In der Mathematik versichert ein idealer Hauptlehrsatz die Existenz von bestimmten Typen von Teilmengen in einer gegebenen abstrakten Algebra. Ein allgemeines Beispiel ist Boolean idealer Hauptlehrsatz, der feststellt, dass Ideale in einer Algebra von Boolean zu Hauptidealen erweitert werden können. Eine Schwankung dieser Behauptung für Filter auf Sätzen ist als das Ultrafilterlemma bekannt. Andere Lehrsätze werden durch das Betrachten verschiedener mathematischer Strukturen mit passenden Begriffen von Idealen, zum Beispiel, als Ringen und Hauptidealen (der Ringtheorie), oder verteilende Gitter und maximale Ideale (der Ordnungstheorie) erhalten. Dieser Artikel konzentriert sich auf ideale Hauptlehrsätze aus der Ordnungstheorie.

Obwohl die verschiedenen idealen Hauptlehrsätze einfach und intuitiv scheinen können, können sie nicht im Allgemeinen von den Axiomen der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF) abgeleitet werden. Statt dessen erweisen sich einige der Behauptungen, zum Axiom der Wahl (AC) gleichwertig zu sein, während andere — Boolean idealer Hauptlehrsatz, zum Beispiel — vertreten ein Eigentum, das ausschließlich schwächer ist als AC. Es ist wegen dieses Zwischenstatus zwischen ZF und ZF + AC (ZFC), dass Boolean idealer Hauptlehrsatz häufig als ein Axiom der Mengenlehre genommen wird. Die Abkürzungen BPI oder GRUBE (für Algebra von Boolean) werden manchmal verwendet, um sich auf dieses zusätzliche Axiom zu beziehen.

Ideale Hauptlehrsätze

Rufen Sie zurück, dass ein Ordnungsideal ein (nichtleerer) geleiteter tiefer Satz ist. Wenn der überlegte poset binären suprema hat (a.k.a., schließt sich an), wie den posets innerhalb dieses Artikels tun, dann wird das als ein niedrigerer Satz I gleichwertig charakterisiert, der für binären suprema geschlossen wird (d. h. x, y in beziehe mir xy in I ein). Ein Ideal ich bin erst, wenn, wann auch immer ein infimum xy in mir ist, man auch x in mir oder y in mir hat. Ideale sind richtig, wenn sie dem ganzen poset nicht gleich sind.

Historisch bezog sich die erste Behauptung in Zusammenhang mit späteren idealen Hauptlehrsätzen tatsächlich auf Filter — Teilmengen, die Ideale in Bezug auf die Doppelordnung sind. Das Ultrafilterlemma stellt fest, dass jeder Filter auf einem Satz innerhalb von einem maximalen (richtigen) Filter — ein Ultrafilter enthalten wird. Rufen Sie zurück, dass Filter auf Sätzen richtige Filter der Algebra von Boolean seines powerset sind. In diesem speziellen Fall fallen maximale Filter (d. h. Filter, die nicht strenge Teilmengen jedes richtigen Filters sind) und Hauptfilter (d. h. Filter, die mit jeder Vereinigung von Teilmengen X und Y auch X oder Y enthalten) zusammen. Die Doppel-von dieser Behauptung versichert so, dass jedes Ideal eines powerset in einem Hauptideal enthalten wird.

Die obengenannte Behauptung hat zu verschiedenen verallgemeinerten idealen Hauptlehrsätzen geführt, von denen jeder in einem schwachen und in einer starken Form besteht. Schwache ideale Hauptlehrsätze stellen fest, dass jede nichttriviale Algebra einer bestimmten Klasse mindestens ein Hauptideal hat. Im Gegensatz verlangen starke ideale Hauptlehrsätze, dass jedes Ideal, das von einem gegebenen Filter zusammenhanglos ist, zu einem Hauptideal erweitert werden kann, das noch von diesem Filter zusammenhanglos ist. Im Fall von Algebra, die nicht posets sind, verwendet man verschiedene Unterbauten statt Filter. Wie man wirklich bekannt, sind viele Formen dieser Lehrsätze gleichwertig, so dass die Behauptung, dass "GRUBE" hält, gewöhnlich als die Behauptung genommen wird, dass die entsprechende Behauptung für Algebra von Boolean (BPI) gültig ist.

Eine andere Schwankung von ähnlichen Lehrsätzen wird durch das Ersetzen jedes Ereignisses des Hauptideales durch das maximale Ideal erhalten. Die entsprechenden maximalen idealen Lehrsätze (MIT) sind häufig — obwohl nicht immer — stärker als ihre GRUBE-Entsprechungen.

Boolean idealer Hauptlehrsatz

Der Boolean ideale Hauptlehrsatz ist der starke ideale Hauptlehrsatz für Algebra von Boolean. So ist die formelle Behauptung:

: Lassen Sie B eine Algebra von Boolean sein, mich ein Ideal sein lassen und F ein Filter von B, solch sein lassen, dass ich und F zusammenhanglos sind. Dann werde ich in einem Hauptideal von B enthalten, der von F zusammenhanglos ist.

Der schwache ideale Hauptlehrsatz für Algebra von Boolean setzt einfach fest:

: Jede Boolean Algebra enthält ein Hauptideal.

Wir kennzeichnen diese Behauptungen als der schwache und starke BPI. Die zwei sind gleichwertig, weil der starke BPI klar den schwachen BPI einbezieht, und die Rückimplikation durch das Verwenden des schwachen BPI erreicht werden kann, um Hauptideale in der passenden Quotient-Algebra zu finden.

Der BPI kann auf verschiedene Weisen ausgedrückt werden. Rufen Sie für diesen Zweck den folgenden Lehrsatz zurück:

Für jedes Ideal I einer Algebra von Boolean B ist der folgende gleichwertig:

• Ich bin ein Hauptideal.
• Ich bin ein maximales richtiges Ideal, d. h. für jedes richtige Ideal J, wenn ich in J dann ich = J enthalten werde.
• Für jedes Element B enthalte ich genau einen {a, ¬}.

Dieser Lehrsatz ist eine wohl bekannte Tatsache für Algebra von Boolean. Sein Doppel-gründet die Gleichwertigkeit von Hauptfiltern und Ultrafiltern. Bemerken Sie, dass das letzte Eigentum tatsächlich — nur die vorherige Annahme Selbstdoppel-ist, dass ich ein Ideal bin, gibt die volle Charakterisierung. Es lohnt sich zu erwähnen, dass alle Implikationen innerhalb dieses Lehrsatzes in der klassischen Zermelo-Fraenkel Mengenlehre bewiesen werden können.

So ist der folgende (starke) maximale ideale Lehrsatz (MIT) für Algebra von Boolean zu BPI gleichwertig:

:Let B, eine Algebra von Boolean sein, lassen Sie mich ein Ideal sein und F ein Filter von B, solch sein zu lassen, dass ich und F zusammenhanglos sind. Dann werde ich in einem maximalen Ideal von B enthalten, der von F zusammenhanglos ist.

Bemerken Sie, dass man "globalen" maximality, nicht nur maximality in Bezug darauf verlangt, zusammenhanglos von F zu sein. Und doch gibt diese Schwankung eine andere gleichwertige Charakterisierung von BPI nach:

:Let B, eine Algebra von Boolean sein, lassen Sie mich ein Ideal sein und F ein Filter von B, solch sein zu lassen, dass ich und F zusammenhanglos sind. Dann werde ich in einem Ideal von B enthalten, der unter allen von F zusammenhanglosen Idealen maximal ist.

Die Tatsache, dass diese Behauptung zu BPI gleichwertig ist, wird durch die Anmerkung des folgenden Lehrsatzes leicht gegründet: Für jedes verteilende Gitter L, wenn ein Ideal ich unter allen Idealen von L maximal bin, die zu einem gegebenen Filter F dann zusammenhanglos sind, bin ich ein Hauptideal. Der Beweis für diese Behauptung (der wieder in der ZF Mengenlehre ausgeführt werden kann) wird in den Artikel über Ideale eingeschlossen. Da jede Algebra von Boolean ein verteilendes Gitter ist, zeigt das die gewünschte Implikation.

Wie man

jetzt leicht sieht, sind alle obengenannten Behauptungen gleichwertig. Noch weiter gehend, kann man die Tatsache ausnutzen die Doppelordnungen von Algebra von Boolean sind genau die Algebra von Boolean selbst. Folglich, wenn man den gleichwertigen duals aller ehemaligen Behauptungen nimmt, endet man mit mehreren Lehrsätzen, die ebenso für Algebra von Boolean gelten, aber wo jedes Ereignis des Ideales durch den Filter ersetzt wird. Es lohnt sich zu bemerken, dass für den speziellen Fall, wo die Algebra von Boolean unter der Rücksicht ein powerset mit der Teilmenge-Einrichtung ist, der "maximale Filterlehrsatz" das Ultrafilterlemma genannt wird.

Das Summieren, für Algebra von Boolean, den schwachen und starken MIT, die schwache und starke GRUBE und diese Behauptungen mit Filtern im Platz von Idealen ist die ganze Entsprechung. Es ist bekannt, dass alle diese Behauptungen Folgen des Axioms der Wahl, AC sind, (der leichte Beweis macht vom Lemma von Zorn Gebrauch), aber kann in ZF nicht bewiesen werden (Zermelo-Fraenkel Mengenlehre ohne AC), wenn ZF entspricht. Und doch ist der BPI ausschließlich schwächer als das Axiom der Wahl, obwohl der Beweis dieser Behauptung, wegen J. D. Halperns und Azriel Levys ziemlich nichttrivial ist.

Weiter ideale Hauptlehrsätze

Die archetypischen Eigenschaften, die für Algebra von Boolean in der obengenannten Abteilung besprochen wurden, können leicht modifiziert werden, um allgemeinere Gitter, wie verteilende Gitter oder Algebra von Heyting einzuschließen. Jedoch in diesen Fällen sind maximale Ideale von Hauptidealen verschieden, und die Beziehung zwischen GRUBEN und MITs ist nicht offensichtlich.

Tatsächlich stellt es sich heraus, dass die MITs für verteilende Gitter und sogar für Algebra von Heyting zum Axiom der Wahl gleichwertig sind. Andererseits ist es bekannt, dass die starke GRUBE für verteilende Gitter zu BPI (d. h. zum MIT und der GRUBE für Algebra von Boolean) gleichwertig ist. Folglich ist diese Behauptung ausschließlich schwächer als das Axiom der Wahl. Bemerken Sie außerdem, dass Algebra von Heyting nicht selbst Doppel-sind, und so das Verwenden von Filtern im Platz von Idealen verschiedene Lehrsätze in dieser Einstellung nachgibt. Vielleicht überraschend ist der MIT für den duals von Algebra von Heyting nicht stärker als BPI, der in der scharfen Unähnlichkeit zum oben erwähnten MIT für Algebra von Heyting ist.

Schließlich bestehen ideale Hauptlehrsätze auch für anderen (nicht mit der Ordnung theoretisch) abstrakte Algebra. Zum Beispiel bezieht der MIT für Ringe das Axiom der Wahl ein. Diese Situation verlangt, um den mit der Ordnung theoretischen Begriff "Filter" durch andere Konzepte — für Ringe "multiplicatively zu ersetzen, geschlossene Teilmenge" ist passend.

Das Ultrafilterlemma

Ein Filter auf einem Satz X ist eine Sammlung von nichtleeren Teilmengen X, der unter der begrenzten Kreuzung und unter der Obermenge geschlossen wird. Ein Ultrafilter ist ein maximaler Filter. Das Ultrafilterlemma stellt fest, dass jeder Filter auf einem Satz X eine Teilmenge von einem Ultrafilter auf X (ein maximaler Filter von nichtleeren Teilmengen X) ist. Dieses Lemma wird meistenteils in der Studie der Topologie verwendet. Ein Ultrafilter, der begrenzte Sätze nicht enthält, wird nichthauptsächlich genannt. Die Existenz von Nichthauptultrafiltern ist wegen Tarskis 1930.

Das Ultrafilterlemma ist zu Boolean idealer Hauptlehrsatz mit der Gleichwertigkeit gleichwertig, die in der ZF Mengenlehre ohne das Axiom der Wahl nachweisbar ist. Die Idee hinter dem Beweis besteht darin, dass die Teilmengen jedes Satzes eine Algebra von Boolean bilden, die teilweise durch die Einschließung bestellt ist, und jede Algebra von Boolean als eine Algebra von Sätzen durch den Darstellungslehrsatz des Steins wiederpräsentabel ist.

Anwendungen

Intuitiv, Boolean idealer Hauptlehrsatz stellt fest, dass es "genug" Hauptideale in einer Algebra von Boolean im Sinn gibt, dass wir jedes Ideal zu einem maximalen erweitern können. Das ist von praktischer Wichtigkeit, um den Darstellungslehrsatz des Steins für Algebra von Boolean, einen speziellen Fall der Steindualität zu beweisen, in der den Satz aller Hauptideale mit einer bestimmten Topologie ausstattet und tatsächlich die ursprüngliche Algebra von Boolean (bis zum Isomorphismus) davon Daten wiedergewinnen kann. Außerdem stellt es sich heraus, dass in Anwendungen man frei beschließen kann, entweder mit Hauptidealen oder mit Hauptfiltern zu arbeiten, weil jedes Ideal einzigartig einen Filter bestimmt: der Satz aller Ergänzungen von Boolean seiner Elemente. Beide Annäherungen werden in der Literatur gefunden.

Viele andere Lehrsätze der allgemeinen Topologie, die sich wie man häufig sagt, auf das Axiom der Wahl verlassen, sind tatsächlich zu BPI gleichwertig. Zum Beispiel ist der Lehrsatz, dass ein Produkt von Kompakträumen von Hausdorff kompakt ist, dazu gleichwertig. Wenn wir "Hausdorff" auslassen, bekommen wir einen zum vollen Axiom der Wahl gleichwertigen Lehrsatz.

Eine nicht zu weithin bekannte Anwendung von Boolean idealer Hauptlehrsatz ist die Existenz einer nichtmessbaren Menge (ist das gewöhnlich angeführte Beispiel der Satz von Vitali, der das Axiom der Wahl verlangt). Davon und der Tatsache, dass der BPI ausschließlich schwächer ist als das Axiom der Wahl, hieraus folgt dass die Existenz von nichtmessbaren Mengen ausschließlich schwächer ist als das Axiom der Wahl.

Siehe auch

• Liste von Algebra-Themen von Boolean

Referenzen

.

: Ein leichter, um Einführung zu lesen, die Gleichwertigkeit der GRUBE für Algebra von Boolean und verteilende Gitter zeigend.

.

: Die Theorie in diesem Buch verlangt häufig auserlesene Grundsätze. Die Zeichen auf verschiedenen Kapiteln besprechen die allgemeine Beziehung der Lehrsätze, um LÖCHER ZU BILDEN, und MIT für verschiedene Strukturen (obwohl größtenteils Gitter), und geben Sie Zeigestöcke zur weiteren Literatur.

.

: Bespricht den Status des Ultrafilterlemmas.

.

: Gibt viele gleichwertige Behauptungen für den BPI einschließlich idealer Hauptlehrsätze für andere algebraische Strukturen. GRUBEN werden als spezielle Beispiele von Trennungslemmata betrachtet.