Im mathematischen Feld der Mengenlehre ist ein Ultrafilter auf einem Satz X eine Sammlung von Teilmengen X, der ein Filter ist, der (als ein Filter) nicht vergrößert werden kann. Ein Ultrafilter kann als ein begrenzt zusätzliches Maß betrachtet werden. Dann wird jede Teilmenge X entweder "fast als alles" betrachtet (hat Maß 1), oder "fast nichts" (hat Maß 0). Wenn A eine Teilmenge X ist, dann ist entweder A oder X \A ein Element des Ultrafilters (hier X \A ist die Verhältnisergänzung in X; d. h. der Satz aller Elemente X, die nicht in A) sind. Das Konzept kann zu Algebra von Boolean oder sogar zu allgemeinen teilweisen Ordnungen verallgemeinert werden, und hat viele Anwendungen in der Mengenlehre, Mustertheorie und Topologie.

Formelle Definition

In Anbetracht eines Satzes X ist ein Ultrafilter auf X ein Satz U, aus Teilmengen X solch dass bestehend

1. Der leere Satz ist nicht ein Element von U
2. Wenn A und B Teilmengen X sind, ist A eine Teilmenge von B, und A ist ein Element von U, dann ist B auch ein Element von U.
3. Wenn A und B Elemente von U sind, dann auch ist die Kreuzung von A und B.
4. Wenn A eine Teilmenge X ist, dann ist entweder A oder X \A ein Element von U. (Zeichen: Axiome 1 und 3 deuten an, dass A und X \A Elemente von U. nicht beide sein kann)

Eine Charakterisierung wird durch den folgenden Lehrsatz gegeben.

Ein Filter U auf einem Satz X ist ein Ultrafilter, wenn einige der folgenden Bedingungen wahr ist:

1. Es gibt keinen Filter F feiner als U, d. h. bezieht U = F ein.
2. bezieht ein oder.
3. oder.

Eine andere Weise, auf Ultrafilter auf einem Satz X zu schauen, soll eine Funktion M auf dem Macht-Satz X durch das Setzen der M (A) = 1 definieren, wenn A ein Element von U und M (A) = 0 sonst ist. Dann ist M ein begrenzt zusätzliches Maß auf X, und jedes Eigentum von Elementen X ist fast überall entweder wahr oder fast überall falsch. Bemerken Sie, dass das kein Maß im üblichen Sinn definiert, der erforderlich ist, zählbar zusätzlich zu sein.

Für einen Filter F, der nicht ein Ultrafilter ist, würde man M (A) = 1 wenn Ein  F und M (A) = 0 wenn X \Ein  F sagen, M unbestimmt anderswohin verlassend.

Vollständigkeit

Die Vollständigkeit eines Ultrafilters U auf einem Satz ist der kleinste grundsätzliche solcher κ, dass es κ Elemente von U gibt, dessen Kreuzung nicht in U ist. Die Definition deutet an, dass die Vollständigkeit jedes Ultrafilters mindestens ist. Ein Ultrafilter, dessen Vollständigkeit größer ist als — d. h. die Kreuzung jeder zählbaren Sammlung von Elementen von U, ist noch in U — wird zählbar abgeschlossen oder - abgeschlossen genannt.

Die Vollständigkeit eines zählbar ganzen Nichthauptultrafilters auf einem Satz ist immer ein messbarer Kardinal.

Generalisation zu teilweisen Ordnungen

In der Ordnungstheorie ist ein Ultrafilter eine Teilmenge eines teilweise bestellten Satzes (ein poset), der unter allen richtigen Filtern maximal ist. Formell stellt das fest, dass jeder Filter, der richtig einen Ultrafilter enthält, dem ganzen poset gleich sein muss. Ein wichtiger spezieller Fall des Konzepts kommt vor, wenn der überlegte poset eine Algebra von Boolean, als im Fall von einem Ultrafilter auf einem Satz (definiert als ein Filter des entsprechenden powerset) ist. In diesem Fall werden Ultrafilter dadurch charakterisiert, für jedes Element der Algebra von Boolean, genau eines der Elemente a und ¬ (das letzte Wesen die Ergänzung von Boolean von a) zu enthalten.

Ultrafilter auf einer Algebra von Boolean können mit Hauptidealen, maximalen Idealen und Homomorphismus zu identifiziert werden

die 2-Elemente-Algebra von Boolean {wahr, falsch}, wie folgt:

• Maximale Ideale einer Algebra von Boolean sind dasselbe als Hauptideale.
• In Anbetracht eines Homomorphismus einer Algebra von Boolean auf {wahr, falsch} ist das umgekehrte Image von "wahren" ein Ultrafilter, und das umgekehrte Image von "falschen" ist ein maximales Ideal.
• In Anbetracht eines maximalen Ideales einer Algebra von Boolean ist seine Ergänzung ein Ultrafilter, und es gibt einen einzigartigen Homomorphismus auf {wahr, falsch} Einnahme des maximalen Ideales zum "falschen".
• In Anbetracht eines Ultrafilters einer Algebra von Boolean ist seine Ergänzung ein maximales Ideal, und es gibt einen einzigartigen Homomorphismus auf {wahr, falsch} Einnahme des Ultrafilters zum "wahren".

Lassen Sie uns einen anderen Lehrsatz sehen, der für die Definition des Konzepts "des Ultrafilters" verwendet werden konnte. Lassen Sie B eine Algebra von Boolean und F ein richtiger Filter darin anzeigen. F ist ein Ultrafilter iff:

:for alle, wenn, dann oder

(Um Verwirrung zu vermeiden: Das Zeichen zeigt die Verbindungslinie-Operation der Algebra von Boolean an, und logische Bindewörter werden durch englische Umschreibungen gemacht.) Sieh Details (und Beweis) darin.

Typen und Existenz von Ultrafiltern

Es gibt zwei sehr verschiedene Typen des Ultrafilters: hauptsächlich und frei. Ein Rektor (oder befestigt oder trivial) Ultrafilter ist ein Filter, der kleinstes Element enthält. Folglich sind Hauptultrafilter der Form F = {x | ein  x} für einige (aber nicht alle) Elemente des gegebenen poset. In diesem Fall zu sein, hat das Hauptelement des Ultrafilters genannt. Für den Fall von Filtern auf Sätzen sind die Elemente, die sich als Rektoren qualifizieren, genau die Ein-Element-Sätze. So besteht ein Hauptultrafilter auf einem Satz S aus allen Sätzen, die einen besonderen Punkt von S enthalten. Ein Ultrafilter auf einem begrenzten Satz ist hauptsächlich. Jeder Ultrafilter, der nicht hauptsächlich ist, wird einen freien (oder Nichtrektor) Ultrafilter genannt.

Bemerken Sie, dass ein Ultrafilter auf einem unendlichen Satz S nichthauptsächlich ist, wenn, und nur wenn er den Filter von Fréchet von cofinite Teilmengen von S enthält. Das ist offensichtlich, da ein Nichthauptultrafilter keinen begrenzten Satz enthält, bedeutet es, dass, durch die Einnahme von Ergänzungen, es alle cofinite Teilmengen von S enthält, der genau der Filter von Fréchet ist.

Man kann zeigen, dass jeder Filter einer Algebra von Boolean (oder mehr allgemein, jede Teilmenge mit dem begrenzten Kreuzungseigentum) in einem Ultrafilter enthalten wird (sieh Ultrafilterlemma), und dass freie Ultrafilter deshalb bestehen, aber die Beweise schließen das Axiom der Wahl in der Form des Lemmas von Zorn ein. Andererseits bezieht die Behauptung, dass jeder Filter in einem Ultrafilter enthalten wird, AC nicht ein. Tatsächlich ist es zum Boolean Idealen Hauptlehrsatz (BPIT), einem wohl bekannten Zwischenpunkt zwischen den Axiomen der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF) und der ZF Theorie gleichwertig, die durch das Axiom der Wahl (ZFC) vermehrt ist. Beweise, die das Axiom der Wahl einschließen, erzeugen ausführliche Beispiele von freien Ultrafiltern nicht. Dennoch sind fast alle Ultrafilter auf einem unendlichen Satz frei. Im Vergleich ist jeder Ultrafilter eines begrenzten poset (oder auf einem begrenzten Satz) hauptsächlich, da jeder begrenzte Filter kleinstes Element hat.

Anwendungen

Ultrafilter auf Sätzen sind in der Topologie, besonders in Bezug auf Kompakträume von Hausdorff, und in der Mustertheorie im Aufbau von Ultraprodukten und Ultramächten nützlich. Jeder Ultrafilter auf einem Kompaktraum von Hausdorff läuft zu genau einem Punkt zusammen. Ebenfalls sind Ultrafilter auf posets am wichtigsten, wenn der poset eine Algebra von Boolean ist, da in diesem Fall die Ultrafilter mit den Hauptfiltern zusammenfallen. Ultrafilter in dieser Form spielen eine Hauptrolle im Darstellungslehrsatz des Steins für Algebra von Boolean.

Der Satz G aller Ultrafilter eines poset P kann topologized auf eine natürliche Weise sein, die tatsächlich nah mit dem oben erwähnten Darstellungslehrsatz verbunden ist. Für jedes Element P, lassen Sie D = {U  G | ein  U}. Das ist am nützlichsten, wenn P wieder eine Algebra von Boolean ist, seitdem in dieser Situation ist der Satz des ganzen D eine Basis für eine Kompakttopologie von Hausdorff auf G. Besonders, wenn er die Ultrafilter auf einem Satz S (d. h. der Fall denkt, dass P der powerset von über die Teilmenge-Einschließung bestelltem S ist), ist der resultierende topologische Raum Stein-Čech compactification eines getrennten Raums von cardinality |S.

Der Ultraproduktaufbau in der Mustertheorie verwendet Ultrafilter, um elementare Erweiterungen von Strukturen zu erzeugen. Zum Beispiel, im Konstruieren hyperechter Zahlen als ein Ultraprodukt der reellen Zahlen, erweitern wir zuerst das Gebiet des Gesprächs von den reellen Zahlen bis Folgen von reellen Zahlen. Dieser Folge-Raum wird als eine Obermenge des reals betrachtet, indem er jeden identifiziert wird, der mit der entsprechenden unveränderlichen Folge echt ist. Die vertrauten Funktionen und Beziehungen (z.B, + und) zu erweitern.

Mihara (1997, 1999)

Shows, jedoch, sind solche Regeln praktisch vom beschränkten Interesse sozialen Wissenschaftlern, da sie nichtalgorithmisch oder nichtberechenbar sind.

Einrichtung auf Ultrafiltern

Rudin-Keisler Einrichtung ist eine Vorordnung auf der Klasse von Ultrafiltern definiert wie folgt: Wenn U ein Ultrafilter auf X, und V ein Ultrafilter auf Y ist, dann wenn, und nur wenn dort eine Funktion f besteht: X  Y solch dass

für jede Teilmenge C Y.

Ultrafilter U und V sind Rudin-Keisler Entsprechung, wenn dort Sätze, und eine Bijektion f bestehen: Ein  B, der die Bedingung oben befriedigt. (Wenn X und Y denselben cardinality haben, kann die Definition durch das Befestigen = X, B = Y. vereinfacht werden)

Es ist bekannt, dass das der Kern, d. h., wenn und nur wenn ist und.

Ultrafilter auf ω

Es gibt mehrere spezielle Eigenschaften, die ein Ultrafilter auf ω besitzen kann, die sich nützlich in verschiedenen Gebieten der Mengenlehre und Topologie erweisen.

• Ein Nichthauptultrafilter U ist ein P-Punkt (oder schwach auswählend) iff für jede Teilung von ω,

• Ein Nichthauptultrafilter U ist Ramsey (oder auswählend) iff für jede Teilung von ω,

Es ist eine triviale Beobachtung, dass alle Ultrafilter von Ramsey P-Punkte sind. Walter Rudin hat bewiesen, dass die Kontinuum-Hypothese die Existenz von Ultrafiltern von Ramsey einbezieht.

Tatsächlich beziehen viele Hypothesen die Existenz von Ultrafiltern von Ramsey einschließlich des Axioms von Martin ein. Saharon Shelah hat später gezeigt, dass er entspricht, dass es keine P-Punkt-Ultrafilter gibt.

Deshalb ist die Existenz dieser Typen von Ultrafiltern von ZFC unabhängig.

P-Punkte werden als solcher genannt, weil sie topologische P-Punkte in der üblichen Topologie des Raums von Nichthauptultrafiltern sind. Der Name Ramsey kommt aus dem Lehrsatz von Ramsey. Zu sehen, warum man beweisen kann, dass ein Ultrafilter Ramsey ist, wenn, und nur wenn für jeden 2-Färben-davon dort ein Element des Ultrafilters besteht, der eine homogene Farbe hat.

Ein Ultrafilter auf ω ist Ramsey, wenn, und nur wenn es im Rudin-Keisler Einrichtung von Nichthauptultrafiltern minimal ist.

Siehe auch

• Hyperreelle Zahl
• Universales Netz

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