Der Lehrsatz von Lagrange (Gruppentheorie)

Der Lehrsatz von Lagrange, in der Mathematik der Gruppentheorie, stellt fest, dass für jede begrenzte Gruppe G die Ordnung (Zahl der Elemente) jeder Untergruppe H G die Ordnung von G teilt. Der Lehrsatz wird nach Joseph Lagrange genannt.

Beweis des Lehrsatzes von Lagrange

Das kann mit dem Konzept linken cosets von H in G gezeigt werden. Die linken cosets sind die Gleichwertigkeitsklassen einer bestimmten Gleichwertigkeitsbeziehung auf G und bilden deshalb eine Teilung von G. Spezifisch sind x und y in G verbunden, wenn, und nur wenn dort h in solchem H dass x = yh besteht. Wenn wir zeigen können, dass alle cosets von H dieselbe Zahl der Elemente haben, dann hat jeder coset von H genau |H Elemente. Wir werden dann getan seit der Ordnung von H Zeiten ist die Zahl von cosets der Zahl der Elemente in G gleich, dadurch beweisend, dass die Ordnung von H die Ordnung von G teilt. Jetzt, wenn ah und bH zwei sind, hat cosets von H verlassen, wir können eine Karte f definieren: ah → bH durch das Setzen f (x) = bax. Diese Karte ist bijektiv, weil sein Gegenteil durch gegeben wird

Dieser Beweis zeigt auch, dass der Quotient der Ordnungen |G / |H dem Index [G gleich ist: H] (die Zahl von linkem cosets von H in G). Wenn wir diese Behauptung als schreiben

:

dann, gesehen als eine Behauptung über Grundzahlen, ist es zum Axiom der Wahl gleichwertig.

Das Verwenden des Lehrsatzes

Eine Folge des Lehrsatzes ist, dass die Ordnung jedes Elements einer begrenzten Gruppe (d. h. die kleinste positive ganze Zahl Nummer k mit = e, wo e das Identitätselement der Gruppe ist) die Ordnung dieser Gruppe seit der Ordnung teilt, gleich der Ordnung der zyklischen durch a erzeugten Untergruppe zu sein. Wenn die Gruppe n Elemente hat, folgt sie

:

Das kann verwendet werden, um den kleinen Lehrsatz von Fermat und seine Generalisation, den Lehrsatz von Euler zu beweisen. Diese speziellen Fälle waren bekannt, lange bevor der allgemeine Lehrsatz bewiesen wurde.

Der Lehrsatz zeigt auch, dass jede Gruppe der Hauptordnung zyklisch und einfach ist. Das kann der Reihe nach verwendet werden, um den Lehrsatz von Wilson zu beweisen, dass, wenn p dann erst ist, p ein Faktor von (p-1) ist! +1.

Existenz von Untergruppen der gegebenen Ordnung

Der Lehrsatz von Lagrange bringt die gegenteilige Frage betreffs auf, ob jeder Teiler der Ordnung einer Gruppe die Ordnung von einer Untergruppe ist. Das hält im Allgemeinen nicht: In Anbetracht einer begrenzten Gruppe G und eines Teilers d |G, dort besteht keine Untergruppe von G mit dem Auftrag d notwendigerweise. Das kleinste Beispiel ist die Wechselgruppe G =, der 12 Elemente, aber keine Untergruppe des Auftrags 6 hat. Eine CLT Gruppe ist eine begrenzte Gruppe mit dem Eigentum dass für jeden Teiler der Ordnung der Gruppe, es gibt eine Untergruppe dieser Ordnung. Es ist bekannt, dass eine CLT Gruppe lösbar sein muss, und dass jede superlösbare Gruppe eine CLT Gruppe ist: Jedoch dort besteht lösbare Gruppen, die nicht CLT und CLT Gruppen sind, die nicht superlösbar sind.

Dort sind teilweise spricht zum Lehrsatz von Lagrange. Für allgemeine Gruppen versichert der Lehrsatz von Cauchy die Existenz eines Elements, und folglich einer zyklischen Untergruppe, der Ordnung jedes Hauptteilen der Gruppenordnung; der Lehrsatz von Sylow erweitert das zur Existenz einer Untergruppe der Ordnung, die der maximalen Macht jedes Hauptteilens der Gruppenordnung gleich ist. Für lösbare Gruppen behaupten die Lehrsätze des Saals die Existenz einer Untergruppe der Ordnung, die jedem einheitlichen Teiler der Gruppenordnung (d. h. ein Teiler coprime zu seinem cofactor) gleich ist.

Geschichte

Lagrange hat den Lehrsatz von Lagrange in seiner allgemeinen Form nicht bewiesen. Er, hat in seinem Artikel Réflexions sur la résolution algébrique des équations, das festgesetzt, wenn ein Polynom in n Variablen seine Variablen im ganzen n permutieren ließ! auf Weisen ist die Zahl von verschiedenen Polynomen, die erhalten werden, immer ein Faktor von n!. (Zum Beispiel, wenn die Variablen x, y, und z auf alle 6 möglichen Weisen im Polynom x + y permutiert werden - z dann bekommen wir insgesamt 3 verschiedene Polynome: x + y − z, x + z - y, und y + z − x. Bemerken Sie, dass 3 ein Faktor 6 ist.) Ist die Zahl solcher Polynome der Index in der symmetrischen Gruppe S der Untergruppe H Versetzungen, die das Polynom bewahren. (Für das Beispiel von x + y − z enthält die Untergruppe H in S die Identität und die Umstellung (xy).) So teilt die Größe von H n!. Mit der späteren Entwicklung von abstrakten Gruppen, wie man anerkannte, hat sich dieses Ergebnis von Lagrange auf Polynomen bis zu den allgemeinen Lehrsatz über begrenzte Gruppen ausgestreckt, der jetzt seinen Namen trägt.

Lagrange hat seinen Lehrsatz nicht bewiesen; alles, was er im Wesentlichen getan hat, sollte einige spezielle Fälle besprechen. Der erste ganze Beweis des Lehrsatzes wurde von Abbati zur Verfügung gestellt und 1803 veröffentlicht.

Zeichen

Siehe auch


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