In der Mathematik, mehr spezifisch in der Funktionsanalyse, ist ein (ausgesprochener) Banachraum ein ganzer normed Vektorraum. Um ausführlich zu behandeln, ist ein Banachraum ein Vektorraum, der mit einer Norm ausgestattet wird, und der in Bezug auf diese Norm abgeschlossen ist.

Die Definition von Banachräumen ist wie folgt:

Wie man

sagt, ist:A normed Raum Banachraum, wenn für jede Cauchyfolge dann dort ein solches Element dass besteht.

Zwei überwiegende Typen von Banachräumen sind echte Banachräume und komplizierte Banachräume, die Banachräume sind, deren zu Grunde liegende Vektorräume über das Feld von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen beziehungsweise definiert werden.

Viele der unendlich-dimensionalen in der Analyse studierten Funktionsräume sind Banachräume, einschließlich Räume von dauernden Funktionen (dauernde Funktionen auf einem Kompaktraum von Hausdorff), Räumen von Funktionen von Lebesgue integrable bekannt als L Räume und Räume von als Räume von Hardy bekannten Holomorphic-Funktionen. Sie sind die meistens verwendeten topologischen Vektorräume, und ihre Topologie kommt aus einer Norm.

Sie werden nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach genannt, der sie in 1920-1922 zusammen mit Hans Hahn und Eduard Helly eingeführt hat.

Beispiele

Lassen Sie überall K für eines der Felder R oder C eintreten.

Euklidische Räume

Die vertrauten Euklidischen Räume K, wo die Euklidische Norm von x = (x, …, x) durch || x = (x + … + x) gegeben wird, sind Banachräume. Folglich wird jeder endlich-dimensionale K Vektorraum ein Banachraum, der mit einer willkürlichen Norm ausgestattet ist, da alle Normen auf einem endlich-dimensionalen K Vektorraum gleichwertig sind.

Räume von begrenzten dauernden Funktionen

Denken Sie den Raum des ganzen dauernden Funktions-ƒ: [a, b]  K definiert auf einem geschlossenen Zwischenraum [a, b]. Dieser Raum wird ein Banachraum, wenn eine passende Norm || ƒ, darin definiert wird. Solch eine Norm kann als || ƒ = Mund voll {| (x) ƒ | definiert werden: x  [a, b]}, bekannt als die Supremum-Norm. Das ist tatsächlich eine bestimmte Norm, da dauernde auf einem geschlossenen Zwischenraum definierte Funktionen begrenzt werden.

Da ƒ eine dauernde Funktion auf einem geschlossenen Zwischenraum ist, dann wird er begrenzt, und das Supremum in der obengenannten Definition wird von Weierstrass äußerster Wertlehrsatz erreicht, so können wir das Supremum durch das Maximum ersetzen. In diesem Fall wird die Norm auch die maximale Norm genannt.

Der Raum ist unter dieser Norm abgeschlossen, und der resultierende Banachraum wird durch C [a, b] angezeigt. Dieses Beispiel kann zum Raum C (X) aller dauernden Funktionen X  K verallgemeinert werden, wo X ein Kompaktraum, oder zum Raum aller begrenzten dauernden Funktionen X  K ist, wo X jeder topologische Raum, oder tatsächlich zum Raum B (X) aller begrenzten Funktionen X  K ist, wo X jeder Satz ist. In allen diesen Beispielen können wir sogar Funktionen multiplizieren und in demselben Raum bleiben: Alle diese Beispiele sind tatsächlich unital Algebra von Banach.

Für jeden offenen Satz Ω  C, der Satz (Ω) aller begrenzten, analytischen Funktionen u: Ω  C ist ein komplizierter Banachraum in Bezug auf die Supremum-Norm. Die Tatsache, dass gleichförmige Grenzen von analytischen Funktionen analytisch sind, ist eine leichte Folge des Lehrsatzes von Morera.

 Räume

Wenn p  0 eine reelle Zahl ist, können wir den Raum aller unendlichen Folgen (x, x, x, …) von Elementen in K als solch betrachten, dass die unendliche Reihe  |x begrenzt ist. Die p-th Wurzel des Werts dieser Reihe wird dann definiert, um die P-Norm der Folge zu sein. Der Raum, zusammen mit dieser Norm, ist ein Banachraum; es wird durch  angezeigt.

Der Banachraum  besteht aus allen begrenzten Folgen von Elementen in K; die Norm solch einer Folge wird definiert, um das Supremum der absoluten Werte der Mitglieder der Folge zu sein.

L Räume

Wieder, wenn p  1 eine reelle Zahl ist, können wir den ganzen Funktions-ƒ denken: [a, b]  K solch, dass | ƒ Lebesgue integrable ist. Die p-th Wurzel dieses Integrals wird dann definiert, um die Norm von ƒ zu sein. Allein ist dieser Raum nicht ein Banachraum, weil es Nichtnullfunktionen gibt, deren Norm Null ist. Wir definieren eine Gleichwertigkeitsbeziehung wie folgt: ƒ und g sind gleichwertig, wenn, und nur wenn die Norm ƒ−g Null ist. Der Satz von Gleichwertigkeitsklassen bildet dann einen Banachraum; es wird durch L ([a, b]) angezeigt. Es ist entscheidend, Lebesgue integriert und nicht der Riemann integriert hier zu verwenden, weil der integrierte Riemann keinen ganzen Raum nachgeben würde. Diese Beispiele können verallgemeinert werden; sieh L Räume für Details.

Direkte Summe von Banachräumen

Wenn X und Y zwei Banachräume sind, dann können wir ihre direkte Summe X  Y bilden, der eine natürliche topologische Vektorraum-Struktur, aber keine kanonische Norm hat. Jedoch ist es wieder ein Banachraum für mehrere gleichwertige Normen, zum Beispiel

:

Dieser Aufbau kann verallgemeinert werden, um  - direkte Summen von willkürlich vielen Banachräumen zu definieren. Wenn es eine unendliche Zahl der Nichtnull summands gibt, hängt der Raum erhalten auf diese Weise von p ab.

Quotient-Räume

Wenn M ein geschlossener geradliniger Subraum des Banachraums X ist, dann ist der Quotient-Raum X / M wieder ein Banachraum.

Räume von Hilbert

Jedes Skalarprodukt verursacht eine verbundene Norm. Der Skalarprodukt-Raum wird einen Raum von Hilbert genannt, wenn seine verbundene Norm abgeschlossen ist. So ist jeder Raum von Hilbert ein Banachraum definitionsgemäß. Die gegenteilige Behauptung hält auch unter bestimmten Bedingungen; sieh unten.

Geradlinige Maschinenbediener

Wenn V und W Banachräume über denselben Boden Feld K, der Satz des ganzen dauernden sind

K-linear Karten A: V  W

wird durch L (V, W) angezeigt. In unendlich-dimensionalen Räumen sind nicht alle geradlinigen Karten automatisch dauernd. Im Allgemeinen auf einem normed Raum geradlinig kartografisch darzustellen, ist dauernd, wenn, und nur wenn er auf dem geschlossenen Einheitsball begrenzt wird. So kann der Vektorraum L (V, W) die Maschinenbediener-Norm gegeben werden

:

In Bezug auf diese Norm, L (V, W) ist ein Banachraum. Das ist auch unter der weniger einschränkenden Bedingung dass V wahr, ein normed Raum sein.

Wenn V = W der Raum L (V) = L (V, V) eine unital Algebra von Banach bildet; die Multiplikationsoperation wird durch die Zusammensetzung von geradlinigen Karten gegeben.

Doppelraum

Wenn V ein Banachraum ist und K das zu Grunde liegende Feld ist (entweder das echte oder die komplexen Zahlen), dann ist K selbst ein Banachraum (den absoluten Wert als Norm verwendend), und wir können den Doppelraum V als V = L (V, K), den Raum von dauernden geradlinigen Karten in K definieren. Das ist wieder ein Banachraum (mit der Maschinenbediener-Norm). Es kann verwendet werden, um eine neue Topologie auf V zu definieren: die schwache Topologie.

Bemerken Sie, dass die Voraussetzung, dass die Karten, dauernd sein, notwendig sind; wenn V unendlich-dimensional ist, dort bestehen Sie geradlinige Karten, die nicht dauernd, und deshalb nicht begrenzt sind, so ist der Raum V von geradlinigen Karten in K nicht ein Banachraum. Der Raum V (der den algebraischen Doppelraum genannt werden kann, um es von V zu unterscheiden) veranlasst auch eine schwache Topologie, die feiner ist als das, das durch den dauernden Doppel-seitdem veranlasst ist.

Es gibt eine natürliche Karte F  von V bis V (die Doppel-von den Doppel-) definiert durch

:F (x) (ƒ) = ƒ (x)

für den ganzen x in V und ƒ in V. Weil F (x) eine Karte von V  bis K ist, ist es ein Element V. Die Karte F: x  F (x) ist so eine Karte V  V. Demzufolge des Hahn-Banach Lehrsatzes ist diese Karte injective, und isometrisch; wenn es auch surjective ist, dann wird der Banachraum V reflexiv genannt. Reflexive Räume haben viele wichtige geometrische Eigenschaften. Ein Raum ist reflexiv, wenn, und nur wenn sein Doppel-reflexiv ist, der der Fall ist, wenn, und nur wenn sein Einheitsball in der schwachen Topologie kompakt ist.

Zum Beispiel ist  für 1 reflexiv, und  sind nicht reflexiv. Wenn p  ist, wo p und q durch die Formel 1/p + 1/q = 1 verbunden sind. Sieh L Räume für Details.

Beziehung zu Räumen von Hilbert

Wie oben erwähnt ist jeder Raum von Hilbert ein Banachraum, weil, definitionsgemäß, ein Raum von Hilbert in Bezug auf die mit seinem Skalarprodukt vereinigte Norm abgeschlossen ist, wo, wie man sagt, eine Norm und ein Skalarprodukt wenn || v ² = (v, v) für den ganzen v vereinigt werden.

Das gegenteilige ist nicht immer wahr; nicht jeder Banachraum ist ein Raum von Hilbert. Eine notwendige und genügend Bedingung für einen Banachraum V, um zu einem Skalarprodukt vereinigt zu werden (der dann V in einen Raum von Hilbert notwendigerweise machen wird) ist die Parallelogramm-Identität:

:

für den ganzen u und v in V, und wo || * || die Norm auf V ist. Also, zum Beispiel, während R ein Banachraum in Bezug auf jede darauf definierte Norm ist, ist es nur ein Raum von Hilbert in Bezug auf die Euklidische Norm. Ähnlich als ein unendlich-dimensionales Beispiel ist der Raum von Lebesgue L immer ein Banachraum, aber ist nur ein Raum von Hilbert wenn p = 2.

Wenn die Norm eines Banachraums diese Identität befriedigt, wird das verbundene Skalarprodukt, das es in einen Raum von Hilbert macht, durch die Polarisationsidentität gegeben. Wenn V ein echter Banachraum ist, dann ist die Polarisationsidentität

:

wohingegen, wenn V ein komplizierter Banachraum ist, dann wird die Polarisationsidentität dadurch gegeben (das Annehmen, dass Skalarprodukt im ersten Argument geradlinig ist):

:

Die Notwendigkeit dieser Bedingung folgt leicht von den Eigenschaften eines Skalarprodukts. Um zu sehen, dass es genügend ist - dass das Parallelogramm-Gesetz andeutet, dass die durch die Polarisationsidentität definierte Form tatsächlich ein ganzes Skalarprodukt ist, prüft man algebraisch nach, dass diese Form woher zusätzlich ist, folgt sie durch die Induktion, dass die Form über die ganzen Zahlen und rationals geradlinig ist. Dann, da jeder echte die Grenze von einer Cauchyfolge von rationals ist, erweitert die Vollständigkeit der Norm die Linearität zur ganzen echten Linie. Im komplizierten Fall kann man auch überprüfen, dass die bilineare Form über mich in einem Argument, und verbunden geradlinig im anderen geradlinig ist.

Dimension von Hamel

Es folgt aus der Vollständigkeit von Banachräumen und dem Kategorie-Lehrsatz von Baire, dass eine Basis von Hamel eines unendlich-dimensionalen Banachraums unzählbar ist.

Ableitungen

Mehrere Konzepte einer Ableitung können auf einem Banachraum definiert werden. Sieh die Artikel über die Ableitung von Fréchet und die Ableitung von Gâteaux.

Generalisationen

Mehrere wichtige Räume in der Funktionsanalyse, zum Beispiel der Raum von allen ungeheuer häufig differentiable Funktionen R  R oder der Raum des ganzen Vertriebs auf R, sind abgeschlossen, aber sind nicht normed Vektorräume und folglich nicht Banachräume. In Fréchet Räumen hat man noch einen ganzen metrischen, während LF-Räume ganze gleichförmige Vektorräume sind, die als Grenzen von Räumen von Fréchet entstehen.

Siehe auch

• Liste von Banachräumen
• Cantor-Bernstein-Schroeder Lehrsatz
• Raum (Mathematik)

Referenzen

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