In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, wie man sagt, sind zwei reellwertige zufällige Variablen unkorreliert, wenn ihre Kovarianz Null ist. Eine Reihe werden zwei oder mehr zufällige Variablen unkorreliert genannt, wenn jedes Paar von ihnen unkorreliert ist.

Unkorrelierte zufällige Variablen haben einen Korrelationskoeffizienten der Null, außer im trivialen Fall, wenn jede Variable Nullabweichung hat (ist eine Konstante). In diesem Fall ist die Korrelation unbestimmt.

Im Allgemeinen ist Unkorreliertkeit nicht dasselbe als orthogonality, außer im speziellen Fall, wo entweder X oder Y einen erwarteten Wert von 0 hat. In diesem Fall ist die Kovarianz die Erwartung des Produktes, und X, und Y sind wenn und nur wenn E (XY) = 0 unkorreliert.

Wenn X und Y unabhängig sind, dann sind sie unkorreliert. Jedoch sind nicht alle unkorrelierten Variablen unabhängig. Zum Beispiel, wenn X eine dauernde zufällige Variable ist, die gleichförmig auf [−1, 1] und Y = X verteilt ist, dann X und Y sind unkorreliert, wenn auch X Y bestimmt und ein besonderer Wert von Y durch nur einen oder zwei Werte von X erzeugt werden kann.

Ein anderes Beispiel, um zu beweisen, dass unkorrelierte zufällige Variablen nicht notwendigerweise unabhängig

• Lassen Sie X eine zufällige Variable sein, die den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 nimmt, und den Wert 1 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 nimmt.
• Lassen Sie Z eine zufällige Variable sein, die den Wert-1 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 nimmt, und den Wert 1 mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 nimmt.
• Lassen Sie U eine zufällige als U=XZ gebaute Variable sein.

Der Anspruch besteht darin, dass U und X Nullkovarianz haben (und so unkorreliert sind), aber sind ziemlich abhängig.

Beweis:

Das erste Zeichen:

Jetzt, definitionsgemäß

Deshalb

Eine notwendige Bedingung, um zu zeigen, dass U und X unabhängig sind, zeigt das für jede Zahl a und b. Wir beweisen, dass das nicht wahr ist. Picken Sie a=1 und b=0 auf.

So so U und X sind ziemlich abhängig.

Q.E.D.

Wenn Unkorreliertkeit Unabhängigkeit einbezieht

Es gibt Fälle, in denen Unkorreliertkeit wirklich Unabhängigkeit einbezieht. Einer dieser Fälle ist, wenn beide zufälligen Variablen zwei geschätzt werden (der zum binomischen Vertrieb mit n=1 abnimmt). Sieh Binomial_distribution#Covariance_between_two_binomials für mehr Information. Weiter, zwei hat gemeinsam normalerweise zufällige Variablen verteilt sind unabhängig, wenn sie unkorreliert sind, obwohl das für Variablen nicht hält, deren Randvertrieb normal und unkorreliert ist, aber dessen gemeinsamer Vertrieb normal nicht gemeinsam ist: Sieh Normalerweise verteilt, und unkorreliert bezieht unabhängig nicht ein.

Siehe auch

• Korrelation und Abhängigkeit
• Galen R. Shorack, Wahrscheinlichkeit für Statistiker, Birkhäuser, 2000, p127.