Im Zusammenhang der komplizierten Dynamik, einem Thema der Mathematik, ist die Julia untergegangen, und der Satz von Fatou sind zwei von einer Funktion definierte Ergänzungssätze. Informell besteht der Satz von Fatou der Funktion aus Werten mit dem Eigentum, dass sich alle nahe gelegenen Werte ähnlich unter der wiederholten Wiederholung der Funktion benehmen, und der Satz von Julia aus solchen Werten besteht, dass eine willkürlich kleine Unruhe drastische Änderungen in der Folge von wiederholten Funktionswerten verursachen kann.

So ist das Verhalten der Funktion auf dem Satz von Fatou 'regelmäßig', während auf der Julia untergeht, ist sein Verhalten 'chaotisch'.

Der Satz von Julia eines Funktions-ƒ wird J (ƒ) allgemein angezeigt, und der Satz von Fatou wird F (ƒ) angezeigt. Diese Sätze werden nach den französischen Mathematikern Gaston Julia und Pierre Fatou genannt, dessen Arbeit die Studie der komplizierten Dynamik während des Anfangs des 20. Jahrhunderts begonnen hat.

Formelle Definition

Lassen Sie, eine komplizierte vernünftige Funktion vom Flugzeug in sich zu sein, d. h., wo und komplizierte Polynome sind. Dann gibt es eine begrenzte Zahl von offenen Sätzen, denen invariant dadurch verlassen wird und dass solch ist:

:#the ist Vereinigung 's im Flugzeug und dicht

:# benimmt sich auf eine regelmäßige und gleiche Weise auf jedem der Sätze.

Die letzte Behauptung bedeutet, dass die Endstationen der Folgen von Wiederholungen, die durch die Punkte dessen erzeugt sind, entweder genau derselbe Satz sind, der dann ein begrenzter Zyklus ist, oder sie begrenzte Zyklen von begrenzten oder Sätzen in der Ringform sind, die konzentrisch liegen. Im ersten Fall zieht der Zyklus im zweiten an es ist neutral.

Diese Sätze sind die Gebiete von Fatou, und ihre Vereinigung ist der Satz von Fatou dessen. Jedes der Gebiete von Fatou enthält mindestens einen kritischen Punkt, d. h. ein (begrenzter) Punkt z Zufriedenheit oder z = , wenn der Grad des Zählers mindestens zwei ist, die größer sind als der Grad des Nenners, oder wenn für einen c und eine vernünftige Funktion, die diese Bedingung befriedigt.

Die Ergänzung dessen ist der Satz von Julia dessen. ist ein nirgends dichter Satz (es ist ohne Innenpunkte), und ein unzählbarer Satz (desselben cardinality wie die reellen Zahlen). Wie, wird invariant durch verlassen, und auf diesem Satz treibt die Wiederholung zurück, das für den ganzen w in einer Nachbarschaft von z (innerhalb) bedeutend. Das bedeutet, dass sich das chaotisch auf dem Satz von Julia benimmt. Obwohl es Punkte im Satz von Julia gibt, dessen Folge von Wiederholungen begrenzt ist, gibt es nur eine zählbare Zahl solcher Punkte (und sie setzen einen ungeheuer kleinen Teil des Satzes von Julia zusammen). Die Folgen, die durch Punkte außerhalb dieses Satzes erzeugt sind, benehmen sich chaotisch, ein Phänomen hat deterministische Verwirrung genannt.

Es hat umfassende Forschung über den Satz von Fatou und Satz von Julia von wiederholten vernünftigen Funktionen gegeben, die als vernünftige Karten bekannt sind. Zum Beispiel ist es bekannt, dass der Satz von Fatou einer vernünftigen Karte entweder 0,1,2 oder ungeheuer viele Bestandteile hat. Jeder Bestandteil des Satzes von Fatou einer vernünftigen Karte kann in eine von vier verschiedenen Klassen eingeteilt werden.

Gleichwertige Beschreibungen der Julias gehen unter

• ist der kleinste geschlossene Satz, der mindestens drei Punkte enthält, der völlig invariant darunter ist.

• ist der Verschluss des Satzes, periodische Punkte zurückzutreiben.

• Für alle außer höchstens zwei Punkten ist die Julia untergegangen ist der Satz von Grenze-Punkten des vollen umgekehrt Bahn. (Das deutet einen einfachen Algorithmus an, um Sätze von Julia zu planen, sieh unten.)

• Wenn eine komplette Funktion ist - insbesondere wenn ein Polynom ist, dann die Grenze des Satzes von Punkten ist, die zur Unendlichkeit unter der Wiederholung zusammenlaufen.

• Wenn ein Polynom ist, dann die Grenze vom gefüllten Satz von Julia ist; d. h. jene Punkte, deren Bahnen unter Wiederholungen dessen begrenzt bleiben.

Eigenschaften der Julias gehen unter und Satz von Fatou

Die Julia ist untergegangen, und der Satz von Fatou dessen sind beide völlig invariant unter Wiederholungen der Holomorphic-Funktion, d. h.

:

und

:.

Beispiele

Für die Julia ist Satz der Einheitskreis und darauf die Wiederholung wird durch die Verdoppelung von Winkeln gegeben (eine Operation, die auf den nichtvernünftigen Punkten chaotisch ist). Es gibt zwei Gebiete von Fatou: das Interieur und das Äußere des Kreises, mit der Wiederholung zu 0 und , beziehungsweise.

Für die Julia ist Satz das Liniensegment zwischen-2 und 2, und die Wiederholung entspricht im Einheitszwischenraum. Das kann als eine Methode verwendet werden, um Pseudozufallszahlen zu erzeugen. Es gibt ein Gebiet von Fatou: Die Punkte nicht auf dem Liniensegment wiederholen zu .

Diese zwei Funktionen sind von der Form, wo c eine komplexe Zahl ist. Für solch eine Wiederholung ist die Julia untergegangen ist nicht im Allgemeinen eine einfache Kurve, aber ist ein fractal, und für einige Werte von c kann sie überraschende Gestalten nehmen. Sieh die Bilder unten.

Für einige Funktionen können wir im Voraus sagen, dass der Satz von Julia ein fractal und nicht eine einfache Kurve ist. Das ist wegen des folgenden Hauptlehrsatzes auf den Wiederholungen einer vernünftigen Funktion:

Jedes der Gebiete von Fatou hat dieselbe Grenze, die folglich Satz von Julia ist

Das bedeutet, dass jeder Punkt des Satzes von Julia ein Punkt der Anhäufung für jedes der Gebiete von Fatou ist. Deshalb, wenn es mehr als zwei Gebiete von Fatou gibt, muss jeder Punkt des Satzes von Julia Punkte von mehr als zwei verschiedenen offenen Sätzen haben ungeheuer schließen, und das bedeutet, dass der Satz von Julia keine einfache Kurve sein kann. Dieses Phänomen geschieht zum Beispiel, wenn die Wiederholung von Newton ist, für die Gleichung zu lösen. Das Image auf dem Recht zeigt den Fall n = 3.

Quadratische Polynome

Ein sehr populäres kompliziertes dynamisches System wird von der Familie von quadratischen Polynomen, einem speziellen Fall von vernünftigen Karten gegeben. Die quadratischen Polynome können als ausgedrückt werden

:

wo ein komplizierter Parameter ist.

Image:Time entkommen Satz von Julia von der Koordinate (phi-2, 0).jpg|Filled Satz von Julia für f, c=1−, wo φ das goldene Verhältnis ist

Image:Julia 0.4 0.6.png|Julia-Satz für f, c = (−2) + (−1) ich =-0.4+0.6i

Image:Julia 0.285 0.png|Julia-Satz für f, c=0.285+0i

Image:Julia 0.285 0.01.png|Julia-Satz für f, c=0.285+0.01i

Image:Julia 0.45 0.1428.png|Julia-Satz für f, c=0.45+0.1428i

Image:Julia-0.70176 - 0.3842.png|Julia Satz für f, c =-0.70176-0.3842i

Image:Julia-0.835 - 0.2321.png|Julia Satz für f, c =-0.835-0.2321i

Image:Julia-0.8 0.156.png|Julia-Satz für f, c =-0.8+0.156i

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Das Parameter-Flugzeug von quadratischen Polynomen - d. h. das Flugzeug von möglichen - Werten - verursacht den berühmten Satz von Mandelbrot. Tatsächlich gehen Mandelbrot unter wird als der Satz von ganzem definiert, der verbunden wird. Für Rahmen außerhalb des Satzes von Mandelbrot ist die Julia untergegangen ist ein Kantor-Raum: In diesem Fall wird es manchmal Staub von Fatou genannt.

In vielen Fällen sieht der Satz von Julia dessen wie der Satz von Mandelbrot in der genug kleinen Nachbarschaft dessen aus. Das, ist insbesondere für so genannte Rahmen 'von Misiurewicz', d. h. Rahmen wahr, für die der kritische Punkt vorperiodisch ist. Zum Beispiel:

• An, kürzer, Vorderzehe des Vorderfußes, ist die Julia untergegangen sieht wie ein verzweigter Blitzbolzen aus.
• An, der Tipp des langen stacheligen Schwanzes, ist die Julia untergegangen ist ein Segment der Gerade.

Mit anderen Worten sind die Sätze von Julia um Punkte von Misiurewicz lokal ähnlich.

Generalisationen

Die Definition von Sätzen von Julia und Fatou trägt leicht zum Fall von bestimmten Karten vor, deren Image ihr Gebiet enthält; am meisten namentlich transzendentale Meromorphic-Funktionen und die Karten des begrenzten Typs von Adam Epstein.

Sätze von Julia werden auch in der Studie der Dynamik in mehreren komplizierten Variablen allgemein definiert.

Die potenzielle Funktion und die echte Wiederholungszahl

Die Julia ist dafür untergegangen ist der Einheitskreis, und auf dem Außengebiet von Fatou, die potenzielle Funktion wird dadurch definiert. Die equipotential Linien für diese Funktion sind konzentrische Kreise. Da wir haben, wo die Folge der durch z erzeugten Wiederholung ist. Für die allgemeinere Wiederholung ist es bewiesen worden, dass, wenn der Satz von Julia verbunden wird (d. h. wenn c dem (üblichen) Satz von Mandelbrot gehört), dann dort bestehen, eine Biholomorphic-Karte zwischen dem Außengebiet von Fatou und der Außen-von der Einheit solch dass kreist. Das bedeutet, dass durch die potenzielle Funktion auf dem durch diese Ähnlichkeit definierten Außengebiet von Fatou gegeben wird:

Diese Formel hat Bedeutung auch, wenn der Satz von Julia nicht verbunden wird, so dass wir für den ganzen c die potenzielle Funktion auf dem Gebiet von Fatou definieren können, das  durch diese Formel enthält. Für eine allgemeine vernünftige solche Funktion, dass  ein kritischer Punkt und ein fester Punkt, d. h. solch ist, dass der Grad M des Zählers mindestens zwei ist, die größer sind als der Grad n des Nenners, definieren wir die potenzielle Funktion auf dem Gebiet von Fatou, das  enthält durch:

:

wo d = M - n der Grad der vernünftigen Funktion ist.

Wenn N eine sehr hohe Zahl (z.B 10) ist, und wenn k die erste solche Wiederholungszahl ist, dass wir das für eine reelle Zahl haben, die als die echte Wiederholungszahl betrachtet werden sollte, und wir das haben:

:

wo die letzte Zahl im Zwischenraum ist.

Für die Wiederholung zu einem begrenzten Anziehen-Zyklus des Auftrags r haben wir das, wenn z* ein Punkt des Zyklus ist, dann (die r-fold Zusammensetzung), und die Zahl (> ist 1) die Anziehungskraft des Zyklus. Wenn w ein Punkt sehr nahe z* ist und w' wiederholte r Zeiten von w ist, haben wir das. Deshalb ist die Zahl fast von k unabhängig. Wir definieren die potenzielle Funktion auf dem Gebiet von Fatou durch:

:

Wenn eine sehr kleine Zahl ist und k die erste solche Wiederholungszahl dass ist

:

Wenn die Anziehungskraft  ist, bedeutend, dass der Zyklus superanzieht, wieder bedeutend, dass einer der Punkte des Zyklus ein kritischer Punkt ist, müssen wir durch ersetzen (wo w' wiederholte r Zeiten von w ist), und die Formel für durch:

:

Und jetzt wird durch die echte Wiederholungszahl gegeben:

:

Für das Färben müssen wir eine zyklische Skala von Farben (gebaut mathematisch, zum Beispiel) haben und H Farben enthaltend, die von 0 bis h-1 (H = 500, zum Beispiel) numeriert sind. Wir multiplizieren die reelle Zahl mit einer festen reellen Zahl, die die Dichte der Farben im Bild bestimmt, und nehmen den integralen Bestandteil dieser Zahl modulo H.

Die Definition der potenziellen Funktion und unserer Weise sich zu färben setzt voraus, dass der Zyklus, d. h. nicht neutral anzieht. Wenn der Zyklus neutral ist, können wir nicht das Gebiet von Fatou auf eine natürliche Weise färben. Da die Endstation der Wiederholung eine Drehbewegung ist, können wir uns zum Beispiel durch die minimale Entfernung vom Zyklus verlassen befestigt durch die Wiederholung färben.

Feldlinien

In jedem Gebiet von Fatou (der nicht neutral ist) gibt es zwei Systeme von zu einander orthogonalen Linien: die equipotential Linien (für die potenzielle Funktion oder die echte Wiederholungszahl) und die Feldlinien.

Wenn wir das Gebiet von Fatou gemäß der Wiederholungszahl färben (und nicht die echte Wiederholungszahl), zeigen die Bänder der Wiederholung den Kurs der equipotential Linien. Wenn die Wiederholung zu  ist (wie mit dem Außengebiet von Fatou für die übliche Wiederholung der Fall ist), können wir den Kurs der Feldlinien leicht zeigen, indem nämlich wir die Farbe verändern je nachdem, wie der letzte Punkt in der Folge der Wiederholung oben oder unter der X-Achse (das erste Bild), aber in diesem Fall ist (genauer: Wenn das Gebiet von Fatou superanzieht), können wir nicht die Feldlinien zusammenhängend - mindestens nicht durch die Methode ziehen, die wir hier beschreiben. In diesem Fall wird eine Feldlinie auch einen Außenstrahl genannt.

Lassen Sie z ein Punkt im Anziehen Gebiet von Fatou sein. Wenn wir z eine Vielzahl von Zeiten wiederholen, ist die Endstation der Folge der Wiederholung ein begrenzter Zyklus C, und das Gebiet von Fatou ist (definitionsgemäß) der Satz von Punkten, deren Folge der Wiederholung zu C zusammenläuft. Die Feldlinien kommen von den Punkten von C und von (unendliche Zahl) Punkte heraus, die in einen Punkt von C wiederholen. Und sie enden auf dem Satz von Julia in Punkten, die nichtchaotisch sind (d. h. einen begrenzten Zyklus erzeugend). Lassen Sie r die Ordnung des Zyklus C (seine Zahl von Punkten) sein und z* ein Punkt in C sein zu lassen. Wir haben (die r-fold Zusammensetzung), und wir definieren die komplexe Zahl durch

:

Wenn die Punkte von C sind, ist das Produkt der r Zahlen. Die reelle Zahl 1/ist die Anziehungskraft des Zyklus, und unsere Annahme, dass der Zyklus weder neutral ist noch das Superanziehen, bedeutet, dass 1, und in der Nähe von diesem Punkt die Karte (im Zusammenhang mit Feldlinien) Charakter einer Folge mit dem Argument hat (d. h.).

Um das Gebiet von Fatou zu färben, haben wir eine kleine Zahl gewählt und die Folgen der Wiederholung veranlasst, wenn anzuhalten

:

Weil, wenn wir ein Wiederholungsband in der Richtung auf die Feldlinien (und weg vom Zyklus) passieren, die Wiederholungsnummer k um 1 vergrößert wird und die Zahl dadurch gesteigert wird, deshalb ist die Zahl entlang der Feldlinie unveränderlich.

Ein Färben der Feldlinien des Gebiets von Fatou bedeutet, dass wir die Räume zwischen Paaren von Feldlinien färben: Wir wählen mehrere regelmäßig gelegene Richtungen, die aus z * herauskommen, und in jeder dieser Richtungen wählen wir zwei Richtungen um diese Richtung. Da es geschehen kann, dass die zwei Feldlinien eines Paares in demselben Punkt des Satzes von Julia nicht enden, können sich unsere farbigen Feldlinien (endlos) in ihrem Weg zum Satz von Julia verzweigen. Wir können uns auf der Grundlage von der Entfernung zur Zentrum-Linie der Feldlinie färben, und wir können dieses Färben mit dem üblichen Färben mischen. Solche Bilder können (das zweite Bild) sehr dekorativ sein.

Eine farbige Feldlinie (das Gebiet zwischen zwei Feldlinien) wird von den Wiederholungsbändern zerteilt, und solch ein Teil kann in eine isomorphe Ähnlichkeit mit dem Einheitsquadrat gestellt werden: Eine Koordinate ist (berechnet von) die Entfernung von einer der begrenzenden Feldlinien, der andere ist (berechnet von) die Entfernung von den inneren von den begrenzenden Wiederholungsbändern (diese Zahl ist der nichtintegrale Bestandteil der echten Wiederholungszahl). Deshalb können wir Bilder in die Feldlinien (das dritte Bild) stellen.

Entfernungsbewertung

Da eine Julia untergegangen ist, ist ungeheuer dünn wir können es effektiv durch umgekehrt die Wiederholung von den Pixeln nicht ziehen. Es wird gebrochen wegen des impracticality des Überprüfens ungeheuer vieler startpoints scheinen. Da sich die Wiederholungszählung kräftig in der Nähe vom Satz von Julia ändert, ist eine teilweise Lösung, den Umriss des Satzes von den nächsten Farbenkonturen einzubeziehen, aber der Satz wird dazu neigen, schlammig auszusehen.

Eine bessere Weise, den Satz von Julia zu ziehen, soll schwarz-weiß die Entfernung von Pixeln vom Satz schätzen und jedes Pixel zu färben, dessen Zentrum dem Satz nah ist. Die Formel für die Entfernungsbewertung wird aus der Formel für die potenzielle Funktion abgeleitet. Wenn die equipotential Linien für die Lüge nahe, die Zahl, und umgekehrt groß ist, deshalb sollten die equipotential Linien für die Funktion ungefähr regelmäßig liegen. Es ist bewiesen worden, dass der Wert, der durch diese Formel (bis zu einem unveränderlichen Faktor) gefunden ist, zur wahren Entfernung für z zusammenläuft, der zum Satz von Julia zusammenläuft.

Wir nehmen an, dass das vernünftig ist, d. h. wo und komplizierte Polynome von Graden M und n beziehungsweise sind, und wir die Ableitung der obengenannten Ausdrücke dafür finden müssen. Und weil es nur ist, der sich ändert, müssen wir die Ableitung in Bezug auf z berechnen. Aber als (die k-fold Zusammensetzung), ist das Produkt der Zahlen, und diese Folge kann rekursiv berechnet werden durch, mit (vor der Berechnung der folgenden Wiederholung) anfangend.

Für die Wiederholung zu  (genauer wenn M  n + 2, so dass  ein Superanziehen befestigter Punkt ist), haben wir

:

(d = M &minus; n) und folglich:

:

Für die Wiederholung zu einem begrenzten Anziehen-Zyklus (der nicht superanzieht), den Punkt z* enthaltend und Auftrag r habend, haben wir

:

und folglich:

:

Für einen Superanziehen-Zyklus ist die Formel:

:

Wir berechnen diese Zahl, wenn die Wiederholung anhält. Bemerken Sie, dass die Entfernungsbewertung der Anziehungskraft des Zyklus unabhängig ist. Das bedeutet, dass es Bedeutung für transzendente Funktionen der "Grad-Unendlichkeit" (z.B Sünde (z) und Lohe (z)) hat.

Außer der Zeichnung der Grenze kann die Entfernungsfunktion als eine 3. Dimension eingeführt werden, um eine feste fractal Landschaft zu schaffen.

Das Plotten von der Julia ist untergegangen

Das Verwenden umgekehrt (umgekehrter) Wiederholung (IIM)

Wie oben erwähnt ist die Julia untergegangen kann als der Satz von Grenze-Punkten des Satzes von Vorimages (im Wesentlichen) jedes gegebenen Punkts gefunden werden. So können wir versuchen, den Satz von Julia einer gegebenen Funktion wie folgt zu planen. Fangen Sie mit jedem Punkt an, den wir wissen, um im Satz von Julia zu sein, wie ein zurücktreibender periodischer Punkt, und alle Vorimages unter einigen zu schätzen, wiederholen hoch dessen.

Leider, weil die Zahl von wiederholten Vorimages exponential wächst, ist das rechenbetont nicht ausführbar. Jedoch können wir diese Methode, auf eine ähnliche Weise als das "zufällige Spiel" Methode für anpassen

wiederholte Funktionssysteme. D. h. in jedem Schritt wählen wir aufs Geratewohl eines der umgekehrten Images dessen.

Zum Beispiel, für das quadratische Polynom, umgekehrt wird Wiederholung durch beschrieben

:

An jedem Schritt wird eine der zwei Quadratwurzeln aufs Geratewohl ausgewählt.

Bemerken Sie, dass bestimmte Teile des Satzes von Julia zum Zugang mit der Rückseite Algorithmus von Julia ziemlich schwierig sind. Deshalb muss man IIM/J modifizieren (es wird MIIM/J genannt), oder verwenden Sie andere Methoden, bessere Images zu erzeugen.

Das Verwenden DEM/J

File:Demj.jpg|c=-0.74543+0.11301*i

File:Julia Dem. png|c =-0.75+0.11*i

File:Julia Dem. c =-0.1+0.651.png | c =-0.1+0.651*i

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Siehe auch

• Grenze hat gesetzt
• Stabile und nicht stabile Sätze
• Kein wandernder Bereichslehrsatz
• Bestandteile von Fatou
• Verwirrungstheorie
• Lennart Carleson und Theodore W. Gamelin, Komplizierte Dynamik, Springer 1993
• Adrien Douady und John H. Hubbard, "Komplexe von Etude dynamique des polynômes", Prépublications mathémathiques d'Orsay 2/4 (1984 / 1985)
• John W. Milnor, Dynamik in Einer Komplizierter Variable (die Dritte Ausgabe), Annalen von Mathematik-Studien 160, Universität von Princeton Presse 2006 (Ist zuerst 1990 als ein Steiniger Bach IMS Vorabdruck, verfügbar als arXiV:math erschienen. DS/9201272.)
• Alexander Bogomolny, "Mandelbrot Satz und das Indexieren von Julia Sets" an der Knoten-Kürzung.
• Evgeny Demidov, "Der Mandelbrot und Julia setzen Anatomie" (2003)
• Alan F. Beardon, Wiederholung von Vernünftigen Funktionen, Springer 1991, internationale Standardbuchnummer 0-387-95151-2

Links

• Satz von Julia Fractal (2.), Paul Burke
• Julia Sets, Jamie Sawyer
• Julia Jewels: Eine Erforschung von Sätzen von Julia, Michael McGoodwin
• Getreide-Kreis Julia Set, Lucy Pringle
• Interaktiver Satz von Julia Applet, Josh Greig
• Julia und Satz-Forscher von Mandelbrot, David E. Joyce
• Ein einfaches Programm, um Sätze von Julia (Windows, 370 Kilobytes) zu erzeugen
• Eine Sammlung von applets, von denen einer Sätze von Julia über Wiederholte Funktionssysteme machen kann.
• Julia entspricht HTML5 Google der HTML5 von Laboratorien Fractal Generator auf Ihrem Browser
• GNU von Julia R Paket, um Satz von Julia oder Mandelbrot an einem gegebenen Gebiet und Entschlossenheit zu erzeugen.
• Julia setzt Eine Seherklärung von Julia Sets.