Metamathematics ist die Studie der Mathematik selbst mit mathematischen Methoden. Diese Studie erzeugt metatheories, die mathematische Theorien über andere mathematische Theorien sind. Metamathematical metatheorems über die Mathematik selbst wurden von gewöhnlichen mathematischen Lehrsätzen im 19. Jahrhundert ursprünglich unterschieden, um sich zu konzentrieren, was dann die foundational Krise der Mathematik genannt wurde. Das Paradox von Richard (Richard 1905) bezüglich bestimmter 'Definitionen' von reellen Zahlen auf der englischen Sprache ist ein Beispiel der Sorte von Widersprüchen, die leicht vorkommen können, wenn man scheitert, zwischen Mathematik und metamathematics zu unterscheiden. Etwas Ähnliches kann um das Paradox des wohl bekannten Russells gesagt werden (Tut den Satz aller jener Sätze die beherrschen sich nicht, beherrschen sich?).

Der Begriff "metamathematics" wird manchmal als ein Synonym für bestimmte elementare Teile der formalen Logik, einschließlich der Satzlogik und Prädikat-Logik gebraucht.

Geschichte

Metamathematics wurde mit der mathematischen Logik vertraut verbunden, so dass die frühen Geschichten der zwei Felder, während der späten 19. und frühen 20. Jahrhunderte, größtenteils überlappen. Mehr kürzlich hat mathematische Logik häufig die Studie der neuen reinen Mathematik, wie Mengenlehre, recursion Theorie und reine Mustertheorie eingeschlossen, die nicht direkt mit metamathematics verbunden ist.

Ernstes metamathematical Nachdenken hat mit der Arbeit von Gottlob Frege, besonders seinem Begriffsschrift begonnen.

David Hilbert war erst, um den Begriff "metamathematics" mit der Regelmäßigkeit anzurufen (sieh das Programm von Hilbert). In seinen Händen hat es etwas Verwandtes mit der zeitgenössischen Probetheorie bedeutet, in der finitary Methoden verwendet werden, um verschiedene axiomatized mathematische Lehrsätze zu studieren.

Andere prominente Zahlen im Feld schließen Bertrand Russell, Thoralf Skolem, Emil Post, Kirche von Alonzo, Stephen Kleene, Willard Quine, Paul Benacerraf, Hilary Putnam, Gregory Chaitin, Alfred Tarski und Kurt Gödel ein. Insbesondere wohl sind das größte Zu-Stande-Bringen von metamathematics und die Philosophie der Mathematik bis heute der Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel: Beweis, der gegeben jede begrenzte Zahl von Axiomen für die Arithmetik von Peano, es wahre Behauptungen über diese Arithmetik geben wird, die von jenen Axiomen nicht bewiesen werden kann.

Meilensteine

• Principia Mathematica (Whitehead und Russell 1925)
• Der Vollständigkeitslehrsatz von Gödel, 1930
• Der Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel, 1931
• Die Definition von Tarski der mustertheoretischen Befriedigung, jetzt genannt das T-Diagramm
• Der Beweis der Unmöglichkeit von Entscheidungsproblem, erhalten unabhängig in 1936-1937 durch die Kirche und Turing.

Siehe auch

• Meta -
• Mustertheorie
• Philosophie der Mathematik
• Probetheorie
• W. J. Blok und Don Pigozzi, "die Arbeit von Alfred Tarski an General Metamathematics", Die Zeitschrift der Symbolischen Logik, v. 53, Nr. 1 (Mrz 1988), Seiten 36-50.
• I. J. Good. "Ein Zeichen auf dem Paradox von Richard". Meinung, Neue Reihe, Vol. 75, Nr. 299 (Juli 1966), p. 431. JStor
• Douglas Hofstadter, 1980. Gödel, Escher, Junggeselle. Weinlesebücher. Gerichtet auf laypeople.
• Stephen Cole Kleene, 1952. Einführung in Metamathematics. Das nördliche Holland. Gerichtet auf Mathematiker.
• Jules Richard, Les Principes des Mathématiques et le Problème des Ensembles, Revue Générale des Sciences Pures et Appliquées (1905); übersetzt im Kombi von Heijenoort J. (Hrsg.). Quellbuch in der Mathematischen Logik 1879-1931 (Cambridge, Massachusetts, 1964).
• Alfred North Whitehead und Bertrand Russell. Principia Mathematica, 3 vols, Universität von Cambridge Presse, 1910, 1912, und 1913. Die zweite Ausgabe, 1925 (Vol. 1), 1927 (Vols 2, 3). Gekürzt als Principia Mathematica zu *56, Universität von Cambridge Presse, 1962.