediener, der ein Winden eines Vektorfeldes misst (sich ringsherum windend, ringsherum rotierend), Tendenz über einen gegebenen Punkt.

Siehe auch

• Operation
• Funktion
• Vektorraum
• Doppelraum
• Maschinenbediener-Algebra
• Algebra von Banach
• Liste von Maschinenbedienern
• Maschinenbediener (Physik)
• Maschinenbediener, der (programmiert)