Eine begrenzte Geometrie ist jedes geometrische System, das nur eine begrenzte Zahl von Punkten hat.

Euklidische Geometrie ist zum Beispiel nicht begrenzt, weil eine Euklidische Linie ungeheuer viele Punkte, tatsächlich so viele Punkte enthält, wie es reelle Zahlen gibt. Eine begrenzte Geometrie kann jede (begrenzte) Zahl von Dimensionen haben.

Begrenzte Geometrie kann über die geradlinige Algebra als Vektorräume über ein begrenztes Feld gebaut, und Geometrie von Galois genannt werden, oder kann rein kombinatorisch definiert werden. Viele, aber nicht alle, begrenzte Geometrie sind Geometrie von Galois - zum Beispiel, jeder begrenzte projektive Raum der Dimension drei oder größer ist zu einem projektiven Raum über ein begrenztes Feld isomorph (der projectivization eines Vektorraums über ein begrenztes Feld), also in diesem Fall gibt es keine Unterscheidung, aber in der Dimension zwei dort werden projektive Flugzeuge kombinatorisch definiert, die zu projektiven Räumen über begrenzte Felder, nämlich die non-Desarguesian Flugzeuge nicht isomorph sind, also in diesem Fall gibt es eine Unterscheidung.

Begrenzte Flugzeuge

Die folgenden Bemerkungen gelten nur für begrenzte Flugzeuge.

Es gibt zwei Arten der begrenzten Flugzeug-Geometrie: affine und projektiv.

In einer affine Geometrie gilt der normale Sinn von parallelen Linien.

In einem projektiven Flugzeug, im Vergleich, schneiden sich irgendwelche zwei Linien an einem einzigartigen Punkt, und so bestehen parallele Linien nicht. Sowohl begrenzte affine Flugzeug-Geometrie als auch begrenzte projektive Flugzeug-Geometrie können durch ziemlich einfache Axiome beschrieben werden.

Eine affine Flugzeug-Geometrie ist ein nichtleerer Satz (dessen Elemente "Punkte" genannt werden), zusammen mit einer nichtleeren Sammlung von Teilmengen (dessen Elemente "Linien" genannt werden), solch dass:

1. In Anbetracht irgendwelcher zwei verschiedenen Punkte gibt es genau eine Linie, die beide Punkte enthält.
2. Das parallele Postulat: In Anbetracht einer Linie und eines Punkts nicht darauf, dort besteht genau eine Linie, die solch dass enthält
3. Dort besteht eine Reihe vier Punkte, von denen keine drei derselben Linie gehören.

Das letzte Axiom stellt sicher, dass die Geometrie nicht trivial ist (entweder leer oder zu einfach, um von Interesse, wie eine einzelne Linie mit einer beliebigen Zahl von Punkten darauf zu sein), während die ersten zwei die Natur der Geometrie angeben.

Das einfachste affine Flugzeug enthält nur vier Punkte; es wird das affine Flugzeug des Auftrags 2 genannt.

Da keine drei collinear sind, bestimmt jedes Paar von Punkten eine einzigartige Linie, und so enthält dieses Flugzeug sechs Linien. Es entspricht einem Tetraeder, wo sich nichtschneidende Ränder "parallel", oder ein Quadrat betrachtet werden, wo nicht nur Gegenseiten, sondern auch Diagonalen "parallel" betrachtet werden.

Mehr allgemein hat ein begrenztes affine Flugzeug der Ordnung Punkte und Linien; jede Linie enthält Punkte, und jeder Punkt ist auf Linien.

Eine projektive Flugzeug-Geometrie ist ein nichtleerer Satz (dessen Elemente "Punkte" genannt werden), zusammen mit einer nichtleeren Sammlung von Teilmengen (dessen Elemente "Linien" genannt werden), solch dass:

In Anbetracht irgendwelcher zwei verschiedenen Punkte gibt es genau eine Linie, die beide Punkte enthält.

1. Die Kreuzung irgendwelcher zwei verschiedenen Linien enthält genau einen Punkt.

Dort besteht eine Reihe vier Punkte, von denen keine drei derselben Linie gehören.

Eine Überprüfung der ersten zwei Axiome zeigt, dass sie fast identisch sind, außer dass die Rollen von Punkten und Linien ausgewechselt worden sind.

Das deutet den Grundsatz der Dualität für die projektive Flugzeug-Geometrie an, bedeutend, dass jede wahre in ganzer dieser Geometrie gültige Behauptung wahr bleibt, wenn wir Punkte gegen Linien und Linien für Punkte austauschen.

Die kleinste Geometrie, die alle drei Axiome befriedigt, enthält sieben Punkte. Darin, das unter den projektiven Flugzeugen am einfachsten ist, gibt es auch sieben Linien; jeder Punkt ist auf drei Linien, und jede Linie enthält drei Punkte.

Dieses besondere projektive Flugzeug wird manchmal das Flugzeug von Fano genannt.

Wenn einige der Linien vom Flugzeug zusammen mit den Punkten auf dieser Linie entfernt wird, ist die resultierende Geometrie das affine Flugzeug des Auftrags 2.

Das Flugzeug von Fano wird das projektive Flugzeug des Auftrags 2 genannt, weil es (bis zum Isomorphismus) einzigartig ist.

Im Allgemeinen hat das projektive Flugzeug des Auftrags n n + n + 1 Punkte und dieselbe Zahl von Linien; jede Linie enthält n + 1 Punkte, und jeder Punkt ist auf n + 1 Linien.

Eine Versetzung des Flugzeugs von Fano sieben Punkte, der collinear Ziele (Punkte auf derselben Linie) zu Collinear-Punkten erreicht, wird einen collineation des Flugzeugs genannt. Die volle collineation Gruppe ist des Auftrags 168 und ist zur Gruppe PSL (2,7) = PSL (3,2) und allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (3,2) isomorph.

Ordnung von Flugzeugen

Ein begrenztes Flugzeug des Auftrags n ist ein solcher, dass jede Linie N-Punkte (für ein affine Flugzeug), oder solch hat, dass jede Linie Punkte (für ein projektives Flugzeug) hat. Eine größere geöffnete Frage in der begrenzten Geometrie ist:

:Is die Ordnung eines begrenzten Flugzeugs immer eine Hauptmacht?

Das wird vermutet, um wahr zu sein, aber ist nicht bewiesen worden.

Affine und projektive Flugzeuge des Auftrags n bestehen, wann auch immer n eine Hauptmacht (eine Primzahl ist, die zu einer positiven Hochzahl der ganzen Zahl erhoben ist), durch das Verwenden affine und projektiven Flugzeugen über das begrenzte Feld mit Elementen. Flugzeuge nicht sind auf begrenzte Felder zurückzuführen gewesen auch bestehen, aber alle bekannten Beispiele haben bestellen eine Hauptmacht.

Das beste allgemeine Ergebnis ist bis heute der Bruck-Ryser Lehrsatz von 1949, der festsetzt:

:If n ist eine positive ganze Zahl der Form 4k + 1 oder 4k + 2, und n ist der Summe von zwei Quadraten der ganzen Zahl nicht gleich, dann kommt n als die Ordnung eines begrenzten Flugzeugs nicht vor.

Die kleinste ganze Zahl, die nicht eine Hauptmacht und nicht bedeckt durch den Bruck-Ryser Lehrsatz ist, ist 10; 10 ist der Form 4k + 2, aber es ist der Summe von Quadraten 1 + 3 gleich. Das Nichtsein eines begrenzten Flugzeugs des Auftrags 10 wurde in einem computergestützten Beweis bewiesen, der 1989 fertig gewesen ist - sieh für Details.

Die folgende kleinste Zahl, um in Betracht zu ziehen, ist 12, für den weder ein positiver noch ein negatives Ergebnis bewiesen worden sind.

Begrenzte Räume von 3 oder mehr Dimensionen

Für einige wichtige Unterschiede zwischen der begrenzten Flugzeug-Geometrie und der Geometrie von hoch-dimensionalen begrenzten Räumen, sieh axiomatischen projektiven Raum. Für eine Diskussion von hoch-dimensionalen begrenzten Räumen im Allgemeinen, sieh zum Beispiel, die Arbeiten von J.W.P. Hirschfeld.

Begrenzte drei Räume

Vereinigt mit jedem Feld K ist ein (3-dimensionaler) projektiver Raum, dessen Punkte, Linien und Flugzeuge mit den 1-, 2-, und 3-dimensionalen Subräumen des 4-dimensionalen Vektorraums über Feld K identifiziert werden können. Es gibt eine Reihe von Axiomen für projektive Räume. Der kleinste 3-dimensionale projektive Raum über den Feld-GF (2), angezeigt durch die Parentale Guidance (3,2), hat 15 Punkte, 35 Linien und 15 Flugzeuge. Jedes der 15 Flugzeuge enthält 7 Punkte und 7 Linien. Als Geometrie sind diese Flugzeuge zum Flugzeug von Fano isomorph. Jeder Punkt der Parentalen Guidance (3,2) wird in 7 Linien enthalten, und jede Linie enthält drei Punkte. Außerdem werden zwei verschiedene Punkte in genau einer Linie enthalten, und zwei Flugzeuge schneiden sich in genau einer Linie. 1892 war Gino Fano erst, um solch eine begrenzte Geometrie - eine dreidimensionale Geometrie zu denken, die 15 Punkte, 35 Linien und 15 Flugzeuge mit jedem Flugzeug enthält, das 7 Punkte und 7 Linien enthält.

In der synthetischen projektiven Geometrie werden die unbestimmten Elemente als Punkte und Linien genommen. Ein Flugzeug und ein drei-Räume-können dann mit den Postulaten des Vorkommens und der Existenz definiert werden:

Postulate des Vorkommens

p-1: Wenn A und B verschiedene Punkte sind, gibt es mindestens eine Linie sowohl auf A als auch auf B.

p-2: Wenn A und B verschiedene Punkte sind, gibt es nicht mehr als eine Linie sowohl auf A als auch auf B.

p-3: Wenn A, B, und C Punkte nicht alle auf derselben Linie sind, und D und E verschiedene solche Punkte sind, dass B, C, und D auf einer Linie und C, A sind, und E auf einer Linie sind, gibt es einen Punkt F solch, dass A, B, und F auf einer Linie und auch D, E sind, und F auf einer Linie sind.

Postulate der Existenz

p-4: Dort besteht mindestens eine Linie.

p-5: Es gibt mindestens drei verschiedene Punkte auf jeder Linie.

p-6: Nicht alle Punkte sind auf derselben Linie.

p-7: Nicht alle Punkte sind auf demselben Flugzeug.

p-8: Wenn S3 ein drei-Räume-ist, ist jeder Punkt auf S3.

In besonderen Postulaten p-1 durch p-8 sind durch die Punkte, Linien und Flugzeuge des drei-Räume-zufrieden, dessen Punkte in der Abbildung 1 angezeigt werden. Das drei-Räume-enthält genau 15 Punkte. Es gibt auch viele andere begrenzte projektive drei Räume, für die diese Postulate halten.

Begrenzte N-Räume

Im Allgemeinen, für jede positive ganze Zahl n, wird eine Geometrie auf einem N-Raum eine n-dimensional Geometrie genannt. Eine vierdimensionale projektive Geometrie kann durch das Ersetzen p-8 durch p-8 erhalten werden': Nicht alle Punkte sind auf demselben drei-Räume- und durch ein Postulat des Verschlusses p-8'': Wenn S4is ein vier-Räume-, jeder Punkt auf S4 ist.

Im Allgemeinen kann eine n-dimensional projektive Geometrie (n = 4, 5, …) durch das Ersetzen p-8 durch Postulate erhalten werden, die dass feststellen:

(i) Nicht alle Punkte sind auf demselben S3, S4, …, Sn-1,

(ii) Wenn Sn ein N-Raum ist, ist jeder Punkt auf Sn.

Diese projektive Geometrie wird durch die Parentale Guidance angezeigt (n, q), wo n die geometrische Dimension der Geometrie ist und q die Größe (Ordnung) des begrenzten Feldes ist, das verwendet ist, um die Geometrie zu bauen. Die Studie dieser hoch-dimensionalen Räume (n> hat 3) viele wichtige Anwendungen in fortgeschrittenen mathematischen Theorien.

Das Schülerin-Problem von Kirkman

Parentale Guidance (3,2) kann als eine Lösung des Schülerin-Problems von Kirkman entstehen, das festsetzt: "Fünfzehn Schülerinnen gehen jeden Tag in fünf Gruppen drei spazieren. Ordnen Sie den Spaziergang der Mädchen seit einer Woche ein, so dass in dieser Zeit jedes Paar von Mädchen zusammen in einer Gruppe gerade einmal spazieren geht." (Sieh Antwort in der Verbindung.) Gibt es 35 verschiedene Kombinationen für die Mädchen, um zusammen spazieren zu gehen. Es gibt auch 7 Tage der Woche und 3 Mädchen in jeder Gruppe. Zwei der sieben nichtisomorphen Lösungen dieses Problems können eine Sehdarstellung des 3-Räume-Fanos zur Verfügung stellen. Einige Diagramme für dieses Problem können an http://home.wlu.edu/~mcraea/finite_geometry/Applications/Prob31SchoolGirl/problem31.html: gefunden werden

:Each-Farbe vertritt den Tag der Woche (sieben Farben, blau, grün, gelb, purpurrot, rot, schwarz, und orange). Die Definition eines Raums von Fano sagt, dass jede Linie auf drei Punkten ist. Die Zahl vertritt diese Vertretung, dass es 3 Punkte für jede Linie gibt. Das ist die Basis für die Antwort auf das Schülerin-Problem. Diese Zahl wird dann 7mal rotieren gelassen. Es gibt 5 verschiedene Linien für jeden Tag, der mit 7 (Tage) multipliziert ist, und das Ergebnis ist 35. Dann gibt es 15 Punkte, und es gibt auch 7 Startlinien auf jedem Punkt. Das gibt dann eine Darstellung des 3-Räume-Fanos.

Siehe auch

• Geometrie von Galois
• Starkes Gesetz von Kleinen Zahlen - andere Eigenschaften von kleinen begrenzten Sätzen
• Geradliniger Raum
• Lynn Margaret Batten: Combinatorics der begrenzten Geometrie. Universität von Cambridge drückt
• Vorabende, Howard. Ein Überblick über die Geometrie: Volumen Ein. Boston: Allyn and Bacon Inc., 1963.
• Meserve, Bruce E. Fundamental Concepts von Geometrie. New York: Veröffentlichungen von Dover, 1983.
• Polster, Burkard. Ja, Warum Versuch Ihr Roher Nasser Hut: Eine Tour des Kleinsten Projektiven Raums. Band 21, Nummer 2, 1999.

http://www.springerlink.com/content/cr23u8j8128g77tw/fulltext.pdf

• "Problem 31: Das Schülerin-Problem von Kirkman"

http://home.wlu.edu/~mcraea/finite_geometry/Applications/Prob31SchoolGirl/problem31.html

Links

• Aufsatz auf der begrenzten Geometrie durch Michael Greenberg
• Begrenzte Geometrie (Schrift)
• Begrenzte Geometrie-Mittel
• J. W. P. Hirschfeld, Forscher auf der begrenzten Geometrie
• Bücher durch Hirschfeld auf der begrenzten Geometrie
• AMS Säule: Begrenzte Geometrie?
• Galois Geometrie und Verallgemeinerte Vielecke, intensiver Kurs 1998