In der Mathematik ist eine konkave Funktion die Verneinung einer konvexen Funktion. Eine konkave Funktion wird auch konkav abwärts, konkav unten, konvex aufwärts, konvexe Kappe oder ober konvex synonymisch genannt.

Definition

sagt, ist eine reellwertige Funktion f auf einem Zwischenraum (oder, mehr allgemein, ein konvexer Satz im Vektorraum) wenn, für jeden x und y im Zwischenraum und für jeden t in [0,1], konkav

Eine Funktion wird ausschließlich konkav wenn genannt

für jeden t in (0,1) und x  y.

Für eine Funktion f:RR stellt diese Definition bloß fest, dass für jeden z zwischen x und y der Punkt (z, f (z)) auf dem Graphen von f über der Gerade ist, die sich den Punkten (x, f (x)) und (y, f (y)) anschließt.

Eine Funktion f (x) ist quasikonkav, wenn die oberen Kontur-Sätze der Funktion konvexe Sätze sind.

Eigenschaften

Eine Funktion f (x) ist über einen konvexen Satz konkav, wenn, und nur wenn die Funktion −f (x) eine konvexe Funktion über den Satz ist.

Eine Differentiable-Funktion f ist auf einem Zwischenraum wenn seine abgeleitete Funktion f &prime konkav; ist monotonically, der auf diesem Zwischenraum abnimmt: Eine konkave Funktion hat einen abnehmenden Hang. ("Abnehmend" hier bedeutet, anstatt des strengen Verringerns nichtzuzunehmen, und erlaubt so Nullhang.)

Dafür fungieren zweimal-differentiable f, wenn die zweite Ableitung, f ′′ (x), ist positiv (oder, wenn die Beschleunigung positiv ist), dann ist der Graph konvex; wenn f ′′ (x) ist dann negativ der Graph ist konkav. Punkte, wo Konkavitätsänderungen Beugungspunkte sind.

Wenn ein konvexer (d. h., konkav nach oben gerichtet) Funktion einen "Boden" hat, ist jeder Punkt am Boden ein minimaler extremum. Wenn eine Höhlung (d. h., konkav nach unten) Funktion eine "Spitze" hat, ist jeder Punkt an der Spitze ein maximaler extremum.

Wenn f (x) zweimal-differentiable ist, dann ist f (x) wenn und nur wenn f ′&prime konkav; (x) ist nichtpositiv. Wenn seine zweite Ableitung dann negativ ist, ist es ausschließlich konkav, aber das Gegenteil, ist wie gezeigt, durch f (x) =-x nicht wahr.

Wenn f konkav ist und differentiable dann

Eine dauernde Funktion auf C ist wenn und nur wenn für jeden x und y in C konkav

Wenn eine Funktion f, und f (0)  0 konkav ist, dann ist f subzusätzlich. Beweis:

• da f konkav ist, lassen Sie y = 0,

\ge \frac {a+b} f (a+b) + \frac {b} {a+b} f (a+b) = f (a+b) </Mathematik>

Beispiele

• Die Funktionen und sind konkav, weil die zweite Ableitung immer negativ ist.
• Jede geradlinige Funktion ist sowohl konkav als auch konvex.
• Die Funktion ist auf dem Zwischenraum konkav.
• Die Funktion, wo die Determinante einer nichtnegativ-bestimmten Matrix B ist, ist konkav.
• Praktisches Beispiel: Strahlen, die sich in der Berechnung der radiowave Verdünnung in der Atmosphäre biegen.

Siehe auch

• Konkaves Vieleck
• Konvexe Funktion
• Die Ungleichheit von Jensen
• Logarithmisch konkave Funktion
• Quasikonkave Funktion