In der Geometrie werden Polyeder in genannten duals von Paaren vereinigt, wo man zu den Gesichtern vom anderen entspricht. Der Doppel-von den Doppel-ist das ursprüngliche Polyeder. Das Doppel-von einem Polyeder mit gleichwertigen Scheitelpunkten ist ein mit gleichwertigen Gesichtern, und einen mit gleichwertigen Rändern ist ein anderer mit gleichwertigen Rändern. So die regelmäßigen Polyeder - die Platonischen Festkörper und Kepler-Poinsot Polyeder - werden in Doppelpaare mit Ausnahme vom regelmäßigen Tetraeder eingeordnet, das Selbstdoppel-ist.

Dualität wird auch manchmal Reziprozität oder Widersprüchlichkeit genannt.

Arten der Dualität

Es gibt viele Arten der Dualität. Die für Polyeder am meisten wichtigen Arten sind:

• Polare Reziprozität
• Topologische Dualität
• Abstrakte Dualität

Polare Erwiderung

Dualität wird meistens in Bezug auf die polare Erwiderung über einen konzentrischen Bereich definiert. Hier wird jeder Scheitelpunkt (Pol) mit einem Gesichtsflugzeug vereinigt (polares Flugzeug oder gerade polar), so dass der Strahl vom Zentrum bis den Scheitelpunkt auf dem Flugzeug rechtwinklig ist, und das Produkt der Entfernungen vom Zentrum bis jeden dem Quadrat des Radius gleich ist. In Koordinaten, für die Erwiderung über den Bereich

der Scheitelpunkt

wird mit dem Flugzeug vereinigt

Die Scheitelpunkte des Doppel-sind dann die Pole, die zu den Gesichtsflugzeugen des Originals, und den Gesichtern der Doppellüge im polars Gegenstück zu den Scheitelpunkten des Originals gegenseitig sind. Außerdem definieren irgendwelche zwei angrenzenden Scheitelpunkte einen Rand, und diese werden sich zu zwei angrenzenden Gesichtern revanchieren, die sich schneiden, um einen Rand des Doppel-zu definieren.

Bemerken Sie, dass die genaue Form des Doppel-davon abhängen wird, in Bezug auf welchen Bereich wir uns revanchieren; da wir den Bereich bewegen, verdreht die Doppelform. Die Wahl des Zentrums (des Bereichs) ist genügend, um den Doppel-bis zur Ähnlichkeit zu definieren. Wenn vielfache Symmetrie-Äxte da sind, werden sie sich an einem einzelnen Punkt notwendigerweise schneiden, und das wird gewöhnlich genommen, um das Zentrum zu sein. Der Mangel, dass ein umschriebener Bereich, eingeschriebener Bereich oder midsphere (ein mit allen Rändern als Tangenten) verwendet werden können.

Wenn ein Polyeder ein Element hat, das das Zentrum des Bereichs durchführt, wird das entsprechende Element seines Doppel-zur Unendlichkeit gehen. Da traditioneller "Euklidischer" Raum nie Unendlichkeit erreicht, hat die projektive Entsprechung, genannt Euklidischen Raum erweitert, muss durch das Hinzufügen des erforderlichen 'Flugzeugs an der Unendlichkeit' gebildet werden. Einige Theoretiker ziehen es vor, bei Euklidischem Raum zu bleiben und zu sagen, dass dort nicht Doppel-ist. Inzwischen hat Wenninger (1983) eine Weise gefunden, diese unendlichen duals zu vertreten, die gewissermaßen passend sind, um Modelle zu machen (eines begrenzten Teils!).

Das Konzept der Dualität hier ist nah mit der Dualität in der projektiven Geometrie verbunden, wo Linien und Ränder ausgewechselt werden; tatsächlich wird es häufig irrtümlicherweise genommen, um eine besondere Version von demselben zu sein. Projektive Widersprüchlichkeit arbeitet ganz gut für konvexe Polyeder. Aber für nichtkonvexe Zahlen wie Sternpolyeder, wenn wir uns bemühen, diese Form der polyedrischen Dualität in Bezug auf die projektive Widersprüchlichkeit streng zu definieren, erscheinen verschiedene Probleme. Sieh zum Beispiel Grünbaum & Shepherd (1988), und Gailiunas & Sharp (2005). Wenninger (1983) bespricht auch einige Probleme unterwegs zum Abstammen seines unendlichen duals.

Kanonischer duals

Jedes konvexe Polyeder kann in eine kanonische Form verdreht werden, in der ein midsphere (oder Zwischenbereich) Tangente zu jedem Rand, solch besteht, dass die durchschnittliche Position dieser Punkte das Zentrum des Bereichs ist, und diese Form bis zu Kongruenzen einzigartig ist.

Wenn wir solch ein Polyeder über seinen Zwischenbereich erwidern, wird das Doppelpolyeder dieselben Punkte des Randes-tangency teilen und muss auch so kanonisch sein; es ist der kanonische Doppel-, und die zwei bilden zusammen eine kanonische Doppelzusammensetzung.

Topologische Dualität

Wir können ein solches Doppelpolyeder verdrehen, dass es durch die Erwiderung des Originals in jedem Bereich nicht mehr erhalten werden kann; in diesem Fall können wir sagen, dass die zwei Polyeder noch topologisch Doppel-sind.

Es lohnt sich zu bemerken, dass die Scheitelpunkte und Ränder eines konvexen Polyeders geplant werden können, um sich zu formen, ein Graph (hat manchmal ein Diagramm von Schlegel genannt) auf dem Bereich oder auf einem flachen Flugzeug, und der entsprechende durch das Doppel-von diesem Polyeder gebildete Graph ist sein Doppelgraph.

Abstrakte Dualität

Ein abstraktes Polyeder ist eine bestimmte Art des teilweise bestellten Satzes (poset) von Elementen, solch, dass Angrenzen oder Verbindungen, zwischen Elementen des Satzes Angrenzen zwischen Elementen (Gesichter, Ränder, usw.) von einem Polyeder entspricht. Solch ein poset kann in einem Diagramm von Hasse vertreten werden. Jeder solcher poset hat einen Doppelposet. Das Diagramm von Hasse des Doppelpolyeders wird sehr einfach, durch das Drehen des ursprünglichen Diagramms umgekehrt erhalten.

Aufbau von Dorman Luke

Für ein gleichförmiges Polyeder kann das Gesicht des Doppelpolyeders von der Scheitelpunkt-Zahl des ursprünglichen Polyeders gefunden werden, die den Aufbau von Dorman Luke verwendet. Dieser Aufbau wurde von Cundy & Rollett (1961) ursprünglich beschrieben und später von Wenninger (1983) verallgemeinert.

Als ein Beispiel ist hier die Scheitelpunkt-Zahl, die des cuboctahedron (rot) ist, der wird pflegt, ein des rhombischen Dodekaeders (blaues) Gesicht abzuleiten.

Vor dem Anfang des Aufbaus die Scheitelpunkt-Zahl wird ABCD (in diesem Fall) durch den Ausschnitt jedes verbundenen Randes an seinem Mittelpunkt erhalten.

Der Aufbau von Dorman Luke geht dann weiter:

:#Draw der circumcircle (Tangente zu jeder Ecke).

:#Draw Linientangente zum circumcircle an jeder Ecke A, B, C, D.

:#Mark die Punkte E, F, G, H, wo jede Linie die angrenzende Linie entspricht.

:#The Vieleck ist EFGH ein Gesicht des Doppelpolyeders.

Die Größe der Scheitelpunkt-Zahl wurde gewählt, so dass sein circumcircle auf dem Zwischenbereich des cuboctahedron liegt, der auch der Zwischenbereich des rhombischen Doppeldodekaeders wird.

Der Aufbau von Dorman Luke kann nur verwendet werden, wo ein Polyeder solch einen Zwischenbereich hat und die Scheitelpunkt-Zahl, d. h. für gleichförmige Polyeder zyklisch ist.

Selbstdoppelpolyeder

Ein Selbstdoppelpolyeder ist ein Polyeder, dessen Doppel-eine kongruente Zahl, obwohl nicht notwendigerweise die identische Zahl ist: Zum Beispiel ist das Doppel-von einem regelmäßigen Tetraeder ein regelmäßiges Tetraeder "Einfassungen der entgegengesetzten Richtung" (widerspiegelt durch den Ursprung).

Ein Selbstdoppelpolyeder muss dieselbe Zahl von Scheitelpunkten wie Gesichter haben. Wir können zwischen struktureller (topologischer) Dualität und geometrischer Dualität unterscheiden. Die topologische Struktur eines Selbstdoppelpolyeders ist auch Selbstdoppel-. Ob solch ein Polyeder auch geometrisch Selbstdoppel-ist, wird von der besonderen geometrischen Dualität abhängen, die wird betrachtet. Zum Beispiel ist jedes Vieleck topologisch Selbstdoppel-(es hat dieselbe Zahl von Scheitelpunkten wie Ränder, und diese werden durch die Dualität geschaltet), aber wird (bis zur starren Bewegung, zum Beispiel) nicht im Allgemeinen geometrisch Selbstdoppel-sein - regelmäßige Vielecke sind geometrisch Selbstdoppel-(alle Winkel sind kongruent, wie alle Ränder sind, so unter der Dualität tauschen diese Kongruenzen), aber unregelmäßige Vielecke können nicht geometrisch Selbstdoppel-sein.

Die allgemeinste geometrische Einordnung besteht darin, wo ein konvexes Polyeder in seiner kanonischen Form ist, die sagen soll, dass alle seine Ränder Tangente zu einem bestimmten Bereich sein müssen, dessen Zentrum mit dem Schwerpunkt (durchschnittliche Position) von den Tangente-Punkten zusammenfällt. Wenn das polare Gegenstück der kanonischen Form im Bereich zum Original kongruent ist, dann ist die Zahl Selbstdoppel-.

Es gibt ungeheuer viele Selbstdoppelpolyeder. Die einfachste unendliche Familie ist die Pyramiden von n Seiten und der kanonischen Form. Eine andere unendliche Familie besteht aus Polyedern, die als eine Pyramide grob beschrieben werden können, die oben auf einem Prisma (mit derselben Zahl von Seiten) sitzt. Fügen Sie einen frustum (Pyramide mit der Spitze abgeschnitten) unter dem Prisma hinzu, und Sie bekommen eine andere unendliche Familie und so weiter.

Es gibt viele andere konvexe Selbstdoppelpolyeder. Zum Beispiel gibt es 6 verschiedene mit 7 Scheitelpunkten, und 16 mit 8 Scheitelpunkten.

Nichtkonvexe Selbstdoppelpolyeder können auch gefunden werden, zum Beispiel gibt es ein unter dem facettings des regelmäßigen Dodekaeders (und folglich durch die Dualität auch unter dem stellations des Ikosaeders).

Selbst zusammengesetzte Doppelpolyeder

Die Stella octangula, eine Zusammensetzung von zwei tetrahedra seiend, ist auch, sowie vier andere Regelmäßig-Doppelzusammensetzungen Selbstdoppel-.

Doppelpolytopes und tessellations

Dualität kann zum n-dimensional Raum und Doppelpolytopes verallgemeinert werden; in 2 Dimensionen werden diese Doppelvielecke genannt.

Die Scheitelpunkte eines polytope entsprechen (n − 1) - dimensionale Elemente oder Seiten, des anderen und der J-Punkte, die definieren (j − 1) - wird dimensionales Element j Hyperflugzeugen entsprechen, die sich schneiden, um zu geben (n − j) - dimensionales Element. Die Doppel-von einer Honigwabe kann ähnlich definiert werden.

Im Allgemeinen werden die Seiten eines Doppel-polytope's der topologische duals der Scheitelpunkt-Zahlen des polytope sein. Für regelmäßigen und gleichförmigen polytopes werden die Doppelseiten die polaren Gegenstücke der Seiten des Originals sein. Zum Beispiel, in vier Dimensionen, ist die Scheitelpunkt-Zahl des 600-Zellen-das Ikosaeder; der Doppel-von den 600-Zellen-ist der 120-Zellen-, dessen Seiten dodecahedra sind, die das Doppel-vom Ikosaeder sind.

Selbstdoppelpolytopes und tessellations

Die primäre Klasse von Selbstdoppelpolytopes ist regelmäßiger polytopes mit palindromic Symbolen von Schläfli. Alle regelmäßigen Vielecke, Selbstdoppel-, Polyeder der Form {a,}, 4-polytopes der Form {a, b,}, 5-polytopes der Form {a, b, b,} usw. zu sein.

Die regelmäßigen Selbstdoppelpolytopes sind:

• Alle regelmäßigen Vielecke.
• Alle regelmäßigen N-Simplexe, {3,3..., 3 }\
• Der Stammkunde, der in 4 Dimensionen, {3,4,3} 24-Zellen-ist.
• Alle regelmäßigen n-dimensional Kubikhonigwaben, {4,3..., 3,4}. Diese können als unendlicher polytopes behandelt werden.

Siehe auch

• Polyeder-Notation von Conway
• Doppelvieleck
• Selbstdoppelgraph
• Selbstdoppelvieleck
• H.M. Cundy & A.P. Rollett, Mathematische Modelle, Presse der Universität Oxford (1961).
• B. Grünbaum & G. Shephard, Dualität von Polyedern, Raum - eine polyedrische Annäherung, Hrsg. Senechal und Fleck, Birkhäuser (1988), Seiten 205-211 Gestaltend.
• P. Gailiunas & J. Scharf, Dualität von Polyedern, Internat. journ. der Mathematik. Hrsg. in der Wissenschaft und Technologie, Vol. 36, Nr. 6 (2005), Seiten 617-642.

Links

• Software, um duals zu zeigen
• Die gleichförmigen Polyeder
• Polyeder der virtuellen Realität die Enzyklopädie von Polyedern