In der abstrakten Algebra, homological Algebra, algebraische Topologie und Theorie der algebraischen Zahl, sowie in Anwendungen auf die richtige Gruppentheorie, ist Gruppe cohomology ein Weg zu Arbeitsgruppen, die eine Folge von functors H verwenden. Die Studie von festen Punkten von Gruppen, die Modulen und Quotient-Modulen folgen, ist eine Motivation, aber der cohomology kann mit verschiedenen Aufbauten definiert werden. Es gibt eine Doppeltheorie, Gruppenhomologie und eine Generalisation zu non-abelian Koeffizienten.

Diese algebraischen Ideen sind nah mit topologischen Ideen verbunden. So kann als die Gruppe cohomology einer Gruppe G gedacht werden, und wird durch, der einzigartige cohomology eines passenden Raums motiviert, der G als seine grundsätzliche Gruppe, nämlich der entsprechende Eilenberg-MacLane Raum hat. So kann von der Gruppe cohomology dessen als der einzigartige cohomology des Kreises, und ähnlich für gedacht werden und.

Sehr viel ist über den cohomology von Gruppen, einschließlich Interpretationen von niedrigem dimensionalem cohomology, functorality bekannt, und wie man Gruppen ändert. Das Thema der Gruppe cohomology hat in den 1920er Jahren begonnen, ist gegen Ende der 1940er Jahre reif geworden, und geht als ein Gebiet der aktiven Forschung heute weiter.

Motivation

Ein allgemeines Paradigma in der Gruppentheorie ist, dass eine Gruppe G über seine Gruppendarstellungen studiert werden sollte. Eine geringe Generalisation jener Darstellungen ist die G-Module: Ein G-Modul ist eine abelian Gruppe M zusammen mit einer Gruppenhandlung von G auf der M mit jedem Element von G, der als ein automorphism der M handelt. In der Fortsetzung werden wir G multiplicatively und M zusätzlich schreiben.

In Anbetracht solch eines G-Moduls M ist es natürlich, die Untergruppe von G-invariant Elementen zu denken:

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Jetzt, wenn N ein Untermodul der M ist (d. h. eine Untergruppe der M zu sich durch die Handlung von G kartografisch dargestellt hat), ist es nicht im Allgemeinen wahr, dass die invariants in M/N als der Quotient des invariants in der M von denjenigen in N gefunden werden: invariant 'modulo N' zu sein, ist breiter. Die erste Gruppe cohomology H (G, N) misst genau den Unterschied. Die Gruppe cohomology functors H im allgemeinen Maß das Ausmaß, zu dem Einnahme invariants genaue Folgen nicht respektiert. Das wird durch eine lange genaue Folge ausgedrückt.

Formelle Aufbauten

In diesem Artikel ist G eine begrenzte Gruppe. Die Sammlung aller G-Module ist eine Kategorie (die morphisms sind Gruppenhomomorphismus f mit dem Eigentum f (gx) = g (f (x)) für den ganzen g in G und x in M). Diese Kategorie von G-Modulen ist eine abelian Kategorie mit genug injectives (da es zur Kategorie aller Module über den Gruppenring [G] isomorph ist).

Das Senden jedes Moduls M zur Gruppe der invariants M Erträge ein functor von dieser Kategorie bis die Kategorie von abelian Gruppen. Dieser functor wird genau, aber nicht notwendigerweise richtig genau verlassen. Wir können uns deshalb formen sein Recht hat functors abgeleitet; ihre Werte sind abelian Gruppen, und sie werden durch H (G, M), "die n-te cohomology Gruppe von G mit Koeffizienten in der M angezeigt". H (G, M) wird mit der M identifiziert.

Lange genaue Folge von cohomology

In der Praxis schätzt man häufig die cohomology Gruppen, die die folgende Tatsache verwenden: wenn

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ist eine kurze genaue Folge von G-Modulen, dann eine lange genaue Folge

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wird veranlasst. Die Karten δ werden den "in Verbindung stehenden Homomorphismus" genannt und können beim Schlange-Lemma erhalten werden.

Komplexe von Cochain

Anstatt die Maschinerie von abgeleitetem functors zu verwenden, können die cohomology Gruppen auch konkreter wie folgt definiert werden. Für n  0, lassen Sie C (G, M) die Gruppe aller Funktionen von G bis M sein. Das ist eine abelian Gruppe; seine Elemente werden (inhomogeneous) n-cochains genannt. Der coboundary Homomorphismus

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werden als definiert

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Das entscheidende Ding zu überprüfen ist hier

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so haben wir einen cochain Komplex, und wir können cohomology schätzen. Für n  0, definieren Sie die Gruppe von n-cocycles als:

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und die Gruppe von n-coboundaries' als

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und

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Der functors App. und die formelle Definition der Gruppe cohomology

Und doch soll eine andere Annäherung G-Module als Module über den Gruppenring  [G] behandeln, der erlaubt, Gruppe cohomology über den App. functors zu definieren:

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wo M ein  [G] - Modul ist.

Hier wird  als das triviale G-Modul behandelt: Jedes Element von G handelt als die Identität. Diese App.-Gruppen können auch über eine projektive Entschlossenheit von , der Vorteil geschätzt werden, der ist, dass solch eine Entschlossenheit nur von G und nicht auf der M abhängt. Wir rufen die Definition des App. ausführlicher für diesen Zusammenhang zurück. Lassen Sie F ein projektiver  [G] - Entschlossenheit (z.B ein freier  [G] - Entschlossenheit) des trivialen  [G] - Modul  sein:

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z.B kann man immer die Entschlossenheit von Gruppenringen, mit morphisms nehmen

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Rufen Sie zurück, dass für  [G] - Module N und M, Hom (N, M) eine abelian Gruppe sind, die aus  [G] - Homomorphismus von N bis M besteht.

Da Hom (-, M) eine Kontravariante functor ist und die Pfeile umkehrt, Hom anwendend (-, M) zu F erzeugt termwise cochain komplizierten Hom (F, M):

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Die cohomology Gruppen H (G, M) G mit Koeffizienten in der M werden als der cohomology des obengenannten cochain Komplex definiert:

:H (G, M) =H (Hom (F, M))

für n  0.

Gruppenhomologie

Doppel-zum Aufbau der Gruppe cohomology gibt es die folgende Definition der Gruppenhomologie: In Anbetracht eines G-Moduls M, Satz-DM, um das Untermodul zu sein, das durch Elemente der Form g erzeugt ist · m-m, gG, mM. Der M sein so genannter coinvariants, der Quotient zuteilend

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ist ein richtiger genauer functor. Sein linkes hat abgestammt functors sind definitionsgemäß die Gruppenhomologie

:.

Bemerken Sie, dass die Tagung des Exponenten/Subschrift für cohomology/homology mit der Tagung für die Gruppe invariants/coinvariants, während übereinstimmt, der "co -" Schalter angezeigt wird:

• Exponenten entsprechen cohomology und invariants während
• Subschriften entsprechen Homologie und coinvariants

Der kovariante functor, der M der M zuteilt, ist zum functor isomorph, der M daran sendet, wo mit der trivialen G-Handlung ausgestattet ist. Folglich bekommt man auch einen Ausdruck für die Gruppenhomologie in Bezug auf den Felsturm functors,

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Rufen Sie zurück, dass das Tensor-Produkt definiert wird, wann auch immer N ein Recht  [G] ist - sind Modul und M ein linker  [G] - Modul. Wenn N ein linker  [G] - Modul ist, verwandeln wir es in ein Recht  [G] - Modul, indem wir einen g = g für jeden g  G und jeder ein  N setzen. Diese Tagung erlaubt, das Tensor-Produkt im Fall zu definieren, wo sowohl M als auch N  [G] - Module verlassen wird.

Spezifisch können die Homologie-Gruppen H (G, M) wie folgt geschätzt werden. Fangen Sie mit einem projektiven Beschluss F des trivialen  [G] - Modul , als in der vorherigen Abteilung an. Wenden Sie den kovarianten functor auf F termwise an, um einen Kettenkomplex zu bekommen:

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Dann H (G, M) sind die Homologie-Gruppen dieses Kettenkomplexes, für n  0.

Gruppenhomologie und cohomology können gleichförmig für einige Gruppen, besonders begrenzte Gruppen, in Bezug auf ganze Entschlossenheiten und die Tate cohomology Gruppen behandelt werden.

Functorial stellt in Bezug auf cochains kartografisch dar

Das Anschließen des Homomorphismus

Für eine kurze genaue Folge 0  L  M  N  0, der in Verbindung stehende Homomorphismus δ: H (G, N)  H (G, L) kann in Bezug auf inhomogeneous cochains wie folgt beschrieben werden. Wenn c ein Element von H (G, N) vertreten durch einen n-cocycle φ ist: G  N dann δ wird (c) durch d (ψ) vertreten, wo ψ ein n-cochain G  M "das Heben" φ ist (d. h. solch, dass φ die Zusammensetzung von ψ mit der Surjective-Karte-M  N ist).

Non-abelian Gruppe cohomology

Mit dem G-invariants und dem 1-cochains kann man den zeroth und die erste Gruppe cohomology für eine Gruppe G mit Koeffizienten in einer non-abelian Gruppe bauen. Spezifisch ist eine G-Gruppe (nicht notwendigerweise abelian) gruppieren sich zusammen mit einer Handlung durch G.

Der zeroth cohomology G mit Koeffizienten in A wird definiert, um die Untergruppe zu sein

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A.

Der erste cohomology von G mit coefficents in A wird als 1-cocycles modulo eine Gleichwertigkeitsbeziehung statt durch den 1-coboundaries definiert. Die Bedingung für eine Karte φ ein 1-cocycle zu sein, ist das

und wenn es in Einem solchem dass gibt

. Im Allgemeinen, ist nicht eine Gruppe, wenn A non-abelian ist. Es hat stattdessen die Struktur eines spitzen Satzes - genau dieselbe Situation entsteht im 0th homotopy Gruppe, die für einen allgemeinen topologischen Raum nicht eine Gruppe, aber ein spitzer Satz ist. Bemerken Sie, dass eine Gruppe insbesondere ein spitzer Satz mit dem Identitätselement als bemerkenswerter Punkt ist.

Mit ausführlichen Berechnungen erhält man noch eine gestutzte lange genaue Folge in cohomology. Lassen Sie spezifisch

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seien Sie eine kurze genaue Folge von G-Gruppen, dann gibt es eine genaue Folge von spitzen Sätzen

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Verbindungen mit topologischen cohomology Theorien

Gruppe cohomology kann mit topologischen cohomology Theorien verbunden sein: Zur topologischen Gruppe G gibt es einen verbundenen Klassifizieren-Raum BG. (Wenn G keine Topologie hat, über die wir uns sorgen, dann teilen wir die getrennte Topologie G zu. In diesem Fall ist BG ein Eilenberg-MacLane Raum K (G, 1), wessen grundsätzliche Gruppe G ist, und dessen höher homotopy Gruppen verschwinden). Der n-te cohomology von BG, mit Koeffizienten in der M (im topologischen Sinn), ist dasselbe als die Gruppe cohomology G mit Koeffizienten in der M. Das wird ein lokales mitwirkendes System einschließen, wenn M kein triviales G-Modul ist. Die Verbindung hält, weil der ganze Raum-EG contractible ist, so bildet sein Kettenkomplex eine projektive Entschlossenheit der M. Diese Verbindungen werden in, Kapitel II erklärt.

Wenn M ein Ring mit der trivialen G-Handlung ist, erben wir gute Eigenschaften, die vom topologischen Zusammenhang vertraut sind: Insbesondere es gibt ein Tasse-Produkt unter der

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ist ein abgestuftes Modul, und eine Formel von Künneth gilt.

Wenn, außerdem, M=k ein Feld ist, dann eine abgestufte K-Algebra ist. In diesem Fall gibt die Formel von Künneth nach

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Lassen Sie zum Beispiel G die Gruppe mit zwei Elementen unter der getrennten Topologie sein. Der echte projektive Raum ist ein Klassifizieren-Raum für G. Lassen Sie k=F, das Feld von zwei Elementen. Dann

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eine polynomische K-Algebra auf einem einzelnen Generator da ist das der cohomology Zellring dessen.

Folglich, als ein zweites Beispiel, wenn G eine elementare abelian 2-Gruppen-von der Reihe r und k=F ist, dann gibt die Formel von Künneth

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eine polynomische K-Algebra, die durch r Klassen darin erzeugt ist.

Eigenschaften

In der folgenden, gelassenen M, ein G-Modul sein.

Functoriality

Gruppe cohomology hängt kontravariant von der Gruppe G im folgenden Sinn ab: wenn f: H  ist G ein Gruppenhomomorphismus, dann haben wir einen natürlich veranlassten morphism H (G, M)  H (H, M) (wo in den Letzteren M als ein H-Modul über f behandelt wird).

In Anbetracht eines morphism von G-Modulen MN bekommt man einen morphism von cohomology Gruppen im H (G, M)  H (G, N).

H

Die erste cohomology Gruppe ist der Quotient des so genannten durchquerten Homomorphismus, d. h. Karten (Sätze), für alle in G, modulo das so genannte Rektor befriedigend, haben Homomorphismus, d. h. Karten durchquert, die durch für einige gegeben sind, bestochen. Das folgt aus der Definition von cochains oben.

Wenn die Handlung von G auf der M trivial ist, dann läuft der obengenannte auf, die Gruppe des Gruppenhomomorphismus hinaus.

H

Wenn M ein triviales G-Modul ist (d. h. die Handlung von G auf der M trivial ist), ist die zweite cohomology Gruppe H (G, M) in der isomorphen Ähnlichkeit mit dem Satz von Haupterweiterungen von G durch die M (bis zu einer natürlichen Gleichwertigkeitsbeziehung). Mehr allgemein, wenn die Handlung von G auf der M, H nichttrivial ist (G, M) klassifiziert die Isomorphismus-Klassen aller Erweiterungen von G durch die M, in der die veranlasste Handlung von G auf der M durch inneren automorphisms mit der gegebenen Handlung übereinstimmt.

Änderung der Gruppe

Die Hochschild-Serre geisterhafte Folge verbindet den cohomology einer normalen Untergruppe N von G und dem Quotienten G/N zum cohomology der Gruppe G (für (pro-) begrenzte Gruppen G).

Cohomology von begrenzten Gruppen ist Verdrehung

Die cohomology Gruppen von begrenzten Gruppen sind die ganze Verdrehung. Tatsächlich durch den Lehrsatz von Maschke ist die Kategorie von Darstellungen einer begrenzten Gruppe über jedes Feld der charakteristischen Null halbeinfach (oder mehr allgemein, jedes Feld, dessen Eigenschaft die Ordnung der Gruppe nicht teilt), folglich Gruppe cohomology als ein abgeleiteter functor in dieser abelian Kategorie ansehend, erhält man das es ist Null. Das andere Argument ist, dass über ein Feld der charakteristischen Null die Gruppenalgebra einer begrenzten Gruppe eine direkte Summe von Matrixalgebra ist (vielleicht über Abteilungsalgebra, die Erweiterungen des ursprünglichen Feldes sind), während eine Matrixalgebra Morita ist, der zu seinem Grundfeld gleichwertig ist, und folglich trivialen cohomology hat.

Geschichte und Beziehung zu anderen Feldern

Der niedrige dimensionale cohomology einer Gruppe wurde in anderen Gestalten klassisch studiert, lange bevor der Begriff der Gruppe cohomology in 1943-45 formuliert wurde. Der erste Lehrsatz des Themas kann als der Lehrsatz von Hilbert 90 1897 identifiziert werden; das wurde in die Gleichungen von Noether in der Theorie von Galois (ein Äußeres von cocycles für H) umgearbeitet. Die Idee von Faktor-Sätzen für das Erweiterungsproblem für Gruppen (verbunden mit H) ist in der Arbeit von Hölder (1893), in der 1904-Studie von Issai Schur von projektiven Darstellungen, in der 1926-Behandlung von Schreier, und in der 1928-Studie von Richard Brauer von einfachen Algebra und der Gruppe von Brauer entstanden. Eine vollere Diskussion dieser Geschichte kann darin gefunden werden.

1941, während er studiert hat (der eine spezielle Rolle in Gruppen spielt), hat Hopf entdeckt, was jetzt die integrierte Homologie-Formel von Hopf genannt wird, die zur Formel von Schur für den Vermehrer von Schur einer begrenzten, begrenzt präsentierten Gruppe identisch ist:

:, wo und F eine freie Gruppe ist.

Das Ergebnis von Hopf hat zur unabhängigen Entdeckung der Gruppe cohomology durch mehrere Gruppen in 1943-45 geführt: Eilenberg und die Mac Lane in den USA; Hopf und Eckmann in der Schweiz; und Freudenthal in den Niederlanden. Die Situation war chaotisch, weil die Kommunikation zwischen diesen Ländern während des Zweiten Weltkriegs schwierig war.

Aus einem topologischen Gesichtspunkt, der Homologie und cohomology von G wurde zuerst als die Homologie und cohomology eines Modells für den topologischen Klassifizieren-Raum BG, wie besprochen, in #Connections mit topologischen cohomology Theorien oben definiert. In der Praxis hat das bedeutet, Topologie zu verwenden, um die in formellen algebraischen Definitionen verwendeten Kettenkomplexe zu erzeugen. Aus einem mit dem Modul theoretischen Gesichtspunkt wurde das in die Cartan-Eilenberg Theorie der Algebra von Homological am Anfang der 1950er Jahre integriert.

Die Anwendung in der Theorie der algebraischen Zahl, Feldtheorie zu klassifizieren, hat Lehrsätze zur Verfügung gestellt, die für Erweiterungen von General Galois (nicht nur abelian Erweiterungen) gültig sind. Der cohomological Teil der Klassenfeldtheorie war axiomatized als die Theorie von Klassenbildungen. Der Reihe nach hat das zum Begriff von Galois cohomology und étale cohomology geführt (der darauf baut). Einige Verbesserungen in der Theorie nach 1960, sind wie dauernder cocycles und die Wiederdefinition von Tate gemacht worden, aber die grundlegenden Umrisse bleiben dasselbe. Das ist ein großes Feld, und jetzt grundlegend in den Theorien von algebraischen Gruppen.

Die analoge Theorie für Lüge-Algebra, genannt Liegt Algebra cohomology, wurde zuerst gegen Ende der 1940er Jahre, durch Chevalley-Eilenberg und Koszul entwickelt. Es ist mit der entsprechenden Definition von invariant für die Handlung einer Lüge-Algebra formell ähnlich. Es wird sehr in der Darstellungstheorie angewandt, und wird mit dem BRST quantization der theoretischen Physik nah verbunden.

Referenzen

• Kapitel II von
• Kapitel VII von
• Kapitel 6 von