In der Mathematik ist die unbestimmte orthogonale Gruppe, O (p, q) die Lüge-Gruppe aller geradlinigen Transformationen eines n = p + q dimensionaler echter Vektorraum, die invariant eine nichtdegenerierte, symmetrische bilineare Form der Unterschrift (p, q) verlassen. Die Dimension der Gruppe ist

:n (n − 1)/2.

Die unbestimmte spezielle orthogonale Gruppe, SO (p, q) ist die Untergruppe von O (p, q), aus allen Elementen mit der Determinante 1 bestehend. Unterschiedlich im bestimmten Fall, SO (p, q) wird nicht verbunden - hat es 2 Bestandteile - und es gibt zwei zusätzliche begrenzte Index-Untergruppen, nämlich das verbundene SO (p, q) und O (p, q), der 2 Bestandteile hat - sieh die Topologie-Abteilung für die Definition und Diskussion.

Die Unterschrift des metrischen (p positiver und q negativer eigenvalues) bestimmt die Gruppe bis zum Isomorphismus; das Austauschen p mit q beläuft sich auf das Ersetzen des metrischen durch seine Verneinung, und gibt so dieselbe Gruppe. Wenn entweder p oder q Null gleichkommen, dann ist die Gruppe zur gewöhnlichen orthogonalen Gruppe O (n) isomorph. Wir nehmen darin an, was dem folgt, sowohl p als auch q sind positiv.

Die Gruppe O (p, q) wird für Vektorräume über den reals definiert. Für komplizierte Räume, alle Gruppen O (p, q; C) sind zur üblichen orthogonalen Gruppe O isomorph (p + q; C), seit den umgestalten Änderungen die Unterschrift einer Form.

In sogar der Dimension ist die mittlere Gruppe O (n, n) als der Spalt orthogonale Gruppe bekannt, und ist von besonderem Interesse. In der sonderbaren Dimension ist die entsprechende fast mittlere Gruppe O (n, n+1) als der Quasispalt orthogonale Gruppe bekannt, und spielt eine ähnliche Rolle.

Beispiele

Das grundlegende Beispiel ist der Druck mappings, der die Gruppe ist, SO (1,1) (der Identitätsbestandteil) geradlinig gestaltet Bewahrung der Einheitshyperbel um. Konkret sind diese der matrices und können als Hyperbelfolgen interpretiert werden, gerade als die Gruppe SO (2) als kreisförmige Folgen interpretiert werden kann. In der Physik ist die Gruppe von Lorentz O (1,3) von Hauptwichtigkeit, die Einstellung für den Elektromagnetismus und die spezielle Relativität seiend.

Matrixdefinition

Man kann O (p, q) als eine Gruppe von matrices, ebenso für die klassische orthogonale Gruppe O (n) definieren. Das Standardskalarprodukt auf R wird in Koordinaten durch die Diagonalmatrix gegeben:

Als eine quadratische Form,

Die Gruppe O (p, q) ist dann die Gruppe n×n matrices M (wo n = p+q) solch dass; als eine bilineare Form,

Hier zeigt M das Umstellen der MatrixM an. Man kann leicht nachprüfen, dass der Satz des ganzen matrices eine Gruppe bildet. Das Gegenteil der M wird durch gegeben

Man erhält eine isomorphe Gruppe (tatsächlich, eine verbundene Untergruppe von GL (V)), indem man &eta ersetzt; mit jeder symmetrischen Matrix mit p positivem eigenvalues und q negativen (ist solch eine Matrix notwendigerweise nichtsingulär); gleichwertig, jede quadratische Form mit der Unterschrift (p, q). Diagonalizing diese Matrix gibt eine Konjugation dieser Gruppe mit der Standardgruppe O (p, q).

Topologie

Das Annehmen sowohl p als auch q ist Nichtnull, keine der Gruppen O (p, q), oder SO (p, q) werden verbunden, vier und zwei Bestandteile beziehungsweise habend.

ist der Klein vier-Gruppen-mit jedem Faktor, der ist, ob ein Element bewahrt oder die jeweiligen Orientierungen auf dem p und q dimensionalen Subräume umkehrt, auf denen die Form bestimmt ist.

Die spezielle orthogonale Gruppe hat Bestandteile}, der entweder beide Orientierungen bewahrt oder beide Orientierungen umkehrt.

Der Identitätsbestandteil von O (p, q) wird häufig SO (p, q) angezeigt und kann mit dem Satz von Elementen in SO identifiziert werden (p, q), der beide Orientierungen bewahrt.

Die Gruppe O (p, q) ist auch nicht kompakt, aber enthält die Kompaktuntergruppen O (p) und O (q) das Folgen den Subräumen, auf denen die Form bestimmt ist. Tatsächlich, ist eine maximale Kompaktuntergruppe von O (p, q), während eine maximale Kompaktuntergruppe SO (p, q) ist.

Ebenfalls, ist eine maximale Kompaktuntergruppe SO (p, q).

So bis zu homotopy sind die Räume Produkte von (speziellen) orthogonalen Gruppen, von denen algebro-topologischer invariants geschätzt werden kann.

Insbesondere die grundsätzliche Gruppe SO (p, q) ist das Produkt der grundsätzlichen Gruppen der Bestandteile, und wird gegeben durch:

Spalten Sie orthogonale Gruppe

In sogar der Dimension ist die mittlere Gruppe O (n, n) als der Spalt orthogonale Gruppe bekannt, und ist von besonderem Interesse. Es ist der Spalt Liegen Gruppe entsprechend der komplizierten Lüge-Algebra so (die Lüge-Gruppe des Spalts echte Form der Lüge-Algebra); genauer ist der Identitätsbestandteil der Spalt Liegen Gruppe, weil Nichtidentitätsbestandteile von der Lüge-Algebra nicht wieder aufgebaut werden können. In diesem Sinn ist es gegenüber der bestimmten orthogonalen Gruppe O (n): = O (n, 0) = O (0, n), der die echte Kompaktform der komplizierten Lüge-Algebra ist.

Der Fall (1,1) entspricht den komplexen Zahlen des Spalts.

In Bezug auf eine Gruppe des Typs Lie - d. h., Aufbau einer algebraischen Gruppe von einer Lüge-Algebra zu sein - spaltet sich auf orthogonale Gruppen sind Gruppen von Chevalley, während der Nichtspalt orthogonale Gruppen einen ein bisschen mehr komplizierten Aufbau verlangen, und Gruppen von Steinberg sind.

Spalten Sie sich auf orthogonale Gruppen werden verwendet, um die verallgemeinerte Fahne-Vielfalt zu bauen, nichtalgebraisch hat Felder geschlossen.

Spalten Sie orthogonale Gruppe in der sonderbaren Dimension

In der sonderbaren Dimension ist die entsprechende fast mittlere Gruppe O (n, n+1) als der Spalt orthogonale Gruppe bekannt, und spielt eine ähnliche Rolle zum Spalt orthogonale Gruppe in sogar der Dimension.

Siehe auch

• Gruppe von Lorentz
• Orthogonale Gruppe
• Nadel-Gruppe
• Drücken Sie kartografisch darzustellen
• Anthony Knapp, Lie Groups Außer einer Einführung, der Zweiten Ausgabe, dem Fortschritt in der Mathematik, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. Internationale Standardbuchnummer 0-8176-4259-5 - sieht Seite 372 für eine Beschreibung der unbestimmten orthogonalen Gruppe
• Joseph A. Wolf, Räume der unveränderlichen Krümmung, (1967) Seite. 335.