In der Mathematik der Cauchy sind integrierter Lehrsatz (auch bekannt als der Cauchy-Goursat Lehrsatz) in der komplizierten Analyse, genannt nach Augustin-Louis Cauchy, eine wichtige Behauptung über Linienintegrale für Holomorphic-Funktionen im komplizierten Flugzeug. Im Wesentlichen sagt es, dass, wenn zwei verschiedene Pfade dieselben zwei Punkte verbinden, und eine Funktion holomorphic überall "zwischen" den zwei Pfaden ist, dann werden die zwei Pfad-Integrale der Funktion dasselbe sein.

Der Lehrsatz wird gewöhnlich für geschlossene Pfade wie folgt formuliert: Lassen Sie U eine offene Teilmenge von C sein, der einfach verbunden wird, lassen Sie f: U  C, eine Holomorphic-Funktion sein und zu lassen, ein korrigierbarer Pfad in U zu sein, dessen Anfang-Punkt seinem Endpunkt gleich ist. Dann

Ein genauer (Homologie) Version kann mit krummen Zahlen festgesetzt werden. Die krumme Zahl einer geschlossenen Kurve um einen Punkt nicht auf der Kurve ist das Integral 1 / (2 i) f (z), wo f (z) = 1 / (z − a) um die Kurve. Es ist eine ganze Zahl.

Kurz, der Pfad, der entlang einer Kurve von Jordan einer Funktion holomorphic im Interieur der Kurve integriert ist, ist Null. Statt eines einzelnen geschlossenen Pfads können wir eine geradlinige Kombination des geschlossenen Pfads denken, wo die Skalare ganze Zahlen sind. Solch eine Kombination wird eine geschlossene Kette genannt, und man definiert integriert entlang der Kette als die geradlinige Kombination von Integralen über individuelle Pfade. Eine geschlossene Kette wird einen Zyklus in einem Gebiet genannt, wenn es zur Null im Gebiet homolog ist, das die krumme Zahl ist, die durch das Integral 1 / ausgedrückt ist (z − a) über die geschlossene Kette ist Null für jeden Punkt nicht im Gebiet. Das bedeutet, dass sich die geschlossene Kette um Punkte außerhalb des Gebiets nicht windet. Dann kann der Lehrsatz von Cauchy festgesetzt werden, weil das Integral einer Funktion holomorphic in einem offenen Satz, der um jeden Zyklus im offenen Satz genommen ist, Null ist. Ein Beispiel wird durch das gestaltete Gebiet des Rings ausgestattet. Diese Version ist für die strenge Abstammung der Reihe von Laurent und der Rückstand-Formel von Cauchy entscheidend, ohne irgendwelche physischen Begriffe wie böse Kürzungen oder Deformierungen einzuschließen. Die Version ermöglicht, um den Lehrsatz von Cauchy zu erweitern, um verbundene Gebiete analytisch zu multiplizieren.

Diskussion

Wie von Goursat gezeigt wurde, kann der integrierte Lehrsatz von Cauchy annehmend nur bewiesen werden, dass die komplizierte Ableitung f' (z) überall in U besteht. Das ist bedeutend, weil man dann die integrierte Formel von Cauchy für diese Funktionen beweisen kann, und von dem diese Funktionen ableiten, sind tatsächlich ungeheuer differentiable.

Die Bedingung dass U, einfach Mittel verbunden werden, dass U keine "Löcher" oder in Homotopy-Begriffen hat, dass die grundsätzliche Gruppe von U trivial ist; zum Beispiel, jede offene Platte

der den Einheitskreis, und dann den Pfad integrierter verfolgt

ist Nichtnull; Cauchy, den integrierter Lehrsatz hier seitdem nicht anwendet, wird (und sicher nicht holomorphic) daran nicht definiert.

Eine wichtige Folge des Lehrsatzes ist, dass Pfad-Integrale von Holomorphic-Funktionen auf einfach verbundenen Gebieten in einem geschätzt werden können

vom Hauptsatz der echten Rechnung vertraute Weise: Lassen Sie U eine einfach verbundene offene Teilmenge von C sein, f lassen: U  C, eine Holomorphic-Funktion sein, und γ ein piecewise unaufhörlich differentiable Pfad in U mit dem Anfang sein zu lassen, spitzen an, dass a und Ende b anspitzen. Wenn F eine komplizierte Antiableitung von f, dann ist

Der Cauchy integrierte Lehrsatz ist in ein bisschen stärkeren Formen gültig als gegeben oben. Lassen Sie z.B U eine einfach verbundene offene Teilmenge von C und f eine Funktion sein, die holomorphic auf U und dauernd darauf ist. Lassen Sie, eine Schleife zu sein, in der gleichförmige Grenze einer Folge von korrigierbaren Schleifen in U mit der begrenzten Länge ist. Dann den Lehrsatz von Cauchy auf anwendend, und zur Grenze gehend, hat man

Sieh z.B für ein allgemeineres Ergebnis.

Der Cauchy integrierte Lehrsatz führt zur integrierten Formel von Cauchy und dem Rückstand-Lehrsatz.

Beweis

Wenn man annimmt, dass die partiellen Ableitungen einer Holomorphic-Funktion, Cauchy dauernd sind integrierter Lehrsatz kann als eine direkte Folge des Lehrsatzes von Green und der Tatsache bewiesen werden, dass die echten und imaginären Teile dessen die Gleichungen von Cauchy-Riemann im Gebiet befriedigen müssen, das durch, und außerdem in der offenen Nachbarschaft U von diesem Gebiet begrenzt ist. Cauchy hat diesen Beweis zur Verfügung gestellt, aber es wurde später von Goursat bewiesen, ohne Techniken von der Vektor-Rechnung oder die Kontinuität von partiellen Ableitungen zu verlangen.

Wir können den integrand, sowie das Differenzial in ihre echten und imaginären Bestandteile brechen:

In diesem Fall haben wir

Durch den Lehrsatz des Grüns können wir dann die Integrale um die geschlossene Kontur mit einem Gebiet ersetzen, das überall im Gebiet integriert ist, das durch wie folgt eingeschlossen wird:

Jedoch die echten und imaginären Teile einer Funktion zu sein, die im Gebiet analytisch ist, und muss die Gleichungen von Cauchy-Riemann dort befriedigen:

Wir finden deshalb, dass sowohl integrands (als auch folglich ihre Integrale) Null sind

Das gibt das gewünschte Ergebnis

Siehe auch

• Gleichungen von Cauchy-Riemann
• Der Lehrsatz von Morera
• Methoden der Kontur-Integration
• Rückstand (komplizierte Analyse)
• Der Lehrsatz des Grüns

Außenverbindungen

• Die Seite-Mathematik-Computerzeichen von Anil enthalten eine einfache Behandlung des globalen (Homologie-Version des Lehrsatzes von Cauchy, der den Lehrsatz von Cauchy für ein Dreieck annimmt, und ein konvexes Gebiet, das sich bietet, hat den Beweis von Dixon vereinfacht und leitet den Lehrsatz von Cauchy für ein einfach verbundenes Gebiet ab