. Der Farbton vertritt das Funktionsargument, während die Helligkeit den Umfang vertritt.]]

Komplizierte Analyse, die traditionell als die Theorie von Funktionen einer komplizierten Variable bekannt ist, ist der Zweig der mathematischen Analyse, die Funktionen von komplexen Zahlen untersucht. Es ist in vielen Zweigen der Mathematik, einschließlich der Zahlentheorie und angewandten Mathematik nützlich; sowie in der Physik, einschließlich der Wasserdrucklehre, Thermodynamik und Elektrotechnik.

Murray R. Spiegel hat komplizierte Analyse als "einer der schönsten sowie nützlichen Zweige der Mathematik" beschrieben.

Komplizierte Analyse ist besonders mit den analytischen Funktionen von komplizierten Variablen (oder, mehr allgemein, meromorphic Funktionen) beschäftigt. Weil die getrennten echten und imaginären Teile jeder analytischen Funktion die Gleichung von Laplace befriedigen müssen, ist komplizierte Analyse auf zweidimensionale Probleme in der Physik weit anwendbar.

Geschichte

Komplizierte Analyse ist einer der klassischen Zweige in der Mathematik mit Wurzeln im 19. Jahrhundert und gerade vorherig. Wichtige Namen sind Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass und noch viele im 20. Jahrhundert. Komplizierte Analyse, insbesondere die Theorie von conformal mappings, hat viele physische Anwendungen und wird auch überall in der analytischen Zahlentheorie verwendet. In modernen Zeiten ist es sehr populär durch eine neue Zunahme von der komplizierten Dynamik und den Bildern von erzeugtem fractals durch das Wiederholen holomorphic von Funktionen geworden. Eine andere wichtige Anwendung der komplizierten Analyse ist in der Schnur-Theorie, die conformal invariants in der Quant-Feldtheorie studiert.

Komplizierte Funktionen

Eine komplizierte Funktion ist diejenige, in der die unabhängige Variable und die abhängige Variable beide komplexe Zahlen sind. Genauer ist eine komplizierte Funktion eine Funktion, deren Gebiet und Reihe Teilmengen des komplizierten Flugzeugs sind.

Für jede komplizierte Funktion können sowohl die unabhängige Variable als auch die abhängige Variable in echte und imaginäre Teile getrennt werden:

: und

:

: wo und reellwertige Funktionen sind.

Mit anderen Worten, die Bestandteile der Funktion f (z),

: und:

kann als reellwertige Funktionen der zwei echten Variablen, x und y interpretiert werden.

Die grundlegenden Konzepte der komplizierten Analyse werden häufig durch das Verlängern der elementaren echten Funktionen (z.B, exponentials, Logarithmen und trigonometrische Funktionen) ins komplizierte Gebiet eingeführt.

Funktionen von Holomorphic

Funktionen von Holomorphic sind komplizierte auf einer offenen Teilmenge des komplizierten Flugzeugs definierte Funktionen, die differentiable sind. Komplex differentiability hat viel stärkere Folgen als üblicher (echter) differentiability. Zum Beispiel, holomorphic Funktionen sind ungeheuer differentiable, wohingegen einige echte Differentiable-Funktionen nicht sind. Die meisten Elementarfunktionen, einschließlich der Exponentialfunktion, der trigonometrischen Funktionen, und aller polynomischen Funktionen, sind holomorphic.

Siehe auch: analytische Funktion, holomorphic Bündel und Vektor-Bündel.

Hauptergebnisse

Ein Hauptwerkzeug in der komplizierten Analyse ist die integrierte Linie. Das Integral um einen geschlossenen Pfad einer Funktion, die holomorphic überall innerhalb des durch den geschlossenen Pfad begrenzten Gebiets ist, ist immer Null; das ist Cauchy integrierter Lehrsatz. Die Werte einer Holomorphic-Funktion innerhalb einer Platte können durch einen bestimmten Pfad geschätzt werden, der an der Grenze der Platte (die integrierte Formel von Cauchy) integriert ist. Pfad-Integrale im komplizierten Flugzeug werden häufig verwendet, um komplizierte echte Integrale zu bestimmen, und hier ist die Theorie von Rückständen unter anderen nützlich (sieh Methoden der Kontur-Integration). Wenn eine Funktion einen Pol oder Eigenartigkeit an einem Punkt, d. h. an diesem Punkt hat, wo seine Werte "explodieren" und keine begrenzte Grenze haben, dann kann man den Rückstand der Funktion auf diesen Pol schätzen. Diese Rückstände können verwendet werden, um Pfad-Integrale zu schätzen, die die Funktion einschließen; das ist der Inhalt des starken Rückstand-Lehrsatzes. Das bemerkenswerte Verhalten von Holomorphic-Funktionen in der Nähe von wesentlichen Eigenartigkeiten wird durch den Lehrsatz von Picard beschrieben. Funktionen, die nur Pole haben, aber keine wesentlichen Eigenartigkeiten werden meromorphic genannt.

Reihen von Laurent sind der Reihe von Taylor ähnlich, aber können verwendet werden, um das Verhalten von Funktionen in der Nähe von Eigenartigkeiten zu studieren.

Eine begrenzte Funktion, die holomorphic im kompletten komplizierten Flugzeug ist, muss unveränderlich sein; das ist der Lehrsatz von Liouville. Es kann verwendet werden, um einen natürlichen und kurzen Beweis für den Hauptsatz der Algebra zur Verfügung zu stellen, die feststellt, dass das Feld von komplexen Zahlen algebraisch geschlossen wird.

Wenn eine Funktion holomorphic überall in einem einfach verbundenen Gebiet dann ist, werden seine Werte durch seine Werte auf jedem kleineren Subgebiet völlig bestimmt. Wie man sagt, wird die Funktion auf dem größeren Gebiet von seinen Werten auf dem kleineren Gebiet analytisch fortgesetzt. Das erlaubt die Erweiterung der Definition von Funktionen, wie der Riemann zeta Funktion, die in Bezug auf unendliche Summen am Anfang definiert werden, die nur auf beschränkten Gebieten zu fast dem kompletten komplizierten Flugzeug zusammenlaufen. Manchmal, als im Fall vom natürlichen Logarithmus, ist es unmöglich, eine Holomorphic-Funktion zu einem nichteinfach verbundenen Gebiet im komplizierten Flugzeug analytisch fortzusetzen, aber es ist möglich sich auszustrecken es zu einem holomorphic fungiert auf einer nah zusammenhängenden als eine Oberfläche von Riemann bekannten Oberfläche.

All das bezieht sich auf die komplizierte Analyse in einer Variable. Es gibt auch eine sehr reiche Theorie der komplizierten Analyse in mehr als einer komplizierter Dimension, in der die analytischen Eigenschaften wie Macht-Reihenentwicklung vortragen, wohingegen die meisten geometrischen Eigenschaften von Holomorphic-Funktionen in einer komplizierter Dimension (wie conformality) nicht vortragen. Der Riemann, der Lehrsatz über die conformal Beziehung von bestimmten Gebieten im komplizierten Flugzeug kartografisch darstellt, das das wichtigste Ergebnis in der eindimensionalen Theorie sein kann, scheitert drastisch in höheren Dimensionen.

Siehe auch

• Komplizierte Dynamik
• Liste von komplizierten Analyse-Themen
• Echte Analyse
• Der Lehrsatz von Runge
• Mehrere komplizierte Variablen

Zeichen

• Ahlfors. komplizierte Analyse (McGraw-Hügel).

• C.Caratheodory, Theorie von Funktionen einer Komplizierten Variable (Chelsea, New York). [2 Volumina.]

• Needham T., Komplizierte Sehanalyse (Oxford, 1997).

• Henrici P., Angewandte und Rechenbetonte Komplizierte Analyse (Wiley). [Drei Volumina: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E., Fortgeschrittene Technikmathematik, 9 Hrsg., Ch.13-18 (Wiley, 2006).

• A.I.Markushevich. Theorie von Funktionen einer Komplizierten Variable (Prentice-Saal, 1965). [Drei Volumina.]

• Scheidemann, V., Einführung in die komplizierte Analyse in mehreren Variablen (Birkhauser, 2005)

• Shaw, W.T. Komplizierte Analyse mit Mathematica (Cambridge, 2006).
• Spiegel, Murray R. Theorie und Probleme von Komplizierten Variablen - mit einer Einführung in Conformal Kartografisch darstellend und seine Anwendungen (McGraw-Hügel, 1964).

• Marsden & Hoffman, Grundlegende komplizierte Analyse (Freeman, 1999).

Außenverbindungen

• Komplizierte Analyse - Lehrbuch von George Kain
• Komplizierte Analyse-Kurs-Website durch Douglas N. Arnold
• Beispiel-Probleme in der komplizierten Analyse
• Eine Sammlung von Verbindungen zu Programmen, um sich komplizierte Funktionen (und verbunden) zu vergegenwärtigen
• Kompliziertes Analyse-Projekt von John H. Mathews
• Wolfram-Forschung Komplex-Analyse-Seite von MathWorld
• Anwendung Komplizierter Funktionen in der 2. Digitalbildtransformation
• Komplizierter Visualizer - Java applet, um sich willkürlichen Komplex zu vergegenwärtigen, fungiert
• Komplex-Funktionswerkzeug des grafisch darstellenden von JavaScript
• Frühster bekannter Gebrauch von einigen der Wörter der Mathematik: Rechnung & Analyse