In der Mathematik und Physik, insbesondere in der Theorie der orthogonalen Gruppen (wie die Folge oder die Gruppen von Lorentz), sind spinors Elemente eines komplizierten Vektorraums, der eingeführt ist, um den Begriff des Raumvektoren auszubreiten. Verschieden vom Tensor kann der Raum von spinors nicht auf eine einzigartige und natürliche Weise von Raumvektoren aufgebaut werden. Jedoch verwandeln sich spinors gut unter den unendlich kleinen orthogonalen Transformationen (wie unendlich kleine Folgen oder unendlich kleine Transformationen von Lorentz). Unter der vollen orthogonalen Gruppe, jedoch, verwandeln sie sich nicht ganz so, aber nur "bis zu einem Zeichen". Das bedeutet, dass eine 360 Grad-Folge einen spinor in seine Verneinung umgestaltet, und so nimmt sie eine Folge von 720 Graden für einen in sich umzugestaltenden spinor. Spezifisch sind spinors Gegenstände, die zu einem Vektorraum mit einer quadratischen Form (wie Euklidischer Raum mit dem Standard vereinigt sind, metrisch oder Raum von Minkowski mit Lorentz metrisch), und werden als Elemente von Darstellungsräumen von Algebra von Clifford begriffen. Für eine gegebene quadratische Form können mehrere verschiedene Räume von spinors mit Extraeigenschaften bestehen.

Spinors wurden im Allgemeinen von Élie Cartan 1913 entdeckt. Später wurden spinors durch die Quant-Mechanik angenommen, um die Eigenschaften des inneren winkeligen Schwungs des Elektrons und anderen fermions zu studieren. Heute genießen spinors eine breite Reihe von Physik-Anwendungen. Klassisch, spinors in drei Dimensionen werden verwendet, um die Drehung des nichtrelativistischen Elektrons und der anderen spin-½ Partikeln zu beschreiben. Über die Gleichung von Dirac sind Dirac spinors in der mathematischen Beschreibung des Quant-Staates des relativistischen Elektrons erforderlich. In der Quant-Feldtheorie beschreiben spinors den Staat von relativistischen Vielpartikel-Systemen. In der Mathematik, besonders in der Differenzialgeometrie und globalen Analyse, haben spinors seitdem gefunden, dass breite Anwendungen auf die algebraische und unterschiedliche Topologie, symplectic Geometrie, Theorie, komplizierte algebraische Geometrie, Index-Theorie und speziellen holonomy messen.

Übersicht

In der klassischen Geometrie des Raums stellt ein Vektor ein bestimmtes Verhalten aus, wenn es durch eine Folge gehandelt oder in einem Hyperflugzeug widerspiegelt wird. Jedoch im gewissen Sinne enthalten Folgen und Nachdenken feinere geometrische Information, als es in Bezug auf ihre Handlungen auf Vektoren ausgedrückt werden kann. Spinors sind gebaute Gegenstände, um mehr völlig diese Geometrie zu umfassen. (Sieh Orientierungsverwicklung.)

Es gibt im Wesentlichen zwei Fachwerk, für den Begriff eines spinor anzusehen.

Man ist theoretische Darstellung. In diesem Gesichtspunkt weiß man a priori, dass es einige Darstellungen der Lüge-Algebra der orthogonalen Gruppe gibt, die durch die üblichen Tensor-Aufbauten nicht gebildet werden kann. Diese fehlenden Darstellungen werden dann die Drehungsdarstellungen und ihre Bestandteile spinors etikettiert. In dieser Ansicht muss ein spinor einer Darstellung des doppelten Deckels der Folge-Gruppe, oder mehr allgemein der verallgemeinerten speziellen orthogonalen Gruppe auf Räumen mit der metrischen Unterschrift gehören. Diese doppelten Deckel sind Lüge-Gruppen, genannt die Drehungsgruppen. Alle Eigenschaften von spinors, und ihre Anwendungen und abgeleitete Gegenstände, werden zuerst in der Drehungsgruppe manifestiert.

Der andere Gesichtspunkt ist geometrisch. Man kann den spinors ausführlich bauen, und dann untersuchen, wie sie sich unter der Handlung der relevanten Lüge-Gruppen benehmen. Diese letzte Annäherung ist im Vorteil, eine konkrete und elementare Beschreibung dessen zur Verfügung zu stellen, wie ein spinor ist. Jedoch wird solch eine Beschreibung unhandlich, wenn komplizierte Eigenschaften von spinors, wie Identität von Fierz, erforderlich sind.

Algebra von Clifford

Die Sprache von Algebra von Clifford (hat auch geometrische Algebra genannt), stellt ein ganzes Bild der Drehungsdarstellungen aller Drehungsgruppen und die verschiedenen Beziehungen zwischen jenen Darstellungen über die Klassifikation von Algebra von Clifford zur Verfügung. Es entfernt größtenteils das Bedürfnis nach Ad-Hoc-Aufbauten.

Im Detail, wenn V ein endlich-dimensionaler komplizierter Vektorraum mit der nichtdegenerierten bilinearen Form g ist, ist die Algebra von Clifford die Algebra, die durch V zusammen mit der Antiumwandlungsbeziehung erzeugt ist. Es ist eine abstrakte Version der Algebra, die durch das Gamma oder Pauli matrices erzeugt ist. Die Algebra von Clifford C  (C) ist zur Algebra des Komplexes matrices algebraisch isomorph, wenn gleich ist; oder die Algebra von zwei Kopien des matrices, wenn seltsam ist. Es hat deshalb eine einzigartige nicht zu vereinfachende Darstellung (auch hat einfaches Modul von Clifford genannt), allgemein angezeigt durch Δ, dessen Dimension 2 ist. Die Lüge-Algebra wird als eine Lüge-Subalgebra im ausgestatteten mit dem Algebra-Umschalter von Clifford eingebettet, wie Klammer Liegen. Deshalb ist der Raum Δ auch eine Lüge-Algebra-Darstellung von genannten eine Drehungsdarstellung. Wenn n seltsam ist, ist diese Darstellung nicht zu vereinfachend. Wenn n sogar ist, spaltet er sich wieder in zwei nicht zu vereinfachende Darstellungen genannt die Halbdrehungsdarstellungen auf.

Nicht zu vereinfachende Darstellungen über den reals im Fall, wenn V ein echter Vektorraum ist, sind viel mehr kompliziert, und der Leser wird auf den Algebra-Artikel von Clifford für mehr Details verwiesen.

Fachsprache in der Physik

Der typischste Typ von spinor, Dirac spinor, ist ein Element der grundsätzlichen Darstellung der complexified Algebra von Clifford, in die die Drehungsgruppendrehung (p, q) eingebettet werden kann. Auf einem 2k- oder 2k+1-dimensional Raum kann Dirac spinor als ein Vektor von 2 komplexen Zahlen vertreten werden. (Sieh Spezielle einheitliche Gruppe.) In sogar Dimensionen ist diese Darstellung, wenn genommen, als eine Darstellung dessen reduzierbar und kann in zwei zersetzt werden: die linkshändigen und rechtshändigen Darstellungen von Weyl spinor. Außerdem manchmal hat die non-complexified Version dessen eine kleinere echte Darstellung, die Darstellung von Majorana spinor. Wenn das in einer gleichen Dimension geschieht, wird sich die Darstellung von Majorana spinor manchmal in zwei Darstellungen von Majorana-Weyl spinor zersetzen.

Aller diese besteht nur die Darstellung von Dirac in allen Dimensionen. Dirac und Weyl spinors sind komplizierte Darstellungen, während Majorana spinors echte Darstellungen sind.

Spinors in der Darstellungstheorie

Eine mathematische Hauptanwendung des Aufbaus von spinors soll möglich der ausführliche Aufbau von geradlinigen Darstellungen der Lüge-Algebra der speziellen orthogonalen Gruppen, und folglich spinor Darstellungen der Gruppen selbst machen. An einem tieferen Niveau, wie man gefunden hat, sind spinors am Herzen von Annäherungen an den Index-Lehrsatz gewesen, und haben Aufbauten insbesondere für getrennte Reihe-Darstellungen von halbeinfachen Gruppen zur Verfügung gestellt.

Die Drehungsdarstellungen der speziellen orthogonalen Lüge-Algebra sind von den Tensor-Darstellungen bemerkenswert, die durch den Aufbau von Weyl durch die Gewichte gegeben sind. Wohingegen die Gewichte der Tensor-Darstellungen ganze Zahl geradlinige Kombinationen der Wurzeln der Lüge-Algebra sind, sind diejenigen der Drehungsdarstellungen halbganze Zahl geradlinige Kombinationen davon. Ausführliche Details können im Drehungsdarstellungsartikel gefunden werden.

Geschichte

Die allgemeinste mathematische Form von spinors wurde von Élie Cartan 1913 entdeckt. Das Wort "spinor" wurde von Paul Ehrenfest in seiner Arbeit an der Quant-Physik ins Leben gerufen.

Spinors wurden zuerst auf die mathematische Physik von Wolfgang Pauli 1927 angewandt, als er Drehung matrices eingeführt hat. Im nächsten Jahr hat Paul Dirac die völlig relativistische Theorie der Elektrondrehung entdeckt, indem er die Verbindung zwischen spinors und der Gruppe von Lorentz gezeigt hat. Vor den 1930er Jahren, Dirac, haben Piet Hein und andere am Institut von Niels Bohr Spiele wie Tangloids geschaffen, um die Rechnung von spinors zu unterrichten und zu modellieren.

Räume von Spinor wurden als verlassen Ideale einer Matrixalgebra 1930 von G. Juvet und von Fritz Sauter vertreten. Mehr spezifisch, anstatt spinors, wie Komplex-geschätzt, zu vertreten, hatten 2. Spaltenvektoren als Pauli getan, sie haben sie, wie Komplex-geschätzt, 2x2 matrices vertreten, in dem nur die Elemente der linken Säule Nichtnull sind. Auf diese Weise ist der spinor Raum ein minimales linkes Ideal in Mat (2, C) geworden.

1947 hat Marcel Riesz spinor Räume als Elemente eines minimalen linken Ideales von Algebra von Clifford gebaut. In 1966/1967 hat David Hestenes spinor Räume durch die gleiche Subalgebra C  der Algebra von Dirac C  ersetzt.

Beispiele

Einige einfache Beispiele von spinors in niedrigen Dimensionen entstehen daraus, die sogar sortierten Subalgebra der Algebra von Clifford zu denken. Das ist eine Algebra, die von einer orthonormalen Basis von gegenseitig orthogonalen Vektoren unter der Hinzufügung und Multiplikation, p aufgebaut ist, von denen Norm +1 haben, und dessen q Norm −1, mit der Produktregel für die Basisvektoren haben

:

- 1 & i=j, \, ich \in (p+1 \ldots n) \\

- e_j e_i & ich \not = j. \end {Matrix} </Mathematik>

Zwei Dimensionen

Die Algebra von Clifford C  (R) wird von einer Basis eines Einheitsskalars, 1, zwei orthogonale Einheitsvektoren, σ und σ und ein Einheitspseudoskalar aufgebaut. Aus den Definitionen oben ist es das offensichtlich, und.

Die gleiche Subalgebra C  (R), abgemessen durch sogar sortierte Basiselemente von C  (R), bestimmt den Raum von spinors über seine Darstellungen. Es wird aus echten geradlinigen Kombinationen 1 und σσ zusammengesetzt. Als eine echte Algebra C  ist (R) zum Feld von komplexen Zahlen C isomorph. Infolgedessen lässt es eine Konjugationsoperation (analog der komplizierten Konjugation), manchmal genannt die Rückseite eines Elements von Clifford zu, das durch definiert ist

:.

der, durch die Beziehungen von Clifford, geschrieben werden kann

:.

Die Handlung eines gleichen Elements von Clifford auf Vektoren, die als 1-abgestufte Elemente von C  betrachtet sind, wird bestimmt, indem sie einen allgemeinen Vektoren zum Vektoren kartografisch dargestellt

wird

:

wo γ der verbundene von γ ist, und das Produkt Multiplikation von Clifford ist. In dieser Situation ist ein spinor eine gewöhnliche komplexe Zahl. Die Handlung von γ auf einem spinor φ wird durch die gewöhnliche komplizierte Multiplikation gegeben:

:.

Eine wichtige Eigenschaft dieser Definition ist die Unterscheidung zwischen gewöhnlichen Vektoren und spinors, der darin manifestiert ist, wie die sogar sortierten Elemente jedem von ihnen unterschiedlich folgen. Im Allgemeinen offenbart eine Schnellkontrolle der Beziehungen von Clifford, dass sich sogar sortierte Elemente paaren - pendeln mit gewöhnlichen Vektoren:

:.

Andererseits handelt das Vergleichen mit der Handlung auf spinors, γ auf gewöhnlichen Vektoren als das Quadrat seiner Handlung auf spinors.

Denken Sie zum Beispiel, die Implikation, die das für Flugzeug-Folgen hat. Das Drehen eines Vektoren durch einen Winkel von θ entspricht, so dass die entsprechende Handlung auf spinors darüber ist. Im Allgemeinen, wegen des logarithmischen Ausbreitens, ist es unmöglich, ein Zeichen auf eine konsequente Weise zu wählen. So wird die Darstellung von Flugzeug-Folgen auf spinors zwei geschätzt.

In Anwendungen von spinors in zwei Dimensionen ist es üblich, die Tatsache auszunutzen, dass die Algebra von sogar sortierten Elementen (der gerade der Ring von komplexen Zahlen ist) zum Raum von spinors identisch ist. Also, durch den Missbrauch der Sprache werden die zwei häufig verschmelzt. Man kann dann über "die Handlung eines spinor auf einem Vektoren sprechen." In einer allgemeinen Einstellung sind solche Behauptungen sinnlos. Aber in Dimensionen 2 und 3 (wie angewandt, zum Beispiel, zur Computergrafik) haben sie Sinn.

Beispiele

• Das sogar sortierte Element

::

:corresponds zu einer Vektor-Folge von 90 ° von &sigma; ringsherum zu &sigma; der durch das Bestätigen dem von überprüft werden kann

::

:It entspricht einer spinor Folge von nur 45 ° jedoch:

::

\frac {a_1+a_2} {\\sqrt {2}} + \frac {-a_1+a_2} {\\sqrt {2} }\\sigma_1\sigma_2 </Mathematik>

• Ähnlich entspricht das sogar sortierte Element γ  = σσ einer Vektor-Folge von 180 °:

::

: aber eine spinor Folge von nur 90 °:

::

a_2 - a_1\sigma_1\sigma_2 </Mathematik>

• Weiter fortsetzend, entspricht das sogar sortierte Element γ  =  1 einer Vektor-Folge von 360 °:

::

: aber eine spinor Folge von 180 °.

Drei Dimensionen

:Main-Artikel Spinors in drei Dimensionen, Quaternions und Raumfolge

Die Algebra von Clifford C  (R) wird von einer Basis eines Einheitsskalars, 1, drei orthogonale Einheitsvektoren, σ, σ und σ, die drei Einheit bivectors σσ, σσ, σσ und des Pseudoskalars i = σσσ aufgebaut. Es ist aufrichtig, um dass (σ) = (σ) = (σ) = 1, und zu zeigen

(σσ) = (σσ) = (σσ) = (σσσ) = 1.

Die Subalgebra von sogar sortierten Elementen wird aus Skalarausdehnungen, zusammengesetzt

:

und Vektor-Folgen

:

wo

:

& = & \cos (\theta/2) - ich \{a_1 \sigma_1 + a_2 \sigma_2 + a_3 \sigma_3\} \sin (\theta/2) \\

& = & \cos (\theta/2) - ich v \sin (\theta/2) \end {Matrix-}\\right\} </Mathematik> (1)

entspricht einer Vektor-Folge durch einen Winkel θ über eine Achse, die durch einen Einheitsvektor v = aσ  +  aσ  +  aσ\definiert ist

Als ein spezieller Fall ist es leicht, das zu sehen, wenn v = σ das die σσ in der vorherigen Abteilung betrachtete Folge wieder hervorbringt; und dass solche Folge die Koeffizienten von Vektoren in der σ Richtung invariant, seitdem verlässt

:

(\cos^2 (\theta/2) + \sin^2 (\theta/2)) \, \sigma_3

\sigma_3. </Mathematik>

Die bivectors σσ, σσ und σσ sind tatsächlich der quaternions von Hamilton i, j und k, entdeckt 1843:

:

\mathbf {j} =-\sigma_3 \sigma_1 =-i \sigma_2 \\

\mathbf {k} =-\sigma_1 \sigma_2 =-i \sigma_3. \end {Matrix} </Mathematik>

Mit der Identifizierung der sogar sortierten Elemente mit der Algebra H quaternions als im Fall von zwei Dimensionen ist die einzige Darstellung der Algebra von sogar sortierten Elementen auf sich. So sind die (echten) spinors in drei Dimensionen quaternions, und die Handlung eines sogar sortierten Elements auf einem spinor wird durch die gewöhnliche quaternionic Multiplikation gegeben.

Bemerken Sie, dass der Ausdruck (1) für eine Vektor-Folge durch einen Winkel θ, der Winkel, der in γ erscheint, halbiert wurde. So die spinor Folge γ (ψ)  = γψ (gewöhnliche quaternionic Multiplikation) wird den spinor ψ durch einen Winkel eine Hälfte des Maßes des Winkels der entsprechenden Vektor-Folge rotieren lassen. Wieder wird das Problem, eine Vektor-Folge zu einer spinor Folge zu heben, zwei geschätzt: Der Ausdruck (1) mit (180 °  + θ/2) im Platz von θ/2 wird dieselbe Vektor-Folge, aber die Verneinung der spinor Folge erzeugen.

Die spinor/quaternion Darstellung von Folgen im 3D wird immer mehr überwiegend in der Computergeometrie und den anderen Anwendungen, wegen der bemerkenswerten Kürze der entsprechenden Drehungsmatrix und der Einfachheit, mit der sie zusammen multipliziert werden können, um die vereinigte Wirkung von aufeinander folgenden Folgen über verschiedene Äxte zu berechnen.

Ausführliche Aufbauten

Ein Raum von spinors kann ausführlich mit konkreten und abstrakten Aufbauten gebaut werden. Der

die Gleichwertigkeit dieser Aufbauten ist eine Folge der Einzigartigkeit der spinor Darstellung des Komplexes Algebra von Clifford. Für ein ganzes Beispiel in der Dimension 3, sieh spinors in drei Dimensionen.

Bestandteil spinors

In Anbetracht eines Vektorraums V und einer quadratischen Form g eine ausführliche Matrixdarstellung der Algebra von Clifford kann wie folgt definiert werden. Wählen Sie eine orthonormale Basis für V d. h. wo und dafür. Lassen. Befestigen Sie eine Reihe von solchen matrices dass (d. h. befestigen eine Tagung für das Gamma matrices). Dann streckt sich die Anweisung einzigartig bis zu einen Algebra-Homomorphismus durch das Senden des Monoms in der Algebra von Clifford zum Produkt von matrices und das Verlängern geradlinig aus. Der Raum, auf dem das Gamma matrices Tat jetzt ein Raum von spinors ist. Man muss solchen matrices ausführlich jedoch bauen. In der Dimension 3, das Gamma matrices definierend, um das Sigma von Pauli zu sein, verursacht matrices den vertrauten zwei Bestandteil spinors verwendet in nicht die relativistische Quant-Mechanik. Ebenfalls mit 4×4 verursacht Gamma von Dirac matrices 4 bildende in 3+1 dimensionaler relativistischer Quant-Feldtheorie verwendete Dirac spinors. Im Allgemeinen, um Gamma matrices von der erforderlichen Art zu definieren, kann man Weyl-Brauer matrices verwenden.

In diesem Aufbau die Darstellung der Algebra von Clifford C  (V, g), die Lüge-Algebra so (V, g), und die Drehungsgruppendrehung (V, g), hängen alle von der Wahl der orthonormalen Basis und der Wahl des Gammas matrices ab. Das kann Verwirrung verursachen

über die Vereinbarung, aber invariants wie Spuren sind von Wahlen unabhängig. Insbesondere alle physisch erkennbaren Mengen müssen solcher Wahlen unabhängig sein. In diesem Aufbau kann ein spinor als ein Vektor von 2 komplexen Zahlen vertreten werden und wird mit spinor Indizes (gewöhnlich α, β, γ) angezeigt. In der Physik-Literatur wird Auszug spinor Indizes häufig verwendet, um spinors anzuzeigen, selbst wenn ein Auszug spinor Aufbau verwendet wird.

Auszug spinors

Es gibt mindestens zwei verschiedene aber im Wesentlichen gleichwertige, Weisen, spinors abstrakt zu definieren. Eine Annäherung bemüht sich, die minimalen Ideale für die linke Handlung von C  (V, g) auf sich zu identifizieren. Das sind Subräume der Algebra von Clifford der Form C  (V, g) ω, die offensichtliche Handlung von C  (V, g) durch die nach links Multiplikation zulassend: c : xω  cxω. Es gibt zwei Schwankungen auf diesem Thema: Man kann entweder ein primitives Element ω finden, der ein nilpotent Element der Algebra von Clifford oder dasjenige ist, das ein idempotent ist. Der Aufbau über nilpotent Elemente ist im Sinn grundsätzlicher, dass ein idempotent dann davon erzeugt werden kann. Auf diese Weise werden die spinor Darstellungen mit bestimmten Subräumen der Algebra von Clifford selbst identifiziert. Die zweite Annäherung soll einen Vektorraum mit einem ausgezeichneten Subraum V bauen, und dann die Handlung der Algebra von Clifford äußerlich zu diesem Vektorraum angeben.

In jeder Annäherung ist der grundsätzliche Begriff der eines isotropischen Subraums W. Jeder Aufbau hängt von einer anfänglichen Freiheit in der Auswahl dieses Subraums ab. In physischen Begriffen entspricht das der Tatsache, dass es kein Maß-Protokoll gibt, das eine Basis des Drehungsraums angeben kann, selbst wenn eine bevorzugte Basis V gegeben wird.

Als oben lassen wir (V, g), ein n-dimensional komplizierter mit einer nichtdegenerierten bilinearen Form ausgestatteter Vektorraum zu sein. Wenn V ein echter Vektorraum ist, dann ersetzen wir V durch seinen complexification V  C und lassen g die veranlasste bilineare Form auf V  C anzeigen. Lassen Sie W ein maximaler isotropischer Subraum, d. h. ein maximaler Subraum V solch dass g  =  0 sein. Wenn n  =  2k sogar dann W&prime, gelassen wird; seien Sie ein isotropischer zu W ergänzender Subraum. Wenn n  =  2k+1 seltsam ist, lassen W&prime; seien Sie ein maximaler isotropischer Subraum mit WW&prime; = 0, und lassen U die orthogonale Ergänzung WW&prime sein;. sowohl in sogar als auch in sonderbare dimensionale Fälle W und W&prime; haben Sie Dimension k. Im sonderbaren dimensionalen Fall ist U ein dimensionaler, abgemessenes durch einen Einheitsvektor u.

Minimale Ideale

Seitdem W&prime; ist Multiplikation von Elementen W&prime isotropisch; innerhalb von C  (V, g) ist verdrehen. Folglich Vektoren

in W&prime; pendeln Sie anti, und ist

gerade die Außenalgebra W&prime;. folglich, das k-fold Produkt W&prime; mit sich, W&prime; ist eindimensional. Lassen Sie ω ein Generator W&prime sein;. in Bezug auf eine Basis in W&prime; eine Möglichkeit ist, zu setzen

:

Bemerken Sie, dass ω = 0 (d. h., ω nilpotent des Auftrags 2 ist), und außerdem, für alle. Die folgenden Tatsachen können leicht bewiesen werden:

1. Wenn n = 2k, dann ist das linke Ideal Δ = C  (V, g) ω ein minimales linkes Ideal. Außerdem spaltet sich das in die zwei Drehungsräume Δ = C ω und Δ = C ω auf der Beschränkung zur Handlung der gleichen Algebra von Clifford auf.
2. Wenn n = 2k+1, dann zersetzt die Handlung des Einheitsvektors u auf dem linken Ideal den Raum in ein Paar von isomorphem nicht zu vereinfachendem eigenspaces (beide, die durch Δ angezeigt sind), entsprechend dem jeweiligen eigenvalues +1 und 1.

Nehmen Sie im Detail zum Beispiel an, dass n gleich ist. Nehmen Sie an, dass ich eine Nichtnull verlassen Ideal bin, das darin enthalten ist. Wir werden zeigen, dass ich tatsächlich durch den Beweis gleich sein muss, dass es ein Nichtnullskalarvielfache von ω enthält.

Befestigen Sie eine Basis w von W und einer Ergänzungsbasis w&prime; W&prime; so dass

:ww&prime; +w&prime; w = &delta; und

: (w) = 0, (w&prime) = 0.

Bemerken Sie, dass jedes Element von mir die Form αω, auf Grund von unserer Annahme das haben muss. Lassen Sie αω  ich jedes solches Element sein. Mit der gewählten Basis können wir schreiben

:

wo Skalare sind, und die B Hilfselemente der Algebra von Clifford sind.

Beobachten Sie jetzt wo das Produkt

:

Picken Sie jedes Nichtnullmonom in der Vergrößerung von α mit dem maximalen homogenen Grad in den Elementen w auf:

: (keine Summierung einbezogen),

dann

:

ist ein Nichtnullskalarvielfache von ω, wie erforderlich.

Bemerken Sie, dass für n sogar diese Berechnung auch dem zeigt

:.

als ein Vektorraum. In der letzten Gleichheit haben wir wieder das verwendet W ist isotropisch. In Physik-Begriffen zeigt das, dass Δ wie ein Raum von Fock durch das Schaffen spinors aufgebaut wird, antipendelnde Entwicklungsmaschinenbediener im W-Folgen einem Vakuum ω verwendend.

Außenalgebra-Aufbau

Die Berechnung mit dem minimalen idealen Aufbau weist darauf hin, dass eine spinor Darstellung kann

werden Sie auch direkt mit der Außenalgebra des isotropischen Subraums W definiert.

Lassen Sie zeigen die Außenalgebra von W betrachtet als Vektorraum nur an. Das wird die Drehungsdarstellung sein, und seine Elemente werden spinors genannt werden.

Die Handlung der Algebra von Clifford auf Δ wird zuerst durch das Geben der Handlung eines Elements V auf Δ, und dann die Vertretung definiert, dass diese Handlung die Beziehung von Clifford respektiert und sich so bis zu einen Homomorphismus der vollen Algebra von Clifford ins Endomorphismus-Ringende (Δ) durch das universale Eigentum von Algebra von Clifford ausstreckt. Die Details unterscheiden sich ein bisschen gemäß, ob die Dimension V sogar oder seltsam ist.

Wenn dunkel (V) sogar, wo W&prime ist; ist die gewählte isotropische Ergänzung. Folglich zersetzt sich irgendwelcher einzigartig als mit und'