In der Mathematik ist ein metrischer Raum ein Satz, wo ein Begriff der Entfernung (hat einen metrischen genannt), zwischen Elementen des Satzes definiert wird.

Der metrische Raum, der am nächsten unserem intuitiven Verstehen des Raums entspricht, ist der 3-dimensionale Euklidische Raum. Tatsächlich ist der Begriff von "metrischen" eine Generalisation des Euklidischen metrischen Entstehens aus den vier lange bekannten Eigenschaften der Euklidischen Entfernung. Das Euklidische metrische definiert die Entfernung zwischen zwei Punkten als die Länge des Segmentes der Gerade, das sie verbindet.

Die geometrischen Eigenschaften des Raums hängen vom metrischen gewählt, und durch das Verwenden eines verschiedenen metrischen ab wir können interessante nicht-euklidische Geometrie wie diejenigen bauen, die in der Theorie der allgemeinen Relativität verwendet sind.

Ein metrischer Raum veranlasst auch topologische Eigenschaften wie offene und geschlossene Sätze, der zur Studie von noch abstrakteren topologischen Räumen führt.

Geschichte

Maurice Fréchet hat metrische Räume in seiner Arbeit eingeführt Sur quelques spitzt du calcul fonctionnel, Rendic an. Circ. Matte. Palermo 22 (1906) 1-74.

Definition

Ein metrischer Raum ist ein befohlenes Paar, wo ein Satz ist und ein metrischer auf, d. h., eine Funktion ist

:

solch, dass für irgendwelchen der folgende hält:

1. (nichtnegativ),

1. iff (Identität von indiscernibles),

1. (Symmetrie) und

1. (Dreieck-Ungleichheit).

Die erste Bedingung folgt aus den anderen drei seitdem:

:

Die Funktion wird auch Entfernungsfunktion oder einfach Entfernung genannt. Häufig, wird weggelassen, und man schreibt gerade für einen metrischen Raum, wenn es vom Zusammenhang klar ist, was metrisch verwendet wird.

Beispiele von metrischen Räumen

Wenn man

• mathematische Details, für jedes System von Straßen und Terrains ignoriert, kann die Entfernung zwischen zwei Positionen als die Länge des kürzesten Wegs definiert werden, der jene Positionen verbindet. Um ein metrischer zu sein, sollte es keine Einwegstraßen geben. Die Dreieck-Ungleichheit drückt die Tatsache aus, dass Umwege nicht Abkürzungen sind. Viele der Beispiele können unten als konkrete Versionen dieser allgemeinen Idee gesehen werden.
• Die reellen Zahlen mit der Entfernungsfunktion, die durch den absoluten Unterschied gegeben ist, und - Raum mit der Euklidischen Entfernung allgemein Euklidischer ist, sind ganze metrische Räume. Die rationalen Zahlen mit derselben Entfernung bilden auch einen metrischen Raum, aber sind nicht abgeschlossen.
• Die positiven reellen Zahlen mit der Entfernungsfunktion sind ein ganzer metrischer Raum.
• Jeder normed Vektorraum ist ein metrischer Raum durch das Definieren, sieh auch Beziehung von Normen und Metrik. (Wenn solch ein Raum abgeschlossen ist, nennen wir ihn einen Banachraum.) Beispiele:
• Die Norm von Manhattan verursacht die Entfernung von Manhattan, wo die Entfernung zwischen irgendwelchen zwei Punkten oder Vektoren, die Summe der Unterschiede zwischen entsprechenden Koordinaten ist.
• Die maximale Norm verursacht die Entfernung von Tschebyscheff oder Schachbrett-Entfernung, die minimale Zahl von Bewegungen, die ein Schachkönig bringen würde, um von dazu zu reisen.
• Durch die britische Schiene metrisch (hat auch die Post metrisch oder das SNCF metrische genannt), auf einem normed Vektorraum wird für verschiedene Punkte gegeben und, und. Mehr allgemein kann durch eine Funktion ersetzt werden, die einen willkürlichen Satz in nichtnegativen reals bringt und den Wert höchstens einmal nimmt: Dann wird das metrische auf durch für verschiedene Punkte definiert und, und. Der Name spielt auf die Tendenz der Eisenbahnreise (oder Briefe) an, um über London (oder Paris) ohne Rücksicht auf ihren endgültigen Bestimmungsort weiterzugehen.
• Wenn ein metrischer Raum ist und eine Teilmenge dessen ist, dann ein metrischer Raum durch das Einschränken des Gebiets dazu wird.
• Das getrennte metrische, wo wenn und sonst, ist ein einfaches, aber wichtiges Beispiel, und kann auf alle nichtleeren Sätze angewandt werden. Das zeigt insbesondere, dass für jeden nichtleeren Satz es immer einen metrischen dazu vereinigten Raum gibt. Damit metrisch ist jeder Punkt ein offener Ball, und deshalb ist jede Teilmenge offen, und der Raum hat die getrennte Topologie.
• Ein begrenzter metrischer Raum ist ein metrischer Raum, der eine begrenzte Zahl von Punkten hat. Nicht jeder begrenzte metrische Raum kann in einem Euklidischen Raum isometrisch eingebettet werden.
• Das Hyperbelflugzeug ist ein metrischer Raum. Mehr allgemein:
• Wenn ist, hat irgendwelcher Sammelleitung von Riemannian verbunden, dann können wir uns in einen metrischen Raum verwandeln, indem wir die Entfernung von zwei Punkten als der infimum der Längen der Pfade (unaufhörlich differentiable Kurven) das Anschließen von ihnen definieren.
• Wenn ein Satz ist und ein metrischer Raum ist, dann kann der Satz aller begrenzten Funktionen (d. h. jener Funktionen, deren Image eine begrenzte Teilmenge dessen ist) in einen metrischen Raum durch das Definieren für irgendwelche zwei begrenzten Funktionen und verwandelt werden (wo Supremum ist. Das metrisch wird die Uniform metrisch oder Supremum metrisch genannt, und Wenn abgeschlossen ist, dann ist dieser Funktionsraum ebenso abgeschlossen. Wenn X auch ein topologischer Raum ist, dann Satz aller begrenzten dauernden Funktionen von zu (ausgestattet mit der Uniform metrisch), wird auch ein ganzer metrischer sein, wenn M ist.
• Wenn ein ungeleiteter verbundener Graph ist, dann kann der Satz von Scheitelpunkten dessen in einen metrischen Raum durch das Definieren verwandelt werden, um die Länge des kürzesten Pfads zu sein, der die Scheitelpunkte verbindet und. In der geometrischen Gruppentheorie wird das auf den Graphen von Cayley einer Gruppe angewandt, das metrische Wort nachgebend.
• Die Levenshtein Entfernung ist ein Maß der Unähnlichkeit zwischen zwei Schnuren und, definiert als die minimale Zahl des Charakter-Auswischens, der Einfügungen oder der Ersetzungen, die erforderlich sind, sich dazu zu verwandeln. Davon kann als ein spezieller Fall des kürzesten Pfads gedacht werden, der in einem Graphen metrisch ist, und ist ein Beispiel einer editieren Entfernung.
• In Anbetracht eines metrischen Raums und einer zunehmenden konkaven Funktion solch das wenn, und nur wenn, dann auch ein metrischer darauf ist.
• In Anbetracht einer Injective-Funktion von jedem Satz bis einen metrischen Raum, definiert einen metrischen darauf.
• Mit der T-Theorie ist die dichte Spanne eines metrischen Raums auch ein metrischer Raum. Die dichte Spanne ist in mehreren Typen der Analyse nützlich.
• Der Satz von allen durch matrices über ein Feld ist ein metrischer Raum in Bezug auf die Reihe-Entfernung.
• Das Helly metrische wird in der Spieltheorie verwendet.

Offene und geschlossene Sätze, Topologie und Konvergenz

Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum auf eine natürliche Weise, und deshalb gelten alle Definitionen und Lehrsätze über allgemeine topologische Räume auch für alle metrischen Räume.

Über jeden Punkt in einem metrischen Raum definieren wir den offenen Ball des Radius über als der Satz

:

Diese offenen Bälle bilden die Basis für eine Topologie auf der M, es einen topologischen Raum machend.

Ausführlich wird eine Teilmenge dessen offen genannt, wenn für jeden darin dort ein solcher besteht, der darin enthalten wird. Die Ergänzung eines offenen Satzes wird geschlossen genannt. Eine Nachbarschaft des Punkts ist jede Teilmenge davon enthält einen offenen Ball über als eine Teilmenge.

Ein topologischer Raum, der auf diese Weise aus einem metrischen Raum entstehen kann, wird einen metrizable Raum genannt; sieh den Artikel über metrization Lehrsätze für weitere Details.

Wie man

sagt, läuft eine Folge in einem metrischen Raum zur Grenze iff für jeden zusammen, dort besteht eine natürliche Zahl N solch dass

Eine Teilmenge des metrischen Raums wird iff geschlossen, in dem jede Folge darin zu einer Grenze zusammenläuft, hat seine Grenze darin.

Typen von metrischen Räumen

Ganze Räume

Wie man

sagt, ist ein metrischer Raum abgeschlossen, wenn jede Cauchyfolge darin zusammenläuft. Das heißt: Wenn weil beide und unabhängig zur Unendlichkeit gehen, dann gibt es einige damit.

Jeder Euklidische Raum ist abgeschlossen, wie jede geschlossene Teilmenge eines ganzen Raums ist. Die rationalen Zahlen, mit dem absoluten metrischen Wert, sind nicht abgeschlossen.

Jeder metrische Raum hat einen einzigartigen (bis zur Isometrie) Vollziehung, die ein ganzer Raum ist, der den gegebenen Raum als eine dichte Teilmenge enthält. Zum Beispiel sind die reellen Zahlen die Vollziehung des rationals.

Wenn eine ganze Teilmenge des metrischen Raums ist, dann hereingebrochen wird. Tatsächlich ist ein Raum ganzer iff es wird in jedem geschlossen, metrischen Raum enthaltend.

Jeder ganze metrische Raum ist ein Raum von Baire.

Begrenzte und völlig begrenzte Räume

Eine metrische RaumM wird begrenzt genannt, wenn dort eine Nummer r, solch dass d (x, y)  r für den ganzen x und y in der M besteht. Das kleinstmögliche solcher r wird das Diameter der M genannt. Die RaumM wird vorkompakt oder völlig begrenzt genannt, wenn für jeden r> 0 dort begrenzt viele offene Bälle des Radius r bestehen, dessen Vereinigung M bedeckt. Da der Satz der Zentren dieser Bälle begrenzt ist, hat er begrenztes Diameter, von dem er folgt (das Verwenden der Dreieck-Ungleichheit), dass jeder völlig begrenzte Raum begrenzt wird. Das gegenteilige hält nicht, da jeder unendliche Satz das getrennte metrische gegeben werden kann (eines der Beispiele oben), unter dem es begrenzt und noch nicht völlig begrenzt wird.

Bemerken Sie, dass im Zusammenhang von Zwischenräumen im Raum von reellen Zahlen und gelegentlich Gebiete in einem Euklidischen Raum R ein begrenzter Satz "einen begrenzten Zwischenraum" oder "begrenztes Gebiet" genannt werden. Jedoch sollte boundedness nicht mit "dem begrenzten" im Allgemeinen verwirrt sein, der sich auf die Zahl der Elemente bezieht, nicht darauf, wie weit sich der Satz ausstreckt; Endlichkeit bezieht boundedness, aber nicht umgekehrt ein.

Kompakträume

Eine metrische RaumM ist kompakt, wenn jede Folge in der M eine Subfolge hat, die zu einem Punkt in der M zusammenläuft. Das ist als folgende Kompaktheit und, in metrischen Räumen (aber nicht in allgemeinen topologischen Räumen) bekannt, ist zu den topologischen Begriffen der zählbaren Kompaktheit und über offene Deckel definierten Kompaktheit gleichwertig.

Beispiele von metrischen Kompakträumen schließen den geschlossenen Zwischenraum [0,1] mit dem absoluten Wert metrisch, alle metrischen Räume mit begrenzt vielen Punkten ein, und der Kantor ist untergegangen. Jede geschlossene Teilmenge eines Kompaktraums ist selbst kompakt.

Ein metrischer Raum ist kompakter iff es ist abgeschlossen und völlig begrenzt. Das ist als der Lehrsatz von Heine-Borel bekannt. Bemerken Sie, dass Kompaktheit nur von der Topologie abhängt, während boundedness vom metrischen abhängt.

Das Zahl-Lemma von Lebesgue stellt fest, dass für jeden offenen Deckel einer metrischen KompaktraumM, dort eine "Zahl von Lebesgue" δ solch besteht, dass jede Teilmenge der M des Diameters und ein dauerndes Image des Kantor-Satzes ist. (Das letzte Ergebnis ist wegen Pavel Alexandrovs und Urysohns.)

Lokal kompakte und richtige Räume

Wie man

sagt, ist ein metrischer Raum lokal kompakt, wenn jeder Punkt eine Kompaktnachbarschaft hat. Euklidische Räume sind lokal kompakte aber unendlich-dimensionale Banachräume sind nicht.

Ein Raum ist wenn jeder geschlossene Ball {y richtig: d (x, y)  ist r\kompakt. Richtige Räume sind lokal kompakt, aber das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr.

Zusammenhang

Ein metrischer Raum wird verbunden, wenn die einzigen Teilmengen, die sowohl offen sind als auch geschlossenen, der leere Satz und es sind.

Ein metrischer Raum ist verbundener Pfad, wenn für irgendwelche zwei Punkte dort eine dauernde Karte mit besteht und.

Jeder Pfad hat in Verbindung gestanden Raum wird verbunden, aber das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr.

Es gibt auch lokale Versionen dieser Definitionen: Lokal verbundene Räume und lokal Pfad haben Räume verbunden.

Einfach verbundene Räume sind diejenigen, die im gewissen Sinne "Löcher" nicht haben.

Trennbare Räume

Ein metrischer Raum ist trennbarer Raum, wenn es eine zählbare dichte Teilmenge hat. Typische Beispiele sind die reellen Zahlen oder jeder Euklidische Raum. Für metrische Räume (aber nicht für allgemeine topologische Räume) ist Trennbarkeit zum zweiten countability und auch zum Eigentum von Lindelöf gleichwertig.

Typen von Karten zwischen metrischen Räumen

Denken Sie (M, d) und (M, d) sind zwei metrische Räume.

Dauernde Karten

Die Karte f:MM ist dauernder

wenn es einen (und deshalb alle) von den folgenden gleichwertigen Eigenschaften hat:

Allgemeine topologische Kontinuität: Für jeden offenen Satz U in der M ist das Vorimage f (U) in der M offen

:This ist die allgemeine Definition der Kontinuität in der Topologie.

Folgende Kontinuität: Wenn (x) eine Folge in der M ist, die zu x in der M zusammenläuft, dann läuft die Folge (f (x)) zu f (x) in der M zusammen.

:This ist folgende Kontinuität wegen Eduard Heines.

ε-δ-Definition: Für jeden x in der M und jeden ε> 0 dort besteht δ> 0 solches, dass für den ganzen y in der M wir haben

::

:This verwendet (ε, δ)-Definition der Grenze, und ist wegen Augustin Louis Cauchys.

Außerdem ist f dauernd, wenn, und nur wenn es auf jeder Kompaktteilmenge der M dauernd ist.

Das Image jedes Kompaktsatzes unter einer dauernden Funktion ist kompakt, und das Image jedes verbundenen Satzes unter einer dauernden Funktion wird verbunden.

Gleichförmig dauernde Karten

Der Karte-ƒ: M  M ist gleichförmig dauernd, wenn für jeden ε> 0 dort δ> 0 solches dass besteht

:

Jeder gleichförmig dauernde Karte-ƒ: M  M ist dauernd. Das gegenteilige ist wahr, wenn M (Heine-Kantor-Lehrsatz) kompakt ist.

Gleichförmig dauernde Karten drehen Cauchyfolgen in der M in Cauchyfolgen in der M. Für dauernde Karten ist das allgemein falsch; zum Beispiel, eine dauernde Karte

vom offenen Zwischenraum (0,1) auf die echte Linie verwandelt einige Cauchyfolgen in unbegrenzte Folgen.

Lipschitz-dauernde Karten und Zusammenziehungen

In Anbetracht einer Zahl K> 0, der Karte-ƒ: M  M ist dauernd wenn K-Lipschitz

:

Jede Lipschitz-dauernde Karte ist gleichförmig dauernd, aber das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr.

Wenn K = M und M abgeschlossen ist. Wenn ƒ eine Zusammenziehung ist, dann lässt ƒ einen einzigartigen festen Punkt (Banach befestigter Punkt-Lehrsatz) zu. Wenn M kompakt ist, kann die Bedingung ein bisschen geschwächt werden: ƒ lässt einen einzigartigen festen Punkt wenn zu

:

Isometrien

Die Karte f:MM ist eine Isometrie wenn

:

Isometrien sind immer injective; das Image eines kompakten oder ganzen Satzes unter einer Isometrie ist kompakt oder beziehungsweise abgeschlossen. Jedoch, wenn die Isometrie nicht surjective ist, dann braucht das Image eines geschlossenen (oder offen) Satz nicht (oder offen) geschlossen zu werden.

Quasiisometrien

Die Karte f: M  M ist eine Quasiisometrie, wenn dort Konstanten Ein  1 und B  0 solches dass bestehen

:

und ein unveränderlicher C  0 solches, dass jeder Punkt in der M eine Entfernung am grössten Teil von C von einem Punkt im Image f (M) hat.

Bemerken Sie, dass eine Quasiisometrie nicht erforderlich ist, dauernd zu sein. Quasiisometrien vergleichen die "groß angelegte Struktur" von metrischen Räumen; sie finden Gebrauch in der geometrischen Gruppentheorie in Bezug auf das Wort metrisch.

Begriffe der metrischen Raumgleichwertigkeit

In Anbetracht zwei metrischer Räume (M, d) und (M, d):

• Sie werden homeomorphic genannt (topologisch isomorph), wenn dort ein homeomorphism zwischen ihnen (d. h., eine Bijektion besteht, die in beiden Richtungen dauernd ist).
• Sie werden uniformic genannt (gleichförmig isomorph), wenn dort ein gleichförmiger Isomorphismus zwischen ihnen (d. h., eine Bijektion besteht, die gleichförmig in beiden Richtungen dauernd ist).
• Sie werden isometrisch genannt, wenn dort eine bijektive Isometrie zwischen ihnen besteht. In diesem Fall sind die zwei metrischen Räume im Wesentlichen identisch.
• Sie werden quasiisometrisch genannt, wenn dort eine Quasiisometrie zwischen ihnen besteht.

Topologische Eigenschaften

Metrische Räume sind Parakompakträume von Hausdorff und folglich normal (tatsächlich sie sind vollkommen normal). Eine wichtige Folge ist, dass jeder metrische Raum Teilungen der Einheit zulässt, und dass jede dauernde reellwertige auf einer geschlossenen Teilmenge eines metrischen Raums definierte Funktion zu einer dauernden Karte auf dem ganzen Raum (Erweiterungslehrsatz von Tietze) erweitert werden kann. Es ist auch wahr, dass jede reellwertige Lipschitz-dauernde auf einer Teilmenge eines metrischen Raums definierte Karte zu einer Lipschitz-dauernden Karte auf dem ganzen Raum erweitert werden kann.

Metrische Räume sind zuerst zählbar, da man Bälle mit dem vernünftigen Radius als eine Nachbarschaft-Basis verwenden kann.

Die metrische Topologie auf einer metrischen RaumM ist die rauste Topologie auf der M, hinsichtlich deren der metrische d eine dauernde Karte vom Produkt der M mit sich zu den nichtnegativen reellen Zahlen ist.

Entfernung zwischen Punkten und Sätzen; Entfernung von Hausdorff und metrischer Gromov

Eine einfache Weise, eine Funktion zu bauen, die einen Punkt von einem geschlossenen Satz (wie erforderlich, für einen völlig regelmäßigen Raum) trennt, soll die Entfernung zwischen dem Punkt und dem Satz denken. Wenn (M, d) ein metrischer Raum ist, ist S eine Teilmenge der M, und x ist ein Punkt der M, wir definieren die Entfernung von x bis S als

: wo den infimum vertritt.

Dann d (x, S) = 0 wenn, und nur wenn x dem Verschluss von S gehört. Außerdem haben wir die folgende Generalisation der Dreieck-Ungleichheit:

:

der in besonderen Shows, dass die Karte dauernd ist.

In Anbetracht zwei Teilmengen S und T der M definieren wir ihre Entfernung von Hausdorff, um zu sein

: wo das Supremum vertritt.

Im Allgemeinen kann die Entfernung von Hausdorff d (S, T) unendlich sein. Zwei Sätze sind einander in der Entfernung von Hausdorff nah, wenn jedes Element jedes Satzes einem Element des anderen Satzes nah ist.

Die Hausdorff Entfernung d dreht den Satz K (M) von allen nichtleeren Kompaktteilmengen der M in einen metrischen Raum. Man kann zeigen, dass K (M) abgeschlossen ist, wenn M abgeschlossen ist.

(Ein verschiedener Begriff der Konvergenz von Kompaktteilmengen wird durch die Konvergenz von Kuratowski gegeben.)

Man kann dann die Gromov-Hausdorff Entfernung zwischen irgendwelchen zwei metrischen Räumen definieren, indem man die minimale Entfernung von Hausdorff isometrisch eingebetteter Versionen der zwei Räume denkt. Mit dieser Entfernung wird der Satz von allen (Isometrie-Klassen) metrische Kompakträume ein metrischer Raum in seinem eigenen Recht.

Produkt metrische Räume

Wenn metrische Räume sind, und N die Euklidische Norm auf R ist, dann ein metrischer Raum ist, wo das metrische Produkt durch definiert wird

:

und die veranlasste Topologie stimmt mit der Produkttopologie überein. Durch die Gleichwertigkeit von Normen in begrenzten Dimensionen wird eine metrische Entsprechung erhalten, wenn N die Taxi-Norm, eine P-Norm, die max Norm oder eine andere Norm ist, die als die Koordinaten einer positiven N-Tupel-Zunahme nichtabnimmt (die Dreieck-Ungleichheit nachgebend).

Ähnlich kann ein zählbares Produkt von metrischen Räumen mit dem folgenden metrischen erhalten werden

:

Ein unzählbares Produkt von metrischen Räumen braucht nicht metrizable zu sein. Zum Beispiel, ist nicht erst-zählbar und ist so nicht metrizable.

Kontinuität der Entfernung

Es lohnt sich zu bemerken, dass im Fall von einem einfachen Zeilenabstand die Entfernungskarte (aus der Definition) in Bezug auf einige der obengenannten Produktmetrik gleichförmig dauernd ist, und insbesondere in Bezug auf die Produkttopologie dessen dauernd ist.

Quotient metrische Räume

Wenn M ein metrischer Raum mit metrischem d ist, und ~ eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf der M ist, dann können wir den Quotient-Satz M / ~ mit dem folgenden (pseudo)-metrischen dotieren. In Anbetracht zwei Gleichwertigkeitsklassen [x] und [y] definieren wir

:

wo der infimum alle begrenzten Folgen und mit übernommen wird. Im Allgemeinen wird das nur einen pseudometrischen definieren, d. h. bezieht das nicht notwendigerweise ein. Jedoch für nette Gleichwertigkeitsbeziehungen (z.B, diejenigen, die durch das Kleben zusammen von Polyedern entlang Gesichtern gegeben sind), ist es ein metrischer. Außerdem, wenn M ein Kompaktraum ist, dann ist die veranlasste Topologie auf der M / ~ die Quotient-Topologie.

Der Quotient metrischer d wird durch das folgende universale Eigentum charakterisiert. Wenn eine metrische Karte zwischen metrischen Räumen (d. h. für den ganzen x, y) ist, f (x) =f (y) befriedigend, wann auch immer dann die veranlasste Funktion, die dadurch gegeben ist, eine metrische Karte ist

Ein topologischer Raum ist folgend, wenn, und nur wenn es ein Quotient eines metrischen Raums ist.

Generalisationen von metrischen Räumen

• Jeder metrische Raum ist ein gleichförmiger Raum auf eine natürliche Weise, und jeder gleichförmige Raum ist natürlich ein topologischer Raum. Gleichförmige und topologische Räume können deshalb als Generalisationen von metrischen Räumen betrachtet werden.
• Wenn wir die erste Definition eines metrischen Raums als gegeben oben betrachten und die zweite Voraussetzung entspannen, erreichen wir die Konzepte eines pseudometrischen Raums oder eines verrückten metrischen Raums. Wenn wir das dritte oder hervor entfernen, erreichen wir einen quasimetrischen Raum oder einen halbmetrischen Raum.
• Wenn die Entfernungsfunktion Werte in der verlängerten Linie der reellen Zahl R  {+ } nimmt, aber sonst alle vier Bedingungen befriedigt, dann wird es einen verlängerten metrischen genannt, und der entsprechende Raum wird - metrischer Raum genannt. Wenn die Entfernungsfunktion Werte in einem (passenden) bestellten Satz nimmt (und die Dreieck-Ungleichheit entsprechend angepasst wird), dann erreichen wir den Begriff von ultrametrischen verallgemeinerten.
• Nähern Sie sich Räume sind eine Generalisation von metrischen Räumen, die auf Entfernungen des Punkts zum Satz statt Punkt-zu-Punkt-Entfernungen gestützt sind.
• Ein Kontinuitätsraum ist eine Generalisation von metrischen Räumen und posets, der verwendet werden kann, um die Begriffe von metrischen Räumen und Gebieten zu vereinigen.

Metrische Räume als bereicherte Kategorien

Der bestellte Satz kann als eine Kategorie durch die Anforderung genau eines morphism wenn und niemand sonst gesehen werden. Durch das Verwenden als das Tensor-Produkt und als die Identität wird es eine monoidal Kategorie.

Jeder metrische Raum kann jetzt als eine Kategorie bereichert angesehen werden:

• Satz
• Für jeden Satz
• Die Zusammensetzung morphism wird der einzigartige morphism im gegebenen von der Dreieck-Ungleichheit sein
• Die Identität morphism wird der einzigartige morphism sein, der von der Tatsache das gegeben ist.
• Seitdem ist eine strenge monoidal Kategorie, alle Diagramme, die für eine bereicherte Kategorie erforderlich sind, pendeln automatisch.

Sieh den Vortrag von F.W. Lawvere, der unten verzeichnet ist.

Siehe auch

• Aleksandrov-Rassias Problem
• Grundlegende Einführung in die Mathematik der gekrümmten Raum-Zeit
• Kategorie von metrischen Räumen
• Klassischer Wiener Raum
• Wörterverzeichnis von Riemannian und metrischer Geometrie
• Isometrie, Zusammenziehung kartografisch darstellende und metrische Karte
• Kontinuität von Lipschitz
• Maß (Mathematik)
• Norm (Mathematik)
• Vormetrischer Raum
• Produkt metrischer
• Raum (Mathematik)
• Topologie
• Dreieck-Ungleichheit

Referenzen

• Victor Bryant, Metrische Räume: Wiederholung und Anwendung, Universität von Cambridge Presse, 1985, internationale Standardbuchnummer 0-521-31897-1.
• Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, Ein Kurs in der Metrischen Geometrie, amerikanischen Mathematischen Gesellschaft, 2001, internationale Standardbuchnummer 0-8218-2129-6.
• Athanase Papadopoulos, Metrische Räume, Konvexität und Nichtpositive Krümmung, europäische Mathematische Gesellschaft, 2004, SBN 978-3-03719-010-4.
• Mícheál Ó Searcóid, Metrische Räume, Springer-Studentenmathematik-Reihe, 2006, internationale Standardbuchnummer 1-84628-369-8.
• Lawvere, F. William, "Metrische Räume, hat Logik verallgemeinert, und hat Kategorien geschlossen" [Zerreißen. Sem. Matte. Fis. Mailand 43 (1973), 135 — 166 (1974); (italienische Zusammenfassung)

Mit einem Autor-Kommentar: Bereicherte Kategorien in der Logik der Geometrie und Analyse. Repr. Theorie Appl. Categ. Nr. 1 (2002), 1-37.

Links

• Weit und nahe - mehrere Beispiele der Entfernung fungiert an der Knoten-Kürzung