In der Mathematik stellt der gut bestellende Grundsatz fest, dass jeder nichtleere Satz von positiven ganzen Zahlen ein kleinstes Element enthält.

Der Ausdruck "gut bestellender Grundsatz" wird manchmal genommen, um mit dem "gut bestellenden Lehrsatz" synonymisch zu sein. Bei anderen Gelegenheiten, wie man versteht, ist es der Vorschlag, dass der Satz von ganzen Zahlen {…, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …} eine gut bestellte Teilmenge, genannt die natürlichen Zahlen enthält, in denen jede nichtleere Teilmenge kleinstes Element enthält.

Je nachdem das Fachwerk, in dem die natürlichen Zahlen, das (die zweite Ordnung) Eigentum des Satzes von natürlichen Zahlen eingeführt werden, entweder ein Axiom oder ein nachweisbarer Lehrsatz ist. Zum Beispiel:

• In der Peano Arithmetik, der Arithmetik der zweiten Ordnung und den verwandten Systemen, und tatsächlich in meisten (nicht notwendigerweise formell) mathematische Behandlungen des gut bestellenden Grundsatzes, wird der Grundsatz aus dem Grundsatz der mathematischen Induktion abgeleitet, die selbst als grundlegend genommen wird.

• die natürlichen Zahlen als eine Teilmenge der reellen Zahlen betrachtet und annimmt, dass wir bereits wissen, dass die reellen Zahlen (wieder, entweder als ein Axiom oder als ein Lehrsatz über das System der reellen Zahl), d. h., jeder begrenzte abgeschlossen sind (von unten), hat Satz einen infimum, dann auch hat jeder Satz natürlicher Zahlen einen infimum, sagen Sie a. Wir können jetzt eine ganze Zahl n solch finden, dass Lügen im halb offenen Zwischenraum (n1, n], und kann dann zeigen, dass wir = n, und n in A. haben müssen
• In der axiomatischen Mengenlehre werden die natürlichen Zahlen als der kleinste induktive Satz definiert (d. h., gehen Sie unter, 0 und geschlossen unter der Nachfolger-Operation enthaltend). Man kann (sogar ohne das Regelmäßigkeitsaxiom anzurufen) zeigen, dass der Satz aller natürlichen Zahlen n solch, dass "{0, …, n} gut bestellt wird", induktiv ist, und deshalb alle natürlichen Zahlen enthalten muss; von diesem Eigentum kann man beschließen, dass der Satz aller natürlichen Zahlen auch gut bestellt wird.

Im zweiten Sinn wird der Ausdruck verwendet, wenn auf diesen Vorschlag zum Zweck verlassen wird, Beweise zu rechtfertigen, die die folgende Form annehmen: Um zu beweisen, dass jede natürliche Zahl einem angegebenen Satz S gehört, nehmen Sie das Gegenteil an und leiten Sie die Existenz eines kleinsten (nichtnull)-Gegenbeispiels ab. Dann zeigen Sie, entweder dass es ein noch kleineres Gegenbeispiel geben muss, oder dass das kleinste Gegenbeispiel nicht ein Gegenbeispiel ist, einen Widerspruch erzeugend. Diese Weise des Arguments trägt dieselbe Beziehung zum Beweis durch die mathematische Induktion, die "Wenn nicht B dann nicht" (der Stil des Modus tollens) zu "Wenn dann B" (der Stil des Modus ponens) trägt. Es ist fröhlich als die "minimale kriminelle" Methode bekannt und ist in seiner Natur der Methode von Fermat des "unendlichen Abstiegs" ähnlich.

Garrett Birkhoff und Saunders Mac Lane haben in Einem Überblick über die Moderne Algebra geschrieben, dass dieses Eigentum, wie das am wenigsten obere bestimmte Axiom für reelle Zahlen, nichtalgebraisch ist; d. h. es kann aus den algebraischen Eigenschaften der ganzen Zahlen nicht abgeleitet werden (die ein bestelltes integriertes Gebiet bilden).