In der Riemannian Geometrie ist die Verbindung von Levi-Civita eine spezifische Verbindung auf dem Tangente-Bündel einer Sammelleitung. Mehr spezifisch ist es die metrische Verbindung ohne Verdrehungen, d. h., die Verbindung ohne Verdrehungen auf dem Tangente-Bündel (eine affine Verbindung) Bewahrung eines gegebenen (pseudo-) metrischer Riemannian.

Der Hauptsatz der Geometrie von Riemannian stellt fest, dass es eine einzigartige Verbindung gibt, die diese Eigenschaften befriedigt.

In der Theorie von Riemannian und Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen der Begriff wird kovariante Ableitung häufig für die Verbindung von Levi-Civita verwendet. Die Bestandteile dieser Verbindung in Bezug auf ein System von lokalen Koordinaten werden Symbole von Christoffel genannt.

Die Verbindung von Levi-Civita wird nach Tullio Levi-Civita, obwohl ursprünglich "entdeckt", von Elwin Bruno Christoffel genannt. Levi-Civita, zusammen mit Gregorio Ricci-Curbastro, hat die Symbole von Christoffel verwendet, um den Begriff des parallelen Transports zu definieren und die Beziehung des parallelen Transports mit der Krümmung zu erforschen, so den modernen Begriff von holonomy entwickelnd.

Die Begriffe von Levi-Civita der inneren abgeleiteten und parallelen Versetzung eines Vektoren entlang einer Kurve haben Sinn auf einer abstrakten Sammelleitung von Riemannian, wenn auch sich die ursprüngliche Motivation auf ein spezifisches Einbetten verlassen hat, da die Definition der Symbole von Christoffel Sinn in jeder Sammelleitung von Riemannian hat. 1869 hat Christoffel entdeckt, dass sich die Bestandteile der inneren Ableitung eines Vektoren als die Bestandteile eines kontravarianten Vektoren verwandeln. Diese Entdeckung war der echte Anfang der Tensor-Analyse. Erst als 1917, dass Levi-Civita die innere Ableitung im Fall von einer eingebetteten Oberfläche als der tangentiale Bestandteil der üblichen Ableitung im umgebenden affine Raum interpretiert hat.

Formelle Definition

Lassen Sie (M, g), eine Sammelleitung von Riemannian (oder Pseudo-Riemannian-Sammelleitung) zu sein. Dann wird eine affine Verbindung  eine Verbindung von Levi-Civita wenn genannt

1. es bewahrt das metrische, d. h.,  g = 0.
2. es, ist d. h., für irgendwelche Vektorfelder X und Y ohne Verdrehungen wir haben Y - X = [X, Y], wo [X, Y] die Lüge-Klammer der Vektorfelder X und Y ist.

Bedingung 1 wird oben manchmal Vereinbarkeit mit dem metrischen, genannt

und Bedingung 2 wird manchmal Symmetrie, vgl der Text von DoCarmo genannt.

Das Annehmen einer Verbindung von Levi Civita besteht es wird einzigartig bestimmt. Mit Bedingungen 1 und die Symmetrie des metrischen Tensor g finden wir:

:

Durch die Bedingung 2 ist die rechte Seite gleich

:

so finden wir

:

Da Z willkürlich ist, bestimmt das einzigartig. Umgekehrt mit der letzten Linie als eine Definition zeigt man, dass der so definierte Ausdruck eine Verbindung ist, die mit dem metrischen vereinbar ist, d. h. eine Verbindung von Levi Civita ist.

Symbole von Christoffel

Lassen Sie  die Verbindung von metrischem Riemannian sein. Wählen Sie lokale Koordinaten und lassen Sie, die Symbole von Christoffel in Bezug auf diese Koordinaten zu sein. Die Verdrehungsfreikeitsbedingung 2 ist dann zur Symmetrie gleichwertig

:

Die Definition der Verbindung von Levi Civita, die oben abgeleitet ist, ist zu einer Definition der Symbole von Christoffel in Bezug auf das metrische als gleichwertig

:

wo wie gewöhnlich die Koeffizienten des metrischen Doppeltensor, d. h. die Einträge des Gegenteils der Matrix sind.

Ableitung entlang der Kurve

Die Verbindung von Levi-Civita (wie jede affine Verbindung) definiert auch eine Ableitung entlang Kurven, die manchmal durch D angezeigt sind.

In Anbetracht einer glatten Kurve γ auf (M g) und ein Vektorfeld V entlang γ wird seine Ableitung durch definiert

:

(Formell ist D die Hemmnis-Verbindung auf dem Hemmnis-Bündel-γ*TM.)

Insbesondere ist ein Vektorfeld entlang der Kurve γ selbst. Wenn verschwindet, wird die Kurve eine geodätische von der kovarianten Ableitung genannt. Wenn die kovariante Ableitung die Verbindung von Levi-Civita eines bestimmten metrischen ist, dann sind die geodesics für die Verbindung genau jene geodesics der metrischen, die proportional zu ihrer Kreisbogen-Länge parametrisiert werden.

Paralleler Transport

Im Allgemeinen definiert der parallele Transport entlang einer Kurve in Bezug auf eine Verbindung Isomorphismus zwischen den Tangente-Räumen an den Punkten der Kurve. Wenn die Verbindung eine Verbindung von Levi-Civita ist, dann ist dieser Isomorphismus orthogonal - d. h. sie bewahren die Skalarprodukte auf den verschiedenen Tangente-Räumen.

Beispiel: Der Einheitsbereich in R

Lassen Sie, das übliche Skalarprodukt auf R zu sein. Lassen Sie S der Einheitsbereich in R sein. Der Tangente-Raum zu S an einem Punkt M wird mit dem Vektor-Subraum von R natürlich identifiziert, der aus allen zur M orthogonalen Vektoren besteht. Hieraus folgt dass ein Vektorfeld Y auf S als eine Karte Y gesehen werden kann: S  R, der befriedigt

:

Zeigen Sie durch dY das Differenzial solch einer Karte an. Dann haben wir:

Lemma: Die Formel

:

definiert eine affine Verbindung auf S mit der verschwindenden Verdrehung.

Beweis: Es ist aufrichtig, um zu beweisen, dass  die Identität von Leibniz befriedigt und C (S) geradlinig in der ersten Variable ist. Es ist auch eine aufrichtige Berechnung, um zu zeigen, dass diese Verbindung freie Verdrehung ist. So ist alles, was hier bewiesen werden muss, dass die Formel wirklich tatsächlich oben ein Vektorfeld definiert. D. h. wir müssen das für die ganze M in S beweisen

:

Denken Sie die Karte

:

f: \mathbf {S} ^2 & \longrightarrow \mathbf {R }\\\

M & \longmapsto \langle Y (m), m\rangle.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die Karte f ist folglich unveränderlich sein Differenzial verschwindet. In besonderem

:

Die Gleichung (1) folgt oben.

Tatsächlich ist diese Verbindung die Verbindung von Levi-Civita für das metrische auf von R geerbtem S. Tatsächlich kann man überprüfen, dass diese Verbindung das metrische bewahrt.

Siehe auch

• Verbindung von Affine
• Verbindung von Weitzenböck

Referenzen

Primäre historische Verweisungen

Sekundäre Verweisungen

• Sieh Band I pag. 158

Links

• MathWorld: Verbindung von Levi-Civita
• PlanetMath: Verbindung von Levi-Civita