In der Vektor-Rechnung sind der Abschweifungslehrsatz, auch bekannt als der Lehrsatz von Ostrogradsky, ein Ergebnis, das den Fluss (d. h. Fluss) von einem Vektorfeld durch eine Oberfläche zum Verhalten des Vektorfeldes innerhalb der Oberfläche verbindet.

Genauer stellt der Abschweifungslehrsatz fest, dass der äußere Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Oberfläche dem Volumen gleich ist, das der Abschweifung des Gebiets innerhalb der Oberfläche integriert ist. Intuitiv stellt es fest, dass die Summe aller Quellen minus die Summe des ganzen Beckens den Nettofluss aus einem Gebiet gibt.

Der Abschweifungslehrsatz ist ein wichtiges Ergebnis für die Mathematik der Technik, insbesondere in der Elektrostatik und flüssigen Dynamik.

In der Physik und Technik wird der Abschweifungslehrsatz gewöhnlich in drei Dimensionen angewandt. Jedoch verallgemeinert es zu jeder Zahl von Dimensionen. In einer Dimension ist es zum Hauptsatz der Rechnung gleichwertig.

Der Lehrsatz ist ein spezieller Fall von Lehrsatz von mehr General Stokes.

Intuition

Wenn eine Flüssigkeit in einem Gebiet fließt, und wir wissen möchten, wie viel Flüssigkeitsströmungen aus einem bestimmten Gebiet innerhalb dieses Gebiets, dann müssen wir die Quellen innerhalb des Gebiets zusammenzählen und das Becken abziehen. Die Flüssigkeitsströmung wird durch ein Vektorfeld vertreten, und die Abschweifung des Vektorfeldes an einem gegebenen Punkt beschreibt die Kraft der Quelle oder des Beckens dort. Also, die Integrierung der Abschweifung des Feldes über das Interieur des Gebiets sollte dem Integral des Vektorfeldes über die Grenze des Gebiets gleichkommen. Der Abschweifungslehrsatz sagt, dass das wahr ist.

Der Abschweifungslehrsatz ist so ein Bewahrungsgesetz, das feststellt, dass das Volumen, das des ganzen Beckens und Quellen, das der Abschweifung integrierte Volumen ganz ist, dem Nettofluss über die Grenze des Volumens gleich ist.

Mathematische Behauptung

Denken Sie V ist eine Teilmenge von R (im Fall von n = 3, V vertritt ein Volumen im 3D-Raum), der kompakt ist und glatte Grenze eines piecewise S hat. Wenn F unaufhörlich differentiable Vektorfeld ist, das auf einer Nachbarschaft V definiert ist, dann haben wir

:

Die linke Seite ist ein über den Band V integriertes Volumen, die richtige Seite ist das Oberflächenintegral über die Grenze des Bands V. Die geschlossene Sammelleitung V ist ganz allgemein die Grenze V orientiert am äußeren Hinweisen normals, und n ist die äußere hinweisende Einheit normales Feld der Grenze V. (dS kann als eine Schnellschrift für n dS verwendet werden.) Durch das Symbol innerhalb der zwei Integrale wird es noch einmal betont, dass V eine geschlossene Oberfläche ist. In Bezug auf die intuitive Beschreibung oben vertritt die linke Seite der Gleichung die Summe der Quellen im Band V, und die Rechte vertritt den Gesamtfluss über die Grenze V.

Folgeerscheinungen

Durch die Verwendung des Abschweifungslehrsatzes in verschiedenen Zusammenhängen kann andere nützliche Identität (vgl Vektor-Identität) abgeleitet werden.

Wenn es

• den Abschweifungslehrsatz auf das Produkt einer Skalarfunktion g und eines Vektorfeldes F anwendet, ist das Ergebnis

:

Der spezielle Fall von:A davon ist, in welchem Fall der Lehrsatz die Basis für die Identität von Green ist.

• Den Abschweifungslehrsatz auf das Kreuzprodukt von zwei Vektorfeldern anwendend, ist das Ergebnis

::

• Den Abschweifungslehrsatz auf das Produkt einer Skalarfunktion, f, und einen unveränderlichen Nichtnullvektoren anwendend, kann der folgende Lehrsatz bewiesen werden:

:: Wenn man

• den Abschweifungslehrsatz auf das Kreuzprodukt eines Vektorfeldes F und eines unveränderlichen Nichtnullvektoren anwendet, kann der folgende Lehrsatz bewiesen werden:

::

Beispiel

Nehmen Sie an, dass wir bewerten

möchten:

wo S der durch definierte Einheitsbereich ist

:

und F ist das Vektorfeld

:

Die direkte Berechnung dieses Integrals ist ziemlich schwierig, aber wir können die Abstammung des Ergebnisses mit dem Abschweifungslehrsatz vereinfachen:

:

wo W der Einheitsball (d. h., das Interieur des Einheitsbereichs,) ist. Da die Funktion in einer Halbkugel von W positiv und im anderen auf eine gleiche und entgegengesetzte Weise negativ ist, ist sein Gesamtintegral über W Null. Dasselbe ist wahr für:

:

Deshalb,

:

weil der Einheitsball W Volumen hat

Anwendungen

Differenzialform und integrierte Form von physischen Gesetzen

Infolge des Abschweifungslehrsatzes kann ein Gastgeber von physischen Gesetzen in beiden eine Differenzialform geschrieben werden (wo eine Menge die Abschweifung von einem anderen ist), und eine integrierte Form (wo der Fluss einer Menge durch eine geschlossene Oberfläche einer anderen Menge gleich ist). Drei Beispiele sind das Gesetz von Gauss (in der Elektrostatik), das Gesetz von Gauss für den Magnetismus und das Gesetz von Gauss für den Ernst.

Kontinuitätsgleichungen

Kontinuitätsgleichungen bieten mehr Beispiele von Gesetzen sowohl mit unterschiedlichen als auch mit integrierten Formen an, die mit einander durch den Abschweifungslehrsatz verbunden sind. In flüssiger Dynamik, Elektromagnetismus, Quant-Mechanik, Relativitätstheorie und mehreren anderen Feldern, gibt es Kontinuitätsgleichungen, die die Bewahrung der Masse, den Schwung, die Energie, die Wahrscheinlichkeit oder die anderen Mengen beschreiben. Allgemein stellen diese Gleichungen fest, dass die Abschweifung des Flusses der erhaltenen Menge dem Vertrieb von Quellen oder Becken dieser Menge gleich ist. Der Abschweifungslehrsatz stellt fest, dass jede solche Kontinuitätsgleichung in einer Differenzialform (in Bezug auf eine Abschweifung) und einer integrierten Form (in Bezug auf einen Fluss) geschrieben werden kann.

Umgekehrt-Quadratgesetze

Jedes Umgekehrt-Quadratgesetz kann stattdessen in einer Gesetztyp-Form von Gauss (mit einer unterschiedlichen und integrierten Form, wie beschrieben, oben) geschrieben werden. Zwei Beispiele sind das Gesetz von Gauss (in der Elektrostatik), der aus dem Gesetz der Umgekehrt-Quadratampere-Sekunde und dem Gesetz von Gauss für den Ernst folgt, der aus dem umgekehrt-quadratischen Newtonschen Gesetz der universalen Schwerkraft folgt. Die Abstammung der Gesetztyp-Gleichung von Gauss von der Umgekehrt-Quadratformulierung (oder umgekehrt) ist genau dasselbe in beiden Fällen; sieh jeden jener Artikel für Details.

Geschichte

Der Lehrsatz wurde zuerst von Lagrange 1762 entdeckt, dann später unabhängig von Gauss 1813 von Green 1825 und 1831 von Ostrogradsky wieder entdeckt, der auch den ersten Beweis des Lehrsatzes gegeben hat. Nachher werden Schwankungen auf dem Abschweifungslehrsatz den Lehrsatz von Ostrogradsky, sondern auch allgemein den Lehrsatz von Gauss oder den Lehrsatz von Green richtig genannt.

Beispiele

Die planare Variante des Abschweifungslehrsatzes für Gebiet R, wo nachzuprüfen

:

und R ist das Gebiet, das durch den Kreis begrenzt ist

:

Die Grenze von R ist der Einheitskreis, C, der parametrisch vertreten werden kann durch:

:

solch das, wo s Einheiten der Länge-Kreisbogen vom Punkt s = 0 zum Punkt P auf C ist. Dann ist eine Vektor-Gleichung von C

:

An einem Punkt P auf C:

:Deshalb,:

&= \, \int_ {0} ^ {2 \pi} (2 \sin s \cos s + 5 \sin s \cos s) \, ds \\

&= \, 7\int_ {0} ^ {2 \pi} \sin s \cos s \, ds \\

&= \, 0.\end {richten }\\</Mathematik> aus

Weil, und weil. So

:

Generalisation zu Tensor-Feldern

Das Schreiben des Lehrsatzes in der Index-Notation:

:

anregend, das Vektorfeld F mit einem Tensor der Reihe-n Feld T ersetzend, kann das verallgemeinert werden zu:

:

wo auf jeder Seite Tensor-Zusammenziehung für mindestens einen Index vorkommt. Diese Form des Lehrsatzes ist noch im 3., jeder Index nimmt Werte 1, 2, und 3. Es kann weiter noch zu höheren Dimensionen (zum Beispiel zu 4d Raum-Zeit in der allgemeinen Relativität) verallgemeinert werden.

Referenzen

Links

• Differenzialoperatoren und der Abschweifungslehrsatz an MathPages
• Die Abschweifung (Gauss) Lehrsatz durch Nick Bykov, Wolfram-Demonstrationsprojekt.

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Dieser Artikel hat ursprünglich auf dem Artikel GFDL von PlanetMath an http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html basiert