Mathematische Morphologie (MM) ist eine Theorie und Technik für die Analyse und Verarbeitung von geometrischen Strukturen, die auf Mengenlehre, Gitter-Theorie, Topologie und zufälligen Funktionen gestützt sind. MM wird meistens auf Digitalimages angewandt, aber er kann ebenso auf Graphen, Oberflächenineinandergreifen, Festkörpern und vielen anderen Raumstrukturen verwendet werden.

Topologische und geometrische Dauernd-Raumkonzepte wie Größe, Gestalt, Konvexität, Konnektivität, und geodätische Entfernung, wurden durch den MM sowohl auf dauernden als auch auf getrennten Räumen eingeführt. MM ist auch das Fundament der morphologischen Bildverarbeitung, die aus einer Reihe von Maschinenbedienern besteht, die Images gemäß den obengenannten Charakterisierungen umgestalten.

MM wurde für binäre Images ursprünglich entwickelt, und wurde später zu Grayscale-Funktionen und Images erweitert. Die nachfolgende Generalisation, um Gitter zu vollenden, wird heute als das theoretische Fundament des Mm weit akzeptiert.

Geschichte

Mathematische Morphologie ist 1964 von der zusammenarbeitenden Arbeit von Georges Matheron und Jean Serra, am École des Mines de Paris, Frankreich geboren gewesen. Matheron hat die Doktorarbeit von Serra beaufsichtigt, der der Quantifizierung von Mineraleigenschaften von dünnen bösen Abteilungen gewidmet ist, und diese Arbeit ist auf eine neuartige praktische Annäherung, sowie theoretische Förderungen in der integrierten Geometrie und Topologie hinausgelaufen.

1968 wurde der Centre de Morphologie Mathématique durch den École des Mines de Paris in Fontainebleau, Frankreich gegründet, das von Matheron und Serra geführt ist.

Während des Rests der 1960er Jahre und der meisten 1970er Jahre hat sich MM im Wesentlichen mit binären Images befasst, hat als Sätze behandelt, und hat eine Vielzahl von binären Maschinenbedienern und Techniken erzeugt: Verwandeln Sie sich aufs Geratewohl, Ausdehnung, Erosion, Öffnung, das Schließen, granulometry, die Verdünnung, skeletonization, die äußerste Erosion, die bedingte Halbierungslinie und die anderen. Eine zufällige Annäherung wurde auch entwickelt, auf neuartigen Bildmodellen gestützt. Der grösste Teil der Arbeit in dieser Periode wurde in Fontainebleau entwickelt.

Von der Mitte der 1970er Jahre bis Mitte der 1980er Jahre wurde MM zu Grayscale-Funktionen und Images ebenso verallgemeinert. Außer dem Verlängern der Hauptkonzepte (wie Ausdehnung, Erosion, usw...) zu Funktionen hat diese Generalisation neue Maschinenbediener wie morphologische Anstiege nachgegeben, Zylinder verwandeln sich und die Wasserscheide (Die Hauptsegmentationsannäherung des Mm).

In den 1980er Jahren und 1990er Jahren hat MM eine breitere Anerkennung gewonnen, weil Forschungszentren in mehreren Ländern begonnen haben, die Methode anzunehmen und zu untersuchen. MM hat angefangen, auf eine Vielzahl angewandt zu werden, Probleme und Anwendungen darzustellen.

1986 hat Jean Serra weiter MM dieses Mal zu einem theoretischen auf ganzen Gittern gestützten Fachwerk verallgemeinert. Diese Generalisation hat Flexibilität zur Theorie gebracht, seine Anwendung auf eine viel größere Zahl von Strukturen, einschließlich Farbenimages, Videos, Graphen, Ineinandergreifens usw. ermöglichend. Zur gleichen Zeit haben Matheron und Serra auch eine Theorie für die morphologische Entstörung formuliert, die auf dem neuen Gitter-Fachwerk gestützt ist.

Die 1990er Jahre und die 2000er Jahre haben auch weitere theoretische Förderungen, einschließlich der Konzepte von Verbindungen und levelings gesehen.

1993 hat das erste Internationale Symposium auf der Mathematischen Morphologie (ISMM) in Barcelona, Spanien stattgefunden. Seitdem werden ISMMs alle 2-3 Jahre jedes Mal mit einem verschiedenen Teil der Welt organisiert: Fontainebleau, Frankreich (1994); Atlanta, die USA (1996); Amsterdam, die Niederlande (1998); Palo Altstimme, Kalifornien, die USA (2000); Sydney, Australien (2002); Paris, Frankreich (2004); Rio de Janeiro, Brasilien (2007); Groningen, die Niederlande (2009); und Intra (Verbania), Italien (2011).

• "Einführung" durch Pierre Soille, in (Serra u. a. (Hrsg.). 1994), pgs. 1-4.
• "Anhang A: Der 'Centre de Morphologie Mathématique', eine Übersicht" von Jean Serra, in (Serra u. a. (Hrsg.). 1994), pgs. 369-374.
• "Vorwort" in (Ronse u. a. (Hrsg.). 2005)

Binäre Morphologie

In der binären Morphologie wird ein Image als eine Teilmenge eines Euklidischen Raums oder des Bratrostes der ganzen Zahl, für eine Dimension d angesehen.

Strukturierung des Elements

Die Grundidee in der binären Morphologie ist, ein Image mit einer einfachen, vorherbestimmten Gestalt zu untersuchen, Beschlüsse anziehend, wie diese Gestalt passt oder die Gestalten im Image verpasst. Diese einfache "Untersuchung" wird genannt, Element strukturierend, und ist selbst ein binäres Image (d. h., eine Teilmenge des Raums oder Bratrostes).

Hier sind einige Beispiele weit verwendeter Strukturierungselemente (angezeigt durch B):

• Lassen Sie; B ist eine offene Platte des Radius r, in den Mittelpunkt gestellt am Ursprung.
• Lassen Sie; B ist 3x3 Quadrat, d. h. B = {(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (1,1)}.
• Lassen Sie; B ist das "Kreuz", das gegeben ist durch: B = {(-1,0), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,0)}.

Grundlegende Maschinenbediener

Die grundlegenden Operationen sind shift-invariant (Übersetzung invariant) mit der Hinzufügung von Minkowski stark verbundene Maschinenbediener.

Lassen Sie E ein Euklidischer Raum oder ein Bratrost der ganzen Zahl, und ein binäres Image in E sein.

Erosion

Die Erosion des binären Images durch das Strukturierungselement B wird definiert durch:

::

wo B die Übersetzung von B durch den Vektoren z ist, d. h..

Wenn das Strukturierungselement B ein Zentrum hat (z.B, ist B eine Platte oder ein Quadrat), und dieses Zentrum wird auf dem Ursprung von E gelegen, dann kann die Erosion durch B als der geometrische Ort von durch das Zentrum von B erreichten Punkten verstanden werden, wenn sich B innerhalb von A bewegt. Zum Beispiel ist die Erosion eines Quadrats der Seite 10, in den Mittelpunkt gestellt am Ursprung, durch eine Scheibe des Radius 2, auch in den Mittelpunkt gestellt am Ursprung, ein Quadrat der Seite 6 in den Mittelpunkt gestellte am Ursprung.

Die Erosion durch B wird auch durch den Ausdruck gegeben:.

Beispiel-Anwendung: Nehmen Sie An, dass wir ein Fax einer dunklen Fotokopie erhalten haben. Alles sieht aus, dass es mit einem Kugelschreiber geschrieben wurde, der verblutet. Erosionsprozess wird dickeren Linien erlauben, dünn zu werden und das Loch innerhalb des Briefs "o" zu entdecken.

Ausdehnung

Die Ausdehnung durch das Strukturierungselement B wird definiert durch:

::.

Die Ausdehnung, ist auch gegebene auswechselbar durch:.

Wenn B ein Zentrum auf dem Ursprung wie zuvor hat, dann kann die Ausdehnung durch B als der geometrische Ort der durch B bedeckten Punkte verstanden werden, wenn sich das Zentrum von B innerhalb von A bewegt. Im obengenannten Beispiel ist die Ausdehnung des Quadrats der Seite 10 durch die Platte des Radius 2 ein Quadrat der Seite 14, mit rund gemachten Ecken, die am Ursprung in den Mittelpunkt gestellt sind. Der Radius der rund gemachten Ecken ist 2.

Die Ausdehnung kann auch erhalten werden durch: wo B den symmetrischen von B anzeigt, d. h.

Beispiel-Anwendung: Ausdehnung ist die Doppeloperation der Erosion. Abbildungen, die sehr leicht gezogen werden, werden dick, wenn "ausgedehnt". Leichteste Weise, es zu beschreiben, soll sich vorstellen, dass dasselbe Fax/Text mit einem dickeren Kugelschreiber geschrieben wird.

Öffnung

Die Öffnung durch B wird durch die Erosion durch B erhalten, der von der Ausdehnung des resultierenden Images durch B gefolgt ist:

::.

Durch die Öffnung wird auch gegeben, was bedeutet, dass es der geometrische Ort von Übersetzungen des Strukturierungselements B innerhalb des Images A ist. Im Fall vom Quadrat der Seite 10, und eine Scheibe des Radius 2 als das Strukturierungselement ist die Öffnung ein Quadrat der Seite 10 mit rund gemachten Ecken, wo der Eckradius 2 ist.

Beispiel-Anwendung: Wollen Wir annehmen, dass jemand ein Zeichen auf einer sich voll nichtsaugenden Zeitung geschrieben hat, dass das Schreiben aussieht, dass es winzige haarige Wurzeln überall anbaut. Öffnung entfernt im Wesentlichen die winzigen Außen-"Haaransatz"-Leckstellen und stellt den Text wieder her. Die Nebenwirkung besteht darin, dass es Dinge abrundet. Die scharfen Ränder fangen an zu verschwinden.

Das Schließen

Das Schließen durch B wird durch die Ausdehnung durch B erhalten, der von der Erosion der resultierenden Struktur durch B gefolgt ist:

::.

Das Schließen kann auch dadurch erhalten werden, wo X die Ergänzung X hinsichtlich E anzeigt (d. h.). Die obengenannten Mittel, dass das Schließen die Ergänzung des geometrischen Orts von Übersetzungen des symmetrischen vom Strukturierungselement außerhalb des Images A ist.

Eigenschaften der grundlegenden Maschinenbediener

Hier sind einige Eigenschaften der grundlegenden binären morphologischen Maschinenbediener (Ausdehnung, Erosion, sich öffnend und schließend):

• Sie sind Übersetzung invariant.
• Sie, nehmen d. h. wenn, dann, und usw. zu.
• Die Ausdehnung ist auswechselbar.
• Wenn der Ursprung von E dem Strukturierungselement B, dann gehört.
• Die Ausdehnung ist assoziativ, d. h.. Außerdem befriedigt die Erosion.
• Erosion und Ausdehnung befriedigen die Dualität.
• Öffnung und das Schließen befriedigen die Dualität.
• Die Ausdehnung ist über die Satz-Vereinigung verteilend
• Die Erosion ist über die Satz-Kreuzung verteilend
• Die Ausdehnung ist ein Pseudogegenteil der Erosion, und umgekehrt im folgenden Sinn: wenn und nur wenn.
• Öffnung und das Schließen sind idempotent.
• Öffnung ist antiumfassend, d. h., wohingegen das Schließen umfassend ist, d. h..

Andere Maschinenbediener und Werkzeuge

• Gestalten Sie aufs Geratewohl um
• Beschneidung gestaltet um
• Morphologisches Skelett
• Die Entstörung durch die Rekonstruktion
• Äußerste Erosionen und bedingte Halbierungslinien
• Granulometry
• Geodätische Entfernung fungiert

Morphologie von Grayscale

In der grayscale Morphologie sind Images Funktionen, die einen Euklidischen Raum oder Bratrost E darin kartografisch darstellen, wo der Satz von reals ist, ein Element ist, das größer ist als jede reelle Zahl, und ein Element ist, das kleiner ist als jede reelle Zahl.

Grayscale, die Elemente strukturieren, sind auch Funktionen desselben Formats, genannt "Strukturierung von Funktionen".

Ein Image durch f (x) und die Strukturierungsfunktion durch b (x) anzeigend, wird die grayscale Ausdehnung von f durch b durch gegeben

::

wo "Mund voll" das Supremum anzeigt.

Ähnlich wird die Erosion von f durch b durch gegeben

::

wo "inf" den infimum anzeigt.

Gerade wie in der binären Morphologie werden die Öffnung und das Schließen beziehungsweise durch gegeben

:: und

::.

Flache Strukturierungsfunktionen

Es ist üblich, flache Strukturierungselemente in morphologischen Anwendungen zu verwenden. Flache Strukturierungsfunktionen sind Funktionen b (x) in der Form

::

wo.

In diesem Fall werden die Ausdehnung und Erosion außerordentlich vereinfacht, und beziehungsweise durch gegeben

:: und::.

Im begrenzten, getrennten Fall (E ist ein Bratrost und B, wird begrenzt), das Supremum und die infimum Maschinenbediener können durch das Maximum und Minimum ersetzt werden. So sind Ausdehnung und Erosion besondere Fälle von Ordnungsstatistikfiltern, mit der Ausdehnung, den maximalen Wert innerhalb eines bewegenden Fensters zurückgebend (unterstützen die symmetrischen von der Strukturierungsfunktion B), und die Erosion, den minimalen Wert innerhalb des bewegenden Fensters B zurückgebend.

Im Fall vom flachen Strukturierungselement hängen die morphologischen Maschinenbediener nur von der Verhältniseinrichtung von Pixel-Werten, trotzdem ihren numerischen Werten ab, und werden besonders deshalb der Verarbeitung von binären Images und grayscale Images angepasst, deren leichte Übertragungsfunktion nicht bekannt ist.

Andere Maschinenbediener und Werkzeuge

• Morphologische Anstiege
• Zylinder gestaltet um
• Wasserscheide-Algorithmus

Indem

man diese Maschinenbediener verbindet, kann man Algorithmen für viele Bildverarbeitungsaufgaben, wie Eigenschaft-Entdeckung, Bildsegmentation, das Bildschärfen, die Bildentstörung und die Klassifikation erhalten.

Mathematische Morphologie auf ganzen Gittern

Ganze Gitter werden Sätze teilweise bestellt, wo jede Teilmenge einen infimum und ein Supremum hat. Insbesondere es enthält kleinstes Element und ein größtes Element (auch angezeigtes "Weltall").

Adjunctions (Ausdehnung und Erosion)

Lassen Sie, ein ganzes Gitter, mit infimum und Supremum zu sein, das durch und beziehungsweise symbolisiert ist. Sein Weltall und kleinstes Element werden durch U und beziehungsweise symbolisiert. Lassen Sie außerdem, eine Sammlung von Elementen von L zu sein.

Eine Ausdehnung ist jeder Maschinenbediener, der über das Supremum verteilt, und kleinstes Element bewahrt. D. h.:

.

Eine Erosion ist jeder Maschinenbediener, der über den infimum verteilt, und das Weltall bewahrt. D. h.:

.

Ausdehnungen und Erosionen bilden Verbindungen von Galois. D. h. für die ganze Ausdehnung gibt es eine und nur eine Erosion, die befriedigt

::

für alle.

Ähnlich für die ganze Erosion gibt es eine und nur eine Ausdehnung, die die obengenannte Verbindung befriedigt.

Außerdem, wenn zwei Maschinenbediener die Verbindung befriedigen, dann eine Ausdehnung und eine Erosion sein müssen.

Paare von Erosionen und Ausdehnungen, die die obengenannte Verbindung befriedigen, werden "adjunctions" genannt, und, wie man sagt, ist die Erosion die adjoint Erosion der Ausdehnung, und umgekehrt.

Öffnung und das Schließen

Für den ganzen adjunction werden die morphologische Öffnung und das morphologische Schließen wie folgt definiert:

:: und::.

Die morphologische Öffnung und das Schließen sind besondere Fälle der algebraischen Öffnung (oder einfach Öffnung) und das algebraische Schließen (oder einfach Schließen). Algebraische Öffnungen sind Maschinenbediener in L, die idempotent, Erhöhung, und antiumfassend sind. Algebraisches Schließen ist Maschinenbediener in L, die idempotent, Erhöhung, und umfassend sind.

Besondere Fälle

Binäre Morphologie ist ein besonderer Fall der Gitter-Morphologie, wo L der Macht-Satz von E (Euklidischer Raum oder Bratrost) ist, d. h. ist L der Satz aller Teilmengen von E, und ist die Satz-Einschließung. In diesem Fall ist der infimum Satz-Kreuzung, und das Supremum ist Satz-Vereinigung.

Ähnlich ist Grayscale-Morphologie ein anderer besonderer Fall, wo L der Satz von Funktionen ist, die E darin kartografisch darstellen, und, und, die mit dem Punkt kluge Ordnung, das Supremum und infimum beziehungsweise ist. D. h. ist f, und g sind Funktionen in L, dann wenn und nur wenn; durch den infimum wird gegeben; und durch das Supremum wird gegeben.

Siehe auch

• Vergleich der Bildverarbeitungssoftware
• Bildanalyse und Mathematische Morphologie durch Jean Serra, internationale Standardbuchnummer 0126372403 (1982)
• Bildanalyse und Mathematische Morphologie, Band 2: Theoretische Fortschritte durch Jean Serra, internationale Standardbuchnummer 0-12-637241-1 (1988)
• Eine Einführung ins Morphologische Image, das durch Edward R. Dougherty, internationale Standardbuchnummer 0 8194 0845 X (1992) In einer Prozession geht
• Morphologische Bildanalyse; Grundsätze und Anwendungen von Pierre Soille, internationale Standardbuchnummer 3540-65671-5 (1999), 2. Ausgabe (2003)
• Mathematische Morphologie und seine Anwendung, um Verarbeitung, J. Serra und ph Zeichen zu geben. Salembier (Hrsg.). Verhandlungen der 1. Internationalen Werkstatt auf der mathematischen Morphologie und seinen Anwendungen, um Verarbeitung (ISMM '93), internationale Standardbuchnummer 84-7653-271-7 (1993) Zeichen zu geben
• Mathematische Morphologie und seine Anwendungen, um Verarbeitung, Henk J.A.M. Heijmans und Jos B.T.M. Roerdink (Hrsg.) Darzustellen und ihr Zeichen zu geben. Verhandlungen des 4. internationalen Symposiums auf der mathematischen Morphologie (ISMM '98), internationale Standardbuchnummer 0-7923-5133-9 (1998)
• Mathematische Morphologie und seine Anwendungen auf die Signal- und Bildverarbeitung, Gerald J.F. Banon der Jüngere Barrera, Ulisses M. Braga-Neto (Hrsg.). Verhandlungen des 8. internationalen Symposiums auf der mathematischen Morphologie (ISMM '07), internationale Standardbuchnummer 978-85-17-00032-4 (2007)
• Mathematische Morphologie: von der Theorie bis Anwendungen, Laurent Najman und Hugues Talbot (Hrsg.). ISTE-Wiley. Internationale Standardbuchnummer 978-18-48-21215-2. (520 Seiten) Juni 2010

Außenverbindungen

• Online-Kurs über die mathematische Morphologie, durch Jean Serra (in Englisch, Französisch und Spanisch)
• Zentrum der mathematischen Morphologie, Pariser Schule von Gruben
• Geschichte der mathematischen Morphologie, durch Georges Matheron und Jean Serra
• Morphologie-Auswahl, ein Rundschreiben auf der mathematischen Morphologie, durch Pierre Soille
• Vorträge auf der Bildverarbeitung: Eine Sammlung von 18 Vorträgen in pdf formatiert von der Universität von Vanderbilt. Vorträge 16-18 sind auf der Mathematischen Morphologie, durch Alan Peters
• Mathematische Morphologie; von Computervisionsvorträgen, durch Robyn Owens
• Freier SIMD Optimierte Bildverarbeitungsbibliothek
• Java applet Demonstration
• FILTER: eine freie offene Quellbildverarbeitungsbibliothek
• Schnell morphologische Erosionen, Ausdehnungen, Öffnungen und Schließen
• Morphologische Analyse des Neuron-Verwendens Matlab