Funktionelle Integration ist eine Sammlung dessen läuft auf Mathematik und Physik hinaus, wo das Gebiet eines Integrals nicht mehr ein Gebiet des Raums, aber eines Raums von Funktionen ist. Funktionelle Integrale entstehen in der Wahrscheinlichkeit, in der Studie von teilweisen Differenzialgleichungen und in der Annäherung von Feynman an die Quant-Mechanik von Partikeln und Feldern.

In einem gewöhnlichen Integral gibt es eine Funktion - integrand-und ein Gebiet des Raums integriert zu werden, über den man die Funktion - das Gebiet der Integration integriert. Der Prozess der Integration besteht daraus, die Werte des integrand an jedem Punkt des Gebiets der Integration hinzuzufügen. Das Bilden dieses strengen Verfahrens verlangt ein Begrenzungsverfahren, wo das Gebiet der Integration in kleinere und kleinere Gebiete geteilt wird. Für jedes kleine Gebiet kann sich der Wert des integrand nicht viel ändern, so kann es durch einen einzelnen Wert ersetzt werden. In einem funktionellen Integral ist das Gebiet der Integration ein Raum von Funktionen. Für jede Funktion gibt der integrand einen Wert zurück, um zu stimmen. Das Bilden dieses Verfahrens strenge Pose-Herausforderungen, die das Thema der Forschung am Anfang des 21. Jahrhunderts sind.

Funktionelle Integration wurde von P. J. Daniell in einer Zeitung von 1919 und Wiener in einer Reihe von Studien entwickelt, die in seinen Papieren von 1921 auf der Brownschen Bewegung kulminieren. Sie haben eine strenge Methode - jetzt bekannt als das Maß von Wiener entwickelt - für eine Wahrscheinlichkeit einem zufälligen Pfad einer Partikel zuzuteilen. Feynman hat ein anderes funktionelles Integral, der Pfad entwickelt, der integriert, nützlich ist, für die Quant-Eigenschaften von Systemen zu schätzen. Im integrierten Pfad von Feynman wird der klassische Begriff einer einzigartigen Schussbahn für eine Partikel durch eine unendliche Summe von klassischen Pfaden, jeder beschwert verschieden gemäß seinen klassischen Eigenschaften ersetzt.

Funktionelle Integration ist zu quantization Techniken in der theoretischen Physik zentral. Die algebraischen Eigenschaften von funktionellen Integralen werden verwendet, um sich zu entwickeln, Reihe hat gepflegt, Eigenschaften in der Quant-Elektrodynamik und dem Standardmodell zu berechnen.

Funktionelle Integration

Wohingegen normale Integration eine Funktion, f (x), über einen dauernden Wertbereich von x summiert, summiert funktionelle Integration einen funktionellen, G [f], über eine dauernde Reihe von Funktionen, f. Die meisten funktionellen Integrale können genau nicht gelöst werden, aber müssen mit Unruhe-Methoden gelöst werden. Die formelle Definition ist:

:

\int {G [f] [Df]} \equiv \int\limits_ {-\infty} ^\\infty {... \int\limits_ {-\infty} ^\\infty {G [f]} }\\prod_x df (x)

</Mathematik>

Jedoch in den meisten Fällen können die Funktionen f (x) in Bezug auf eine unendliche Reihe von orthogonalen Funktionen solcher als geschrieben werden, und dann wird die Definition:

:

\int {G [f] [Df]} \equiv \int\limits_ {-\infty} ^\\infty {... \int\limits_ {-\infty} ^\\infty {G (f_1, f_2..)} }\\prod_n df_n

</Mathematik>

der ein bisschen verständlicher ist. Wie man zeigt, ist das Integral ein funktionelles Integral mit einem Kapital D. Manchmal wird es in eckigen Klammern [Df] oder D [f] geschrieben, um anzuzeigen, dass f eine Funktion ist.

Beispiele

Die meisten funktionellen Integrale sind wirklich unendlich, aber der Quotient von zwei funktionellen Integralen kann begrenzt sein. Die funktionellen Integrale, die genau gewöhnlich Anfang mit folgendem integriertem Gaussian gelöst werden können:

:

\frac {\

\int {e^ {ich \int {-\frac {1} {2} f (x).K (x, y).f (y) dxdy} + \int {J (x).f (x) dx}} [Df] }\

}\{\

\int {e^ {ich \int {-\frac {1} {2} f (x).K (x, y).f (y) dxdy}} [Df] }\

}

e^ {ich \frac {1} {2 }\\interne Nummer {J (x).K^ {-1} (x, y).J (y) dxdy} }\

</Mathematik>

Durch das funktionelle Unterscheiden davon in Bezug auf J (x) und dann das Setzen J zu 0 wird das ein Exponential-, der mit einem Polynom in f multipliziert ist. Zum Beispiel das Setzen finden wir:

:\frac {\

\int {f (a) f (b) e^ {ich \int {f (x) \Box f (x) dx^4}}} [Df]

} {\

\int {e^ {ich \int {f (x) \Box f (x) dx^4}}} [Df]

}\

K^ {-1} (a, b)

\frac {1} a-b |^2 }\

</Mathematik>

wo a, b und x 4-dimensionale Vektoren sind. Das kommt aus der Formel für die Fortpflanzung eines Fotons in der Quant-Elektrodynamik. Ein anderes nützliches Integral ist die funktionelle Delta-Funktion:

:

\int {e^ {ich \int {f (x) g (x) dx}}} [Df] = \delta [g] = \prod_x\delta (g (x))

</Mathematik>

der nützlich ist, um Einschränkungen anzugeben. Funktionelle Integrale können auch über GeGrassmann-schätzte Funktionen wo getan werden, der in der Quant-Elektrodynamik für Berechnungen nützlich ist, die fermions verbunden sind.

In der symbolischen Algebra-Software

Die meisten symbolischen Algebra-Pakete wie Maple oder Mathematica unterstützen funktionell (Pfad) Integration als Standard nicht, obwohl zusätzliche Pakete für sie gebaut werden können.

Annäherungen an Pfad-Integrale

Funktionelle Integrale, wo der Raum der Integration Pfade sind (ν = 1) können auf viele verschiedene Weisen definiert werden. Die Definitionen fallen in zwei verschiedenen Klassen: Die Aufbauten sind auf den Theorie-Ertrag von Wiener ein auf einem Maß gestütztes Integral zurückzuführen gewesen; wohingegen die Aufbauten im Anschluss an den integrierten Pfad von Feynman nicht tun. Sogar innerhalb dieser zwei breiten Abteilungen sind die Integrale nicht identisch, d. h. sie werden für verschiedene Klassen von Funktionen definiert.

Das Wiener Integral

In integriertem Wiener wird eine Wahrscheinlichkeit einer Klasse von Pfaden der Brownschen Bewegung zugeteilt. Die Klasse besteht aus den Pfaden w, die, wie man bekannt, ein kleines Gebiet des Raums zu einem festgelegten Zeitpunkt durchgehen. Der Durchgang durch verschiedene Gebiete des Raums wird unabhängig von einander angenommen, und, wie man annimmt, ist die Entfernung zwischen irgendwelchen zwei Punkten des Pfads von Brownian Gaussian, der mit einer Abweichung verteilt ist, die von der Zeit t und auf einer Verbreitung unveränderlicher D abhängt:

:

Die Wahrscheinlichkeit für die Klasse von Pfaden kann durch das Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten des Startens in einem Gebiet gefunden werden und dann am folgenden zu sein. Das Wiener-Maß kann durch das Betrachten der Grenze von vielen kleinen Gebieten entwickelt werden.

• Ito und Rechnung von Stratonovich

Das Feynman Integral

• Traber-Formel
• Die Kac Idee von Docht-Folgen.
• Das Verwenden x Punktpunkt hat übereingestimmt oder ich S [x] + x-dot-squared.
• Der Cartier DeWitt-Morette verlässt sich auf Integratoren aber nicht misst

Das Lévy Integral

• Bruchquant-Mechanik
• Bruchgleichung von Schrödinger
• Lévy bearbeiten
• Statistische Bruchmechanik

Siehe auch

• Pfad von Feynman integrierter
• Teilungsfunktion (Quant-Feldtheorie)

Weiterführende Literatur

• Kleinert, Hagen, Pfad-Integrale in Quant-Mechanik, Statistik, Polymer-Physik, und Finanzmärkten, 4. Ausgabe, Welt Wissenschaftlich (Singapur, 2004); internationale Paperback-Standardbuchnummer 981-238-107-4 (auch verfügbar online: PDF-Dateien)
• Nick Laskin, (2000), "Bruchquant-Mechanik," Physische Rezension E62: 3135-3145. Bruchquant-Mechanik
• Nick Laskin, (2002), "Bruchgleichung von Schrödinger," Physische Rezension E66: 056108 [7 Seiten]. Bruchgleichung von Schrödinger
• O.G. Smolyanov, E.T.Shavgulidze. Сontinual-Integrale. Moskau, Moskauer Presse der Staatlichen Universität, 1990. (in Russisch). http://lib.mexmat.ru/books/5132