In der geradlinigen Algebra ist die Regierung von Cramer ein Lehrsatz, der einen Ausdruck für die Lösung eines Systems von geradlinigen Gleichungen mit so vielen Gleichungen gibt wie unknowns, gültig in jenen Fällen, wo es eine einzigartige Lösung gibt. Die Lösung wird in Bezug auf die Determinanten der (quadratischen) mitwirkenden Matrix und dabei erhaltenen matrices durch das Ersetzen einer Säule durch den Vektoren von rechten Seiten der Gleichungen ausgedrückt. Es wird nach Gabriel Cramer (1704-1752) genannt, wer einen Beweis der allgemeinen Regel in seinem 1750-Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (Einführung in die Analyse von algebraischen Kurven) veröffentlicht hat, obwohl Colin Maclaurin auch spezielle Fälle der Methode in seiner 1748-Abhandlung der Algebra veröffentlicht hat (und hat wahrscheinlich von der Methode schon in 1729 gewusst).

Allgemeiner Fall

Betrachten Sie ein System von n geradlinigen Gleichungen für n unknowns, als vertreten in der Matrixmultiplikationsform wie folgt:

wo der n durch die n Matrix eine Nichtnulldeterminante hat, und der Vektor der Spaltenvektor der Variablen ist.

Dann stellt der Lehrsatz fest, dass in diesem Fall das System eine einzigartige Lösung hat, durch deren individuelle Werte für den unknowns gegeben wird:

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wo die gebildete Matrix durch das Ersetzen der ith Säule durch den Spaltenvektor ist.

Die Regel hält für Gleichungssysteme mit Koeffizienten und unknowns in jedem Feld nicht nur in den reellen Zahlen. Es ist kürzlich gezeigt worden, dass die Regierung von Cramer in O (n) Zeit durchgeführt werden kann, die mit mehr üblicher Methodik vergleichbar ist, Systeme von geradlinigen Gleichungen wie Beseitigung von Gaussian zu lösen.

Beweis

Der Beweis für die Regierung von Cramer verwendet gerade zwei Eigenschaften von Determinanten: Die Linearität in Bezug auf jede gegebene Säule (für diese Säule nehmend, erzeugt eine geradlinige Kombination von Spaltenvektoren als Determinante die entsprechende geradlinige Kombination ihrer Determinanten), und die Tatsache, dass die Determinante Null ist, wann auch immer zwei Säulen gleich sind (wechselt die Determinante in den Säulen ab).

Befestigen Sie den Index j einer Säule. Linearität bedeutet, dass, wenn wir nur Spalte j als Variable (Befestigen von anderen willkürlich), die resultierende Funktion denken (das Annehmen von Matrixeinträgen sind in R), durch eine Matrix, mit einer Reihe und n Säulen gegeben werden kann. Tatsächlich ist das genau, was Vergrößerung von Laplace tut, für bestimmte Koeffizienten C, …, C schreibend, die von den Säulen von anderem abhängen als Spalte j (der genaue Ausdruck für diese cofactors ist hier nicht wichtig). Der Wert det (A) ist dann das Ergebnis, die Fachmatrix auf die Spalte j von A anzuwenden. Wenn auf eine andere Spalte k von A angewandt wird, dann ist das Ergebnis die Determinante der Matrix, die bei durch das Ersetzen der Spalte j durch eine Kopie der Spalte k erhalten ist, die 0 (der Fall von zwei gleichen Säulen) ist.

Denken Sie jetzt ein System von n geradlinigen Gleichungen in n unknowns, dessen mitwirkende Matrix A, mit det (A) angenommen ist, Nichtnull zu sein:

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Wenn man diese Gleichungen verbindet, indem man C Zeiten die erste Gleichung, plus C Zeiten das zweite, und so weiter bis C Zeiten das letzte nimmt, dann wird der Koeffizient von x werden, während die Koeffizienten ganzen anderen unknowns 0 werden; die linke Seite wird einfach det (A) x. Die rechte Seite ist, der auf den Spaltenvektor b der rechten Seiten b angewandt wird. Tatsächlich, was getan worden ist, ist hier multiplizieren die Matrixgleichung links damit. Wenn man sich durch die Nichtnullzahl det (A) teilt, findet man, dass die folgende Gleichung, notwendig das System befriedigt:

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Aber durch den Aufbau ist der Zähler Determinante der Matrix, die bei durch das Ersetzen der Spalte j durch b erhalten ist, so bekommen wir den Ausdruck der Regel von Cramers als notwendige Bedingung für eine Lösung. Dasselbe Verfahren kann für andere Werte von j wiederholt werden, um Werte für den anderen unknowns zu finden.

Der einzige Punkt, der sich erweisen muss, ist, dass diese Werte für den unknowns, die einzigen möglichen, wirklich tatsächlich eine Lösung zusammen bilden. Aber wenn die Matrix A invertible mit dem Gegenteil A ist, dann eine Lösung sein wird, so seine Existenz zeigend. Um zu sehen, dass A invertible ist, wenn det (A) Nichtnull ist, denken Sie, dass der n durch die n MatrixM durch das Stapeln des Fachmatrices aufeinander für j = 1, 2, …, n vorgeherrscht hat (das gibt die adjugate Matrix für A). Es wurde das gezeigt, wo an der Position j erscheint; davon hieraus folgt dass. Deshalb

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Vollendung des Beweises.

Entdeckung umgekehrter Matrix

Lassen Sie A n×n Matrix sein. Dann

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wo Adjektiv (A) anzeigt, dass die adjugate Matrix von A det (A) die Determinante ist, und ich die Identitätsmatrix bin. Wenn det (A) invertible in R ist, dann ist die umgekehrte Matrix von A

:

Wenn R ein Feld ist (wie das Feld von reellen Zahlen), dann gibt das eine Formel für das Gegenteil von A, hat det (A)  0 zur Verfügung gestellt. Tatsächlich wird diese Formel arbeiten, wann auch immer R ein Ersatzring ist, vorausgesetzt, dass det (A) eine Einheit ist. Wenn det (A) nicht eine Einheit ist, dann ist A nicht invertible.

Anwendungen

Ausführliche Formeln für kleine Systeme

Denken Sie das geradlinige System, das im Matrixformat ist

Nehmen Sie Nichtnull der Anzeige-bc an. Dann kann x und y mit der Regierung von Cramer als gefunden werden

:und:

Die Regeln für 3×3 sind ähnlich. Gegeben, der im Matrixformat ist.

Dann können die Werte von x, y und z wie folgt gefunden werden:

:

Differenzialgeometrie

Die Regierung von Cramer ist auch äußerst nützlich, um Probleme in der Differenzialgeometrie zu beheben. Denken Sie die zwei Gleichungen und. Wenn u und v unabhängige Variablen sind, können wir definieren und

Die Entdeckung einer Gleichung dafür ist eine triviale Anwendung der Regierung von Cramer.

Berechnen Sie erstens die ersten Ableitungen von F, G, x, und y:

::::

dx, dy in dF und dG vertretend, haben wir:

::

Seitdem u sind v beide unabhängig, die Koeffizienten von du, dv müssen Null sein. So können wir Gleichungen für die Koeffizienten ausschreiben:

::::

Jetzt, durch die Regierung von Cramer, sehen wir dass:

:

\frac {\\teilweise x\beginnen {\\teilweise u\= \frac {\\{vmatrix}-\frac {\\teilweise F\{\\teilweise u\& \frac {\\teilweise F\{\\teilweise y\\\-\frac {\\teilweise G\{\\teilweise u\& \frac {\\teilweise G\{\\teilweiser y }\\Ende {vmatrix}} {\\beginnen {vmatrix }\\frac {\\teilweisen F} {\\teilweise x\& \frac {\\teilweise F\{\\teilweise y\\\\frac {\\teilweise G\{\\teilweise x\& \frac {\\teilweise G\{\\teilweiser y }\\Ende {vmatrix}}.

</Mathematik>

Das ist jetzt eine Formel in Bezug auf zwei Jacobians:

:

Ähnliche Formeln können für, abgeleitet werden

Programmierung der ganzen Zahl

Die Regierung von Cramer kann verwendet werden, um zu beweisen, dass ein Programmierproblem der ganzen Zahl, dessen Einschränkungsmatrix völlig unimodular ist, und dessen Rechte ganze Zahl ist, ganze Zahl grundlegende Lösungen hat. Das macht das Programm der ganzen Zahl wesentlich leichter zu lösen.

Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Die Regierung von Cramer wird verwendet, um die allgemeine Lösung einer inhomogeneous linearen Differenzialgleichung durch die Methode der Schwankung von Rahmen abzuleiten.

Geometrische Interpretation

Die Regierung von Cramer hat eine geometrische Interpretation, die auch als ein Beweis oder einfach das Geben der Scharfsinnigkeit über seine geometrische Natur betrachtet werden kann. Diese geometrischen Argumente arbeiten im Allgemeinen und nicht nur im Fall von zwei Gleichungen mit zwei unknowns präsentiert hier.

In Anbetracht des Gleichungssystems

:

es kann als eine Gleichung zwischen Vektoren betrachtet werden

:

Das Gebiet des Parallelogramms, das dadurch bestimmt ist, und wird durch die Determinante des Gleichungssystems gegeben:

:

Im Allgemeinen, wenn es mehr Variablen und Gleichungen gibt, wird die Determinante von Vektoren der Länge das Volumen des parallelepiped geben, der durch jene Vektoren im-th dimensionalen Euklidischen Raum bestimmt ist.

Deshalb muss das Gebiet des Parallelogramms, das dadurch bestimmt ist, und Zeiten das Gebiet des ersten sein, seitdem eine der Seiten mit diesem Faktor multipliziert worden ist.

Jetzt hat dieses letzte Parallelogramm, durch den Grundsatz von Cavalieri, den gemeinsamen Bereich als das Parallelogramm, das durch bestimmt ist und.

Die Gleichstellung der Gebiete davon dauert, und das zweite Parallelogramm gibt die Gleichung

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von dem die Regierung von Cramer folgt.

Unvereinbare und unbestimmte Fälle

Wie man

sagt, ist ein Gleichungssystem unvereinbar, wenn es keine Lösungen gibt und es unbestimmt genannt wird, wenn es mehr als eine Lösung gibt. Für geradlinige Gleichungen wird ein unbestimmtes System ungeheuer viele Lösungen haben (wenn es über ein unendliches Feld ist), da die Lösungen in Bezug auf einen oder mehr Rahmen ausgedrückt werden können, die willkürliche Werte nehmen können.

Die Regierung von Cramer gilt für den Fall, wo die mitwirkende Determinante Nichtnull ist. Im gegensätzlichen Fall ist das System entweder unvereinbar oder unbestimmt, auf den Werten der Determinanten nur für 2x2 Systeme gestützt.

Für 3x3 oder höhere Systeme das einzige Ding kann man sagen, wenn die mitwirkende Determinante gleich ist, ist Null: Wenn einige der "Zähler"-Determinanten Nichtnull ist, dann muss das System unvereinbar sein. Jedoch ist das gegenteilige falsch: Die ganze bestimmende Null zu haben, deutet nicht an, dass das System unbestimmt ist. Ein einfaches Beispiel, wo alle Determinanten verschwinden, aber das System ist noch unvereinbar, ist 3x3 System x+y+z=1, x+y+z=2, x+y+z=3.

Siehe auch

• Matrix

Referenzen

Links

• Beweis der Regierung von Cramer
• WebApp, beschreibend Systeme von geradlinigen Gleichungen mit der Regierung von Cramer lösend
• Online-Rechenmaschine des Systems von geradlinigen Gleichungen