Ein magisches gegenseitiges Hauptquadrat ist ein magisches Quadrat mit den dezimalen Ziffern des Gegenstücks einer Primzahl.

Betrachten Sie eine Zahl als geteilt in eine, wie 1/3 oder 1/7. In der Basis zehn, der Rest, und so die Ziffern, 1/3 wiederholt sich sofort: 0 · 3333... Jedoch wiederholen die Reste von 1/7 mehr als sechs, oder 7-1, Ziffern: 1/7 = 0 · 428574285742857... Wenn Sie die Vielfachen von 1/7 untersuchen, können Sie sehen, dass jeder eine zyklische Versetzung dieser sechs Ziffern ist:

1/7 = 0 · 1 4 2 8 5 7...

2/7 = 0 · 2 8 5 7 1 4...

3/7 = 0 · 4 2 8 5 7 1...

4/7 = 0 · 5 7 1 4 2 8...

5/7 = 0 · 7 1 4 2 8 5...

6/7 = 0 · 8 5 7 1 4 2...

Wenn die Ziffern als ein Quadrat angelegt werden, ist es offensichtlich, dass jede Reihe zu 1+4+2+8+5+7, oder 27, und nur ein bisschen weniger offensichtlich resümieren wird, dass jeder auch so tun wird, und folglich wir ein magisches Quadrat haben:

1 4 2 8 5 7

2 8 5 7 1 4

4 2 8 5 7 1

5 7 1 4 2 8

7 1 4 2 8 5

8 5 7 1 4 2

Jedoch, keine Diagonale Summen zu 27, aber alle anderen Hauptgegenstücke in der Basis zehn mit der maximalen Periode von p-1 erzeugen Quadrate, in denen alle Reihen und Säulen zu derselben Summe resümieren.

Andere Eigenschaften von Hauptgegenstücken: Der Lehrsatz von Midy

Das sich wiederholende Muster einer geraden Zahl von Ziffern [7-1, 11-1, 13-1, 17-1, 19-1, 29-1...] in den Quotienten, ist wenn gebrochen, entzwei die Nines-Ergänzung jeder Hälfte:

1/7 =0.142,857,142,857...

+0.857.142

---------

0.999,999

1/11 =0.09090,90909...

+0.90909,09090

-----

0.99999,99999

1/13 = 0.076,923 076,923...

+0.923.076

---------

0.999,999

1/17 = 0.05882352,94117647

+0.94117647,05882352

-------------------

0.99999999,99999999

1/19 =0.052631578,947368421...

+0.947368421,052631578

----------------------

0.999999999,999999999

Ekidhikena Purvena Von: Der Vedic von Bharati Krishna Tirtha mathematics#By ein mehr als derjenige vorher

Bezüglich der Zahl von dezimalen Plätzen, die im Quotienten pro Vielfache von 1/19 ausgewechselt sind:

01/19 = 0.052631578,947368421

02/19 = 0.1052631578,94736842

04/19 = 0.21052631578,9473684

08/19 = 0.421052631578,947368

16/19 = 0.8421052631578,94736

Ein Faktor 2 im Zähler erzeugt eine Verschiebung eines dezimalen Platzes nach rechts im Quotienten.

Im Quadrat von 1/19, mit der maximalen Periode 18 und Reihe-Und-Säule, die 81, ganz

ist

beide Diagonalen resümieren auch zu 81, und dieses Quadrat ist deshalb völlig magisch:

01/19 = 0 · 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2...

02/19 = 0 · 1 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 2...

03/19 = 0 · 1 5 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 6 3...

04/19 = 0 · 2 1 0 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 6 8 4...

05/19 = 0 · 2 6 3 1 7 8 9 4 7 3 6 8 2 1 0 5...

06/19 = 0 · 3 1 5 7 8 4 7 3 6 8 4 1 0 5 2 6...

07/19 = 0 · 3 6 8 4 2 1 5 2 6 3 5 7 8 9 4 7...

08/19 = 0 · 4 2 1 0 5 2 6 1 5 8 9 4 7 3 6 8...

09/19 = 0 · 4 7 3 6 8 4 2 1 2 6 3 1 5 7 8 9...

10/19 = 0 · 5 2 6 3 1 5 7 8 7 3 6 8 4 2 1 0...

11/19 = 0 · 5 7 8 9 4 7 3 8 4 1 0 5 2 6 3 1...

12/19 = 0 · 6 3 1 5 7 8 4 7 3 6 4 2 1 0 5 2...

13/19 = 0 · 6 8 4 2 1 5 2 6 3 1 5 8 9 4 7 3...

14/19 = 0 · 7 3 6 8 2 1 0 5 2 6 3 1 7 8 9 4...

15/19 = 0 · 7 8 9 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 3 1 5...

16/19 = 0 · 8 4 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 3 6...

17/19 = 0 · 8 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 7...

18/19 = 0 · 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7...

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/59/MgkSqr_1_over_19_Deva.tif

Dasselbe Phänomen kommt mit anderer Blüte in anderen Basen vor, und der folgende Tisch verzeichnet einige von ihnen, der Blüte gebend, Basis und magische Summe (ist auf die Formel-Basis 1 x erster 1 / 2 zurückzuführen gewesen):

Siehe auch

• zyklische Zahl

Rademacher, H. und Toeplitz, O. Das Vergnügen der Mathematik: Auswahlen von der Mathematik für den Dilettanten. Princeton, New Jersey: Universität von Princeton Presse, Seiten 158-160, 1957.

Weisstein, Eric W. "der Lehrsatz von Midy." Von MathWorld — eine Wolfram-Webquelle.

http://mathworld.wolfram.com/MidysTheorem.html