Zwei geometrische Gegenstände werden ähnlich genannt, wenn sie beide dieselbe Gestalt haben. Genauer ist entweder man zum Ergebnis eines Uniform-Schuppens (Vergrößerung oder das Schrumpfen) des anderen kongruent. Das bedeutet, dass jeder Gegenstand wiedererklettert und wiedereingestellt werden kann, um genau mit dem anderen Gegenstand zusammenzufallen.

Entsprechende Seiten von ähnlichen Vielecken sind im Verhältnis, und entsprechende Winkel von ähnlichen Vielecken haben dasselbe Maß. Einer kann bei anderem durch das gleichförmige "Ausdehnen" desselben Betrags auf allen Richtungen, vielleicht mit der zusätzlichen Folge und dem Nachdenken erhalten werden — d. h. beide haben dieselbe Gestalt, oder man hat dieselbe Gestalt wie das Spiegelimage vom anderen. Zum Beispiel sind alle Kreise einander ähnlich, alle Quadrate sind einander ähnlich, und alle gleichseitigen Dreiecke sind einander ähnlich. Andererseits sind Ellipsen nicht alle, die einander ähnlich sind, noch Hyperbeln sind alle einander ähnlich. Wenn zwei Winkel eines Dreiecks Maßnahmen haben, die den Maßnahmen von zwei Winkeln eines anderen Dreiecks gleich sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Dieser Artikel nimmt an, dass ein Schuppen, Vergrößerung oder Strecken einen Einteilungsfaktor 1 haben können, so dass alle kongruenten Gestalten auch ähnlich sind, aber einige Schultextbücher schließen spezifisch kongruente Dreiecke von ihrer Definition von ähnlichen Dreiecken aus, indem sie darauf bestanden wird, dass die Größen verschieden sein müssen, um sich als ähnlich zu qualifizieren.

Ähnliche Dreiecke

Um das Konzept der Ähnlichkeit von Dreiecken zu verstehen, muss man an zwei verschiedene Konzepte denken. Einerseits gibt es das Konzept der Gestalt, und andererseits gibt es das Konzept der Skala.

Insbesondere ähnliche Dreiecke sind Dreiecke, die dieselbe Gestalt haben und zu einander abgesehen von der Skala identisch sind. Für ein Dreieck wird die Gestalt durch seine Winkel bestimmt, so bedeutet die Behauptung, dass zwei Dreiecke dieselbe Gestalt einfach haben, dass es eine Ähnlichkeit zwischen Winkeln gibt, die ihre Maßnahmen bewahrt.

Formell, wie man sagt, ist das Sprechen, zwei Dreiecke und ähnlich, wenn jede der folgenden gleichwertigen Bedingungen hält:

1. Entsprechende Seiten haben Längen in demselben Verhältnis:

: d. h. Das ist zum Ausspruch gleichwertig, dass ein Dreieck eine Vergrößerung vom anderen ist.

2. ist im Maß dem gleich, und ist im Maß dem gleich. Das deutet auch an, dass das im Maß dem gleich ist.

Wenn zwei Dreiecke und ähnlich sind, schreibt man

'Ist dem ' Symbol ähnlich kann auch als drei vertikale Linien ausgedrückt werden: lll

Ähnlichkeiten des Winkels/Seite für Dreiecke

Die folgenden drei Kriterien sind genügend, um zu beweisen, dass ein Paar von Dreiecken ähnlich ist. Der erste zwei Staat, dass, wenn Dreiecke dieselbe Gestalt (AA Kriterium) dann haben, sie ähnlich sind, und dass, wenn sie (SSS Kriterium) dann klettern sollen, sie ähnlich sind. Das dritte Kriterium, SAS, verbindet etwas von der durch jeden der ersten zwei verwendeten Information.

• AA: Wenn ein Paar Dreiecke haben zwei entsprechende Paare von Winkeln mit demselben Maß dann, sie ähnlich sind. Manchmal wird dieses Kriterium auch AAA genannt, weil die Gleichheit über Dreiecke von zwei Winkeln Gleichheit des dritten einbezieht. Dieses Kriterium bedeutet dass, wenn ein Dreieck kopiert wird, um die Gestalt zu bewahren, dann soll die Kopie klettern.
• SSS (Drei Seiten proportional): Wenn das Verhältnis von entsprechenden Seiten von zwei Dreiecken vom Paar von entsprechenden gewählten Seiten nicht abhängt, dann sind die Dreiecke ähnlich. Das bedeutet, dass jedes Dreieck, das kopiert ist, um zu klettern, auch in der Gestalt kopiert wird.
• SAS (Verhältnis von zwei Seiten, eingeschlossenem Winkel): Wenn zwei Seiten in einem Dreieck zu zwei entsprechenden Seiten in einem anderen Dreieck proportional sind, und die zwischen diesen Seiten eingeschlossenen Winkel dasselbe Maß in jedem Dreieck haben, dann sind die Dreiecke ähnlich. Das bedeutet, dass, um ein Dreieck zu vergrößern, es genügend ist, einen Winkel zu kopieren, und gerade die zwei Seiten zu erklettern, die den Winkel bilden.

Andere ähnliche Vielecke

Das Konzept der Ähnlichkeit streckt sich bis zu Vielecke mit mehr als drei Seiten aus. In Anbetracht irgendwelcher zwei ähnlichen Vielecke sind entsprechende in derselben Folge genommene Seiten proportionale und entsprechende in derselben Folge genommene Winkel sind im Maß gleich. Jedoch ist die Proportionalität von entsprechenden Seiten nicht allein genügend, um Ähnlichkeit für Vielecke außer Dreiecken zu beweisen (sonst, zum Beispiel alle Rhomben würden ähnlich sein). Ebenfalls ist die Gleichheit aller Winkel in der Folge nicht genügend, um Ähnlichkeit zu versichern (sonst alle Rechtecke würden ähnlich sein).

Ähnliche Kurven

Mehrere Typen von Kurven haben das Eigentum, dass alle Beispiele dieses Typs einander ähnlich sind. Diese schließen ein:

• Kreise
• Parabeln
• Hyperbeln einer spezifischen Seltsamkeit
• Ellipsen einer spezifischen Seltsamkeit
• Kettenlinien
• Graphen des Logarithmus fungieren für verschiedene Basen
• Graphen der Exponentialfunktion für verschiedene Basen
• Logarithmische Spiralen

Ähnlichkeit im Euklidischen Raum

Eine der Bedeutungen der Begriffe Ähnlichkeit und Ähnlichkeitstransformation (auch genannt Ausdehnung) eines Euklidischen Raums ist eine Funktion f vom Raum in sich, der alle Entfernungen mit demselben positiven Skalar r multipliziert, so dass für irgendwelche zwei Punkte x und y wir haben

wo "d (x, y)" die Euklidische Entfernung von x bis y ist. Zwei Sätze werden ähnlich genannt, wenn man das Image von anderem unter solch einer Ähnlichkeit ist.

Ein spezieller Fall ist eine homothetic Transformation oder Hauptähnlichkeit: Es weder schließt Folge noch Einnahme des Spiegelimages ein. Eine Ähnlichkeit ist eine Zusammensetzung eines homothety und einer Isometrie. Deshalb in allgemeinen Euklidischen Räumen ist jede Ähnlichkeit eine affine Transformation, weil die Euklidische Gruppe E (n) eine Untergruppe der affine Gruppe ist.

Das komplizierte Flugzeug als ein 2-dimensionaler Raum über den reals ansehend, sind die 2. in Bezug auf das komplizierte Flugzeug ausgedrückten Ähnlichkeitstransformationen und, und alle affine Transformationen sind von der Form (a, b, und c Komplex).

Ähnlichkeit in allgemeinen metrischen Räumen

In einem allgemeinen metrischen Raum (X, d), ist eine genaue Ähnlichkeit eine Funktion f vom metrischen Raum X in sich, der alle Entfernungen mit demselben positiven Skalar r, genannt den Zusammenziehungsfaktor von f multipliziert, so dass für irgendwelche zwei Punkte x und y wir haben

Schwächere Versionen der Ähnlichkeit würden zum Beispiel f haben, eine Bi-Lipschitz-Funktion und der Skalar r eine Grenze sein

Diese schwächere Version gilt, wenn das metrische ein wirksamer Widerstand auf einem topologisch selbstähnlichen Satz ist.

Eine selbstähnliche Teilmenge eines metrischen Raums (X, d) ist ein Satz K, für den dort ein begrenzter Satz der Ähnlichkeit mit Zusammenziehungsfaktoren besteht

Diese selbstähnlichen Sätze haben ein selbstähnliches Maß mit der Dimension D gegeben durch die Formel

der häufig (aber nicht immer) gleich der Dimension von Hausdorff des Satzes und sich verpacken lassender Dimension ist. Wenn die Übergreifen dazwischen, "klein" zu sein, wir die folgende einfache Formel für das Maß haben:

Topologie

In der Topologie kann ein metrischer Raum durch das Definieren einer Ähnlichkeit statt einer Entfernung gebaut werden. Die Ähnlichkeit ist eine solche Funktion, dass sein Wert größer ist, wenn zwei Punkte näher sind (gegen die Entfernung, die ein Maß der Unähnlichkeit ist: je näher die Punkte, desto kleiner die Entfernung).

Die Definition der Ähnlichkeit kann sich unter Autoren ändern, abhängig von denen Eigenschaften gewünscht werden. Die grundlegenden allgemeinen Eigenschaften sind

1. Positiv definiert:
2. Spezialisiert durch die Ähnlichkeit eines Elements auf sich (Autoähnlichkeit): und

Mehr Eigenschaften, können wie Reflexionsvermögen oder Endlichkeit angerufen werden (

Selbstähnlichkeit

Selbstähnlichkeit bedeutet, dass ein Muster sich, z.B, der Satz {nichttrivial ähnlich ist.. 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, 3, 4, 6, 8, 12..}. Wenn dieser Satz auf einer logarithmischen Skala geplant wird, hat er Übersetzungssymmetrie.

Siehe auch

• Kongruenz (Geometrie)
• Entfernung von Hamming (Schnur oder Folge-Ähnlichkeit)
• umkehrende Geometrie
• Index von Jaccard
• Proportionalität
• Semantische Ähnlichkeit
• Ähnlichkeitssuche
• Ähnlichkeitsraum auf der Numerischen Taxonomie
• Homoeoid (Schale von konzentrischen, ähnlichen Ellipsoiden)
• Lösung von Dreiecken

Links

• Belebte Demonstration von ähnlichen Dreiecken