In der Mathematik wird ein offener Satz (gewöhnlich eine Gleichung oder Gleichheit) als "offen" im Sinn beschrieben, dass sein Wahrheitswert sinnlos ist, bis seine Variablen durch spezifische Zahlen ersetzt werden, an dem Punkt der Wahrheitswert gewöhnlich bestimmt werden kann (und folglich die Sätze als "offen" nicht mehr betrachtet werden). Wie man annimmt, erstreckt sich dieser mögliche Neuwert über eine Teilmenge entweder der reellen Zahlen oder komplexen Zahlen, abhängig von der Gleichung oder Ungleichheit unter der Rücksicht (in Anwendungen, reelle Zahlen werden gewöhnlich auch mit Maß-Einheiten vereinigt). Der Neuwert, der eine wahre Gleichung oder Ungleichheit erzeugt, wird Lösungen der Gleichung oder Ungleichheit genannt und wird gesagt, sie "zu befriedigen".

In der mathematischen Logik ist eine nichtgeschlossene Formel eine Formel, die freie Variablen enthält. (Bemerken Sie, dass in der Logik ein "Satz" eine Formel ohne freie Variablen ist, und eine Formel "offen" ist, wenn es keinen quantifiers enthält, der mit der Fachsprache dieses Artikels nicht übereinstimmt.) Verschieden von geschlossenen Formeln, die Konstanten enthalten, drücken nichtgeschlossene Formeln Vorschläge nicht aus; sie sind weder wahr noch falsch. Folglich, die Formel

(1) x ist eine Zahl

hat keinen Wahrheitswert. Wie man sagt, ist eine Formel durch jeden solchen Gegenstand (E) zufrieden, dass, wenn es im Platz der Variable (N) geschrieben wird, es einen Satz bilden wird, der einen wahren Vorschlag ausdrückt. Folglich, "5" befriedigt (1). Wie man sagt, ist jeder Satz, der sich aus einer Formel auf solche Art und Weise ergibt, ein Ersatz-Beispiel dieser Formel. Folglich, "5 ist eine Zahl", ist ein Ersatz-Beispiel (1).

Mathematiker haben diese Nomenklatur nicht angenommen, aber beziehen sich stattdessen auf Gleichungen, Ungleichheit mit freien Variablen usw.

Solcher Ersatz ist als Lösungen des Satzes bekannt.

Eine Identität ist ein offener Satz, für den jede Zahl eine Lösung ist.

Beispiele von offenen Sätzen schließen ein:

1. 3x − 9 = 21, dessen nur die Lösung für x 10 ist;
2. 4x + 3> 9, dessen Lösungen für x alle Zahlen sind, die größer sind als 3/2;
3. x + y = 0, dessen Lösungen für x und y alle Paare von Zahlen sind, die zusätzliche Gegenteile sind;
4. 3x + 9 = 3 (x + 3), wessen Lösungen für x alle Zahlen sind.
5. 3x + 9 = 3 (x + 4), der keine Lösung hat.

Beispiel 4 ist eine Identität.

Beispiele 1, 3, und 4 sind Gleichungen, während Beispiel 2 eine Ungleichheit ist. Beispiel 5 ist ein Widerspruch.

Jeder offene Satz muss (gewöhnlich implizit) ein Weltall des Gesprächs haben, das beschreibt, welche Zahlen unter der Rücksicht als Lösungen sind.

Zum Beispiel könnte man alle reellen Zahlen oder nur ganze Zahlen denken.

Zum Beispiel, im Beispiel 2 oben, 1.6 ist eine Lösung, wenn das Weltall des Gesprächs alle reellen Zahlen, aber nicht ist, wenn das Weltall des Gesprächs nur ganze Zahlen ist.

In diesem Fall sind nur die ganzen Zahlen, die größer sind als 3/2, Lösungen: 2, 3, 4, und so weiter.

Andererseits, wenn das Weltall des Gesprächs aus allen komplexen Zahlen besteht, dann hat Beispiel 2 Sinn nicht sogar (obwohl die anderen Beispiele tun).

Eine Identität ist nur erforderlich, für die Zahlen in seinem Weltall des Gesprächs zu halten.

Dieses dasselbe Weltall des Gesprächs kann verwendet werden, um die Lösungen des offenen Satzes in der symbolischen Logik mit der universalen Quantifizierung zu beschreiben.

Zum Beispiel kann die Lösung des Beispiels 2 oben als angegeben werden:

: Für den ganzen x, 4x + 3> 9 wenn und nur wenn x> 3/2.

Hier verlangt der Ausdruck "für alle" implizit, dass ein Weltall des Gesprächs angibt, welche mathematische Gegenstände "alle" Möglichkeiten für x sind.

Die Idee kann sogar zu Situationen verallgemeinert werden, wo sich die Variablen auf Zahlen überhaupt, als in einer funktionellen Gleichung nicht beziehen.

Zum Beispiel dessen, denken Sie

: f * f = f,

der dass f (x) * f (x) = f (x) für jeden Wert von x sagt.

Wenn das Weltall des Gesprächs aus allen Funktionen von der echten Linie R zu sich besteht, dann sind die Lösungen für f alle Funktionen, deren nur schätzt, sind ein und Null.

Aber wenn das Weltall des Gesprächs aus allen dauernden Funktionen von R bis sich besteht, dann sind die Lösungen für f nur die unveränderlichen Funktionen mit dem Wert ein oder Null.