In der dimensionalen Analyse, einer ohne Dimension Menge oder Menge der Dimension ist man eine Menge ohne eine verbundene physische Dimension. Es ist so eine "reine" Zahl, und weil solcher immer eine Dimension 1 hat. Ohne Dimension Mengen werden in Mathematik, Physik, Technik, Volkswirtschaft, und im täglichen Leben (solcher als im Zählen) weit verwendet. Zahlreiche wohl bekannte Mengen, wie π, e, und φ, sind ohne Dimension. Im Vergleich sind nichtohne Dimension Mengen diejenigen, die in Einheiten der Länge, des Gebiets, Zeit, usw. gemessen werden

Ohne Dimension Mengen werden häufig als Produkte oder Verhältnisse von Mengen definiert, die nicht ohne Dimension sind, aber dessen Dimensionen annullieren, wenn ihre Mächte multipliziert werden. Das, ist zum Beispiel, mit der Technikbeanspruchung, einem Maß der Deformierung der Fall. Es wird als Änderung in der Länge über die anfängliche Länge definiert, aber seit diesen Mengen haben beide Dimensionen L (Länge), das Ergebnis ist eine ohne Dimension Menge.

Eigenschaften

• Wenn auch eine ohne Dimension Menge keine physische damit vereinigte Dimension hat, kann es noch ohne Dimension Einheiten haben. Um die Menge zu zeigen, die (zum Beispiel Massenbruchteil oder Maulwurf-Bruchteil) wird misst, ist es manchmal nützlich, dieselben Einheiten sowohl im Zähler als auch in Nenner (Kg/Kg oder mol/mol) zu verwenden. Die Menge kann auch als ein Verhältnis von zwei verschiedenen Einheiten gegeben werden, die dieselbe Dimension (zum Beispiel, Lichtjahre über Meter) haben. Das kann der Fall sein, wenn es Hang in Graphen berechnet, oder wenn es Einheitskonvertierungen macht. Solche Notation zeigt die Anwesenheit von physischen Dimensionen nicht an, und ist rein eine notational Tagung. Andere allgemeine ohne Dimension Einheiten sind % (= 0.01), % (= 0.001), ppm (= 10), ppb (= 10), ppt (= 10) und Winkeleinheiten (Grade, radians, Student im Aufbaustudium). Einheiten der Zahl wie ein Dutzend und das Gros sind auch ohne Dimension.
• Das Verhältnis von zwei Mengen mit denselben Dimensionen ist ohne Dimension, und hat denselben Wert unabhängig von den Einheiten, die verwendet sind, um sie zu berechnen. Zum Beispiel, wenn Körper A eine Kraft des Umfangs F auf dem Körper B ausübt, und B eine Kraft des Umfangs f auf A ausübt, dann hat das Verhältnis F/f wird immer 1 gleich sein, unabhängig von den wirklichen Einheiten gepflegt, F und f zu messen. Das ist ein grundsätzliches Eigentum von ohne Dimension Verhältnissen und folgt aus der Annahme, dass die Gesetze der Physik des Systems von in ihrem Ausdruck verwendeten Einheiten unabhängig sind. In diesem Fall, wenn das Verhältnis F/f 1 nicht immer gleich war, aber sich geändert hat, wenn wir vom SI bis CGS umgeschaltet haben, der bedeuten würde, dass die Wahrheit oder Unehrlichkeit des Dritten Gesetzes des Newtons vom System von verwendeten Einheiten abhängen würden, der dieser grundsätzlichen Hypothese widersprechen würde. Diese Annahme, dass die Gesetze der Physik auf ein spezifisches Einheitssystem nicht abhängig sind, ist die Basis für den Lehrsatz von Buckingham π. Eine Behauptung dieses Lehrsatzes ist, dass jedes physische Gesetz als eine Identität ausgedrückt werden kann, die nur ohne Dimension Kombinationen (Verhältnisse oder Produkte) von den durch das Gesetz verbundenen Variablen einschließt (zum Beispiel, werden Druck und Volumen durch das Gesetz von Boyle verbunden - sie sind umgekehrt proportional). Wenn die Werte der ohne Dimension Kombinationen, die mit den Systemen von Einheiten geändert sind, dann würde die Gleichung keine Identität und der Lehrsatz von Buckingham sein, nicht halten würden.

Lehrsatz von Buckingham π

Eine andere Folge des Lehrsatzes von Buckingham π der dimensionalen Analyse ist, dass die funktionelle Abhängigkeit zwischen einer bestimmten Anzahl (sagen n), Variablen durch die Zahl reduziert werden kann (sagen Sie k) unabhängiger Dimensionen, die in jenen Variablen vorkommen, um eine Reihe von p = n &minus zu geben; k unabhängige, ohne Dimension Mengen. Zu den Zwecken des Experimentators sind verschiedene Systeme, die dieselbe Beschreibung durch die ohne Dimension Menge teilen, gleichwertig.

Beispiel

Der Macht-Verbrauch eines Rührstabs mit einer gegebenen Gestalt ist eine Funktion der Dichte und die Viskosität der Flüssigkeit, die, die Größe des Rührstabs zu rühren ist, der durch sein Diameter und die Geschwindigkeit des Rührstabs gegeben ist. Deshalb haben wir n = 5 Variablen, die unser Beispiel vertreten.

Jene n = werden 5 Variablen von k = 3 Dimensionen aufgebaut, die sind:

• Länge: L (M)
• Zeit: T (s)
• Masse: M (Kg).

Gemäß dem π-theorem der n = können 5 Variablen durch den k = 3 Dimensionen reduziert werden, um p = n &minus zu bilden; k = 5 − 3 = 2 unabhängige ohne Dimension Zahlen, die im Falle des Rührstabs sind:

• Zahl von Reynolds (eine ohne Dimension Zahl, die das Flüssigkeitsströmungsregime beschreibt)
• Macht-Zahl (das Beschreiben des Rührstabs und schließt auch die Dichte der Flüssigkeit ein)

Standardanstrengungen

Das Internationale Komitee für Gewichte und Maßnahmen hat daran gedacht, die Einheit 1 als der 'uno' zu definieren, aber die Idee war fallen gelassen.

Beispiele

• Denken Sie dieses Beispiel: Sarah sagt, "Aus allen 10 apples I versammeln sich, 1 ist faul.". Das rotten-gathered Verhältnis ist (1 Apfel) / (10 Äpfel) = 0.1 = 10 %, der eine ohne Dimension Menge ist.
• Ein anderes typischeres Beispiel in der Physik und Technik ist das Maß von Flugzeug-Winkeln. Ein Winkel wird als das Verhältnis der Länge eines Kreisbogens eines Kreises gemessen, der durch einen Winkel entgegengesetzt ist, dessen Scheitelpunkt das Zentrum des Kreises zu einer anderen Länge ist. Das Verhältnis, durch die Länge geteilte Länge, ist ohne Dimension. Wenn sie radians als die Einheit verwendet, ist die Länge, die verglichen wird, die Länge des Radius des Kreises. Wenn sie Grad als die Einheiten verwendet, ist die Länge des Kreisbogens im Vergleich zu 1/360 des Kreisumfangs des Kreises.
• Im Fall von der ohne Dimension Menge π, das Verhältnis eines Kreisumfangs eines Kreises zu seinem Diameter seiend, würde die Zahl unabhängig davon unveränderlich sein, welche Einheit verwendet wird, um einen Kreisumfang und Diameter eines Kreises (z.B Zentimeter, Meilen, Lichtjahre, usw.) zu messen, so lange dieselbe Einheit für beide verwendet wird.

Liste von ohne Dimension Mengen

Alle Zahlen sind ohne Dimension Mengen. Bestimmte ohne Dimension Mengen von etwas Wichtigkeit werden unten gegeben:

Ohne Dimension physische Konstanten

Bestimmte grundsätzliche physische Konstanten, wie die Geschwindigkeit des Lichtes in einem Vakuum, der universalen Gravitationskonstante, und den Konstanten von Planck und Boltzmann, werden zu 1 normalisiert, wenn die Einheiten für Zeit, Länge, Masse, Anklage und Temperatur passend gewählt werden. Das resultierende System von Einheiten ist als natürlich bekannt. Jedoch können nicht alle physischen Konstanten in jedem System von Einheiten beseitigt werden; die Werte der restlichen müssen experimentell bestimmt werden. Resultierende Konstanten schließen ein:

• α, die Feinstruktur unveränderlich, die Kopplungskonstante für die elektromagnetische Wechselwirkung: α  1/137;
• μ oder β, das Massenverhältnis des Protons zum Elektron, hat sich die Rest-Masse des Protons durch dieses des Elektrons geteilt. Mehr allgemein, die Rest-Massen aller elementaren Partikeln hinsichtlich dieses des Elektrons: μ  1836;
• α, die Kopplungskonstante für die starke Kraft;
• α, die Gravitationskopplungskonstante: α  1.75×10.

Siehe auch

• Ähnlichkeit (Modell)
• Größenordnungen (Zahlen)
• Dimensionale Analyse
• Normalisierung (Statistik) und standardisierter Moment, die analogen Konzepte in der Statistik
• Lehrsatz von Buckingham π

Links

• John Baez, "wie viel grundsätzliche Konstanten dort sind?"
• Huba, J. D., 2007, NRL Plasma Formulary: Ohne Dimension Zahlen der Flüssigen Mechanik. Marineforschungslabor. p. 23, 24, 25
• Sheppard, Mikrophon, 2007, "Systematische Suche nach Ausdrücken von Ohne Dimension Konstanten mit der NIST Datenbank von Physischen Konstanten."