In der mathematischen Physik, besonders wenn eingeführt in die statistische Mechanik und Thermodynamik durch J. Willard Gibbs 1878 ein Ensemble (auch statistisches Ensemble oder thermodynamisches Ensemble) eine Idealisierung ist, die aus einer Vielzahl von geistigen Kopien (manchmal ungeheuer viele) von einem System, betrachtet plötzlich besteht, von denen jeder einen möglichen Staat vertritt, in dem das echte System sein könnte. Dieser Artikel behandelt den Begriff von Ensembles auf eine mathematisch strenge Mode, obwohl relevante physische Aspekte erwähnt werden.

Physische Rücksichten

Das Ensemble formalisiert den Begriff, dass ein Physiker, der ein Experiment immer wieder unter denselben makroskopischen Bedingungen, aber unfähig wiederholt, die mikroskopischen Details zu kontrollieren, annehmen kann, eine Reihe von verschiedenen Ergebnissen zu beobachten.

Die begriffliche Größe der geistigen Ensembles in der Thermodynamik, der statistischen Mechanik und dem Quant statistische Mechanik kann tatsächlich sehr groß sein, um jeden möglichen mikroskopischen Staat das System einzuschließen, konnte in, im Einklang stehend mit seinen beobachteten makroskopischen Eigenschaften sein. Aber für wichtige physische Fälle kann es möglich sein, Durchschnitte direkt über den ganzen das thermodynamische Ensemble zu berechnen, ausführliche Formeln für viele der thermodynamischen Mengen von Interesse häufig in Bezug auf die passende Teilungsfunktion (sieh unten) zu erhalten. Einige dieser Ergebnisse werden im statistischen Mechanik-Artikel präsentiert.

Zeichen auf der Fachsprache

• Das Wort "Ensemble" wird auch für einen kleineren Satz von vom vollen Satz von möglichen Staaten probierten Möglichkeiten verwendet. Zum Beispiel wird eine Sammlung von Spaziergängern in einer Kette von Markov Wiederholung von Monte Carlo ein Ensemble in etwas Literatur genannt.
• Der Begriff "Ensemble" wird häufig in der Physik und Physik-beeinflussten Literatur gebraucht. In der Wahrscheinlichkeitstheorie-Literatur ist der Begriff-Wahrscheinlichkeitsraum mehr überwiegend.

Ensembles von klassischen mechanischen Systemen

Für ein Ensemble eines klassischen mechanischen Systems denkt man den Phase-Raum des gegebenen Systems. Eine Sammlung von Elementen vom Ensemble kann als ein Schwarm von vertretenden Punkten im Phase-Raum angesehen werden. Die statistischen Eigenschaften des Ensembles hängen dann von einem gewählten Wahrscheinlichkeitsmaß vom Phase-Raum ab. Wenn ein Gebiet des Phase-Raums größeres Maß hat als Gebiet B, dann wird ein System gewählt aufs Geratewohl aus dem Ensemble mit größerer Wahrscheinlichkeit in einem Mikrostaat sein, der gehört als B. Die Wahl dieses Maßes wird durch die spezifischen Details des Systems und der Annahmen diktiert, die man über das Ensemble im Allgemeinen macht. Zum Beispiel ist das Phase-Raummaß des mikrokanonischen Ensembles (sieh unten) von diesem des kanonischen Ensembles verschieden. Der Normalisieren-Faktor des Wahrscheinlichkeitsmaßes wird die Teilungsfunktion des Ensembles genannt. Physisch verschlüsselt die Teilungsfunktion die zu Grunde liegende physische Struktur des Systems.

Wenn das Maß zeitunabhängig ist, wie man sagt, ist das Ensemble stationär.

Hauptensembles der statistischen Thermodynamik

Verschiedene makroskopische Umwelteinschränkungen führen zu verschiedenen Typen von Ensembles mit besonderen statistischen Eigenschaften. Der folgende ist am wichtigsten:

• Mikrokanonisches Ensemble oder NVE Ensemble — ein Ensemble von Systemen, von denen jedes erforderlich, dieselbe Gesamtenergie zu haben (d. h. thermisch isoliert ist).

• Kanonisches Ensemble oder NVT Ensemble — ein Ensemble von Systemen, von denen jedes seine Energie mit einem großen Hitzereservoir teilen oder Bad heizen kann. Dem System wird erlaubt, Energie mit dem Reservoir auszutauschen, und, wie man annimmt, ist die Hitzekapazität des Reservoirs so groß, um eine feste Temperatur für das verbundene System aufrechtzuerhalten.

• Großartiges kanonisches Ensemble - ein Ensemble von Systemen, von denen jedes wieder im Thermokontakt mit einem Reservoir ist. Aber jetzt zusätzlich zur Energie gibt es auch Austausch von Partikeln. Wie man noch annimmt, wird die Temperatur befestigt.

Die Berechnungen, die über jedes dieser Ensembles gemacht werden können, werden weiter in der Mechanik des Artikels Statistical erforscht. Das Hauptergebnis für jedes Ensemble jedoch, ist seine charakteristische Zustandsfunktion:

Mikrokanonisch:

Kanonisch:

Großartig kanonisch:

Für diese Ensembles wird die Wahl für das passende Wahrscheinlichkeitsmaß durch die Ausdrücke oben diktiert.

Andere thermodynamische Ensembles können auch entsprechend verschiedenen physischen Voraussetzungen definiert werden, für die analoge Formeln häufig ähnlich abgeleitet werden können.

Eigenschaften von "guten" Ensembles

Die folgenden Eigenschaften werden wünschenswert für ein klassisches mechanisches Ensemble betrachtet.

• Vertretendkeit

Das gewählte Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Phase-Raum sollte ein Staat von Gibbs des Ensembles sein, d. h. es sollte invariant unter der Zeitevolution sein. Ein Standardbeispiel davon ist das natürliche Maß (lokal, es ist gerade das Maß von Lebesgue) auf einer unveränderlichen Energieoberfläche für ein klassisches mechanisches System. Der Lehrsatz von Liouville stellt fest, dass dieses Maß invariant unter dem Fluss von Hamiltonian ist.

• Ergodicity

Sobald ein Wahrscheinlichkeitsmaß μ auf dem Phase-Raum angegeben wird, kann man den Ensemble-Durchschnitt einer erkennbaren d. h. reellwertigen Funktion f definiert auf über dieses Maß durch definieren

:

wo wir auf jene observables eingeschränkt haben, die μ-integrable sind.

Lassen Sie andererseits zeigen einen vertretenden Punkt im Phase-Raum an, und sein Image unter dem Fluss sein, der durch das fragliche System, in der Zeit t angegeben ist. Der Zeitdurchschnitt von f wird definiert, um zu sein

:

vorausgesetzt, dass diese Grenze μ-almost überall besteht und dessen unabhängig ist.

Die ergodicity Voraussetzung ist, dass der Ensemble-Durchschnitt mit dem Zeitdurchschnitt zusammenfällt. Eine genügend Bedingung für ergodicity besteht darin, dass die Zeitevolution des Systems ein Mischen ist. (Siehe auch ergodic Hypothese.) Nicht alle Systeme sind ergodic. Zum Beispiel ist es in dieser Zeit unbekannt, ob klassische mechanische Flüsse auf einer unveränderlichen Energieoberfläche ergodic im Allgemeinen sind. Physisch, wenn ein System scheitert, ergodic zu sein, können wir ableiten, dass es mehr makroskopisch feststellbare Information gibt, die über den mikroskopischen Staat des Systems verfügbar ist als, was wir zuerst gedacht haben. Der Reihe nach kann das verwendet werden, um ein besser bedingtes Ensemble zu schaffen.

Ensembles im Quant statistische Mechanik

:

Im Augenblick die Frage dessen beiseite legend, wie statistische Ensembles betrieblich erzeugt werden, sollten wir im Stande sein, die folgenden zwei Operationen auf Ensembles A, B von demselben System durchzuführen:

• Test ob sind A, B statistisch gleichwertig.
• Wenn p eine solche reelle Zahl dass 0 ist. Entsprechend kann ein Strahl in einem Raum von Hilbert verwendet werden, um solch ein Ensemble in der Quant-Mechanik zu vertreten. Ein reines Ensemble entspricht viele Kopien von demselben (bis zu einer globalen Phase) Quant-Staat zu haben.
• Mischensembles sind in eine konvexe Kombination von verschiedenen Ensembles zerlegbar. Im Allgemeinen wird eine unendliche Zahl von verschiedenen Zergliederungen möglich sein.

So wird ein Quant mechanisches Ensemble durch einen Mischstaat im Allgemeinen angegeben. Zum Beispiel kann man die Dichte-Maschinenbediener angeben, die mikrokanonische, kanonische und großartige kanonische Ensembles des Quants mechanische Systeme auf eine mathematisch strenge Mode beschreiben.

Der für den Dichte-Maschinenbediener erforderliche Normalisierungsfaktor, Spur 1 zu haben, ist das Quant mechanische Version der Teilungsfunktion.

Wir bemerken hier, dass Ensembles des Quants mechanisches System manchmal von Physikern auf eine halbklassische Mode behandelt werden. Nämlich denkt man den Phase-Raum des entsprechenden klassischen Systems (z.B für ein Ensemble des Quants harmonische Oszillatoren, der Phase-Raum eines klassischen harmonischen Oszillators wird betrachtet). Dann, mit physischen Argumenten, leitet man ein passendes "grundsätzliches Volumen" für das besondere System ab, um die Tatsache zu widerspiegeln, dass Quant mechanische Mikrostaaten auf dem Phase-Raum getrennt verteilt wird. Vom Unklarheitsgrundsatz wird es dieses grundsätzliche Volumen erwartet, um mit dem Planck unveränderlich irgendwie verbunden zu sein.

Ensembles in der Statistik

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Die Formulierung von statistischen in der Physik verwendeten Ensembles ist jetzt in anderen Feldern teilweise weit angenommen worden, weil es anerkannt worden ist, dass der Vertrieb von Boltzmann oder das Maß von Gibbs dienen, um das Wärmegewicht eines Systems, Themas einer Reihe von Einschränkungen zu maximieren: Das ist der Grundsatz des maximalen Wärmegewichtes. Dieser Grundsatz ist jetzt auf Probleme in der Linguistik, Robotertechnik und ähnlich weit angewandt worden.

Außerdem wird auf statistische Ensembles in der Physik häufig auf einem Grundsatz der Gegend gebaut: Das alle Wechselwirkungen ist nur zwischen benachbarten Atomen oder nahe gelegenen Molekülen. So, zum Beispiel, Gitter-Modelle, wie das Modell von Ising, die eisenmagnetischen Mustermaterialien mittels Nah-Nachbarwechselwirkungen zwischen Drehungen. Wie man jetzt sieht, ist die statistische Formulierung des Grundsatzes der Gegend eine Form des Eigentums von Markov im weiten Sinn; nächste Nachbarn sind jetzt Decken von Markov. So führt der allgemeine Begriff eines statistischen Ensembles mit Nah-Nachbarwechselwirkungen zu Markov zufällige Felder, die wieder breite Anwendbarkeit finden; zum Beispiel in Netzen von Hopfield.

Betriebliche Interpretation

In der Diskussion gegeben bis jetzt, während streng, haben wir als selbstverständlich betrachtet, dass der Begriff eines Ensembles a priori gültig ist, wie im physischen Zusammenhang allgemein getan wird. Was nicht gezeigt worden ist, ist, dass das Ensemble selbst (nicht die folgenden Ergebnisse) ein genau definierter Gegenstand mathematisch ist. Zum Beispiel,

• Es ist nicht klar, wo dieser sehr große Satz von Systemen besteht (zum Beispiel, ist es ein Benzin von Partikeln innerhalb eines Behälters?)
• Es ist nicht klar, wie man ein Ensemble physisch erzeugt.

In dieser Abteilung versuchen wir, auf diese Frage teilweise zu antworten.

Nehmen Sie an, dass wir ein Vorbereitungsverfahren für ein System in einer Physik haben

Laboratorium: Zum Beispiel könnte das Verfahren einen physischen Apparat und einschließen

einige Protokolle, für den Apparat zu manipulieren. Infolge dieses Vorbereitungsverfahrens ein System

wird erzeugt und in der Isolierung für eine kleine Zeitspanne aufrechterhalten.

Indem

wir dieses Laborvorbereitungsverfahren wiederholen, erhalten wir einen

Folge von Systemen X, X,

...., X den in unserer mathematischen Idealisierung wir annehmen, ist eine unendliche Folge von Systemen. Die Systeme sind darin ähnlich sie wurden alle ebenso erzeugt. Diese unendliche Folge ist ein Ensemble.

In einer Laboreinstellung könnte jedes dieser prepped Systeme als Eingang verwendet werden

für ein nachfolgendes Probeverfahren. Wieder, das Probeverfahren

schließt einen physischen Apparat und einige Protokolle ein; infolge des

Prüfung des Verfahrens erhalten wir ja oder keine Antwort.

In Anbetracht eines auf jedes bereite System angewandten Probeverfahrens E erhalten wir eine Folge von Werten

Meas (E, X), Meas (E, X),

.... Meas (E, X). Jeder dieser Werte ist 0 (oder nicht) oder 1 (ja).

Nehmen Sie das folgende Mal an, wenn Durchschnitt besteht:

:

Für das Quant mechanische Systeme eine wichtige Annahme im gemacht

die Quant-Logikannäherung an die Quant-Mechanik ist die Identifizierung von Alternativfragen zum

Gitter von geschlossenen Subräumen eines Raums von Hilbert. Mit einem zusätzlichen

technische Annahmen man kann dann ableiten, dass Staaten durch gegeben werden

Dichte-Maschinenbediener S so dass:

:

Wir sehen, dass das die Definition von Quant-Staaten im Allgemeinen widerspiegelt: Ein Quant-Staat ist vom observables bis ihre Erwartungswerte kartografisch darzustellen.

Siehe auch

• Dichte-Matrix
• Ensemble (flüssige Mechanik)
• Teilungsfunktion (statistische Mechanik)
• Teilungsfunktion (Mathematik)
• isothermisches-isobaric Ensemble
• Phase-Raum
• Der Lehrsatz von Liouville (Hamiltonian)