In der Mathematik ist eine Quadratwurzel einer Zahl a eine solche Nummer y, dass y = a, oder, mit anderen Worten, eine Nummer y, deren Quadrat (das Ergebnis, die Zahl allein oder y × y zu multiplizieren), a ist. Zum Beispiel, 4 ist eine Quadratwurzel 16 weil 4 = 16.

Jede nichtnegative reelle Zahl ein Haben einer einzigartigen nichtnegativen Quadratwurzel, genannt die Hauptquadratwurzel, die dadurch angezeigt wird, wo  radikales Zeichen genannt wird. Zum Beispiel ist die Hauptquadratwurzel 9 3, angezeigt, weil und 3 nichtnegativ ist. Der Begriff, dessen Wurzel betrachtet wird, ist als der radicand bekannt. Der radicand ist die Zahl oder der Ausdruck unter dem radikalen Zeichen, in diesem Beispiel 9.

Jede positive Zahl ein Haben von zwei Quadratwurzeln: der positiv ist, und, der negativ ist. Zusammen werden diese zwei Wurzeln angezeigt (sieh ± Schnellschrift). Obwohl die Hauptquadratwurzel einer positiven Zahl nur eine seiner zwei Quadratwurzeln ist, wird die Benennung "die Quadratwurzel" häufig verwendet, um sich auf die Hauptquadratwurzel zu beziehen. Für positiven a kann die Hauptquadratwurzel auch in der Hochzahl-Notation, als a geschrieben werden.

Quadratwurzeln von negativen Zahlen können innerhalb des Fachwerks von komplexen Zahlen besprochen werden. Mehr allgemein können Quadratwurzeln in jedem Zusammenhang betrachtet werden, in dem ein Begriff "des Quadrierens" von einigen mathematischen Gegenständen (einschließlich Algebra von matrices, Endomorphismus-Ringen, usw.) definiert wird

Quadratwurzeln von positiven ganzen Zahlen, die nicht vollkommene Quadrate sind, sind immer irrationale Zahlen: Zahlen nicht expressible als ein Verhältnis von zwei ganzen Zahlen (das heißt können sie nicht genau als m/n geschrieben werden, wo M und n ganze Zahlen sind). Das ist der Lehrsatz Euklid X, 9 fast sicher wegen Theaetetus, der auf um 380 v. Chr. zurückgeht.

Wie man

annimmt, geht der besondere Fall früher auf den Pythagoreer zurück und wird Hippasus traditionell zugeschrieben. Es ist genau die Länge der Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1.

Eigenschaften

Die Hauptquadratwurzel-Funktion (gewöhnlich gerade gekennzeichnet als die "Quadratwurzel-Funktion") ist eine Funktion, die den Satz von nichtnegativen reellen Zahlen auf sich kartografisch darstellt. In geometrischen Begriffen stellt die Quadratwurzel-Funktion das Gebiet eines Quadrats zu seiner Seitenlänge kartografisch dar.

Die Quadratwurzel von x ist vernünftig, wenn, und nur wenn x eine rationale Zahl ist, die als ein Verhältnis von zwei vollkommenen Quadraten vertreten werden kann. (Sieh Quadratwurzel 2 für Beweise, dass das eine irrationale Zahl und quadratische Irrationalzahl für einen Beweis für alle nichtquadratischen natürlichen Zahlen ist.) Die Quadratwurzel-Funktion stellt rationale Zahlen in algebraische Zahlen (eine Obermenge der rationalen Zahlen) kartografisch dar.

Für alle reellen Zahlen x

:

\sqrt {x^2} = \left|x\right | =

\begin {Fälle}

x, & \mbox {wenn} x \ge 0 \\

- x, & \mbox {wenn} x

Für alle nichtnegativen reellen Zahlen x und y,

:

und

:

Die Quadratwurzel-Funktion ist für den ganzen nichtnegativen x und differentiable für den ganzen positiven x dauernd. Wenn f die Quadratwurzel-Funktion anzeigt, wird durch seine Ableitung gegeben:

:

Die Reihe von Taylor von  über x = 0 läuft für |x  1 zusammen und wird durch gegeben

:

der ein spezieller Fall einer binomischen Reihe ist.

Berechnung

Die meisten Taschenrechenmaschinen haben einen Quadratwurzel-Schlüssel. Computerspreadsheets und andere Software werden auch oft verwendet, um Quadratwurzeln zu berechnen. Taschenrechenmaschinen führen normalerweise effiziente Routinen durch, um die Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus oder allgemeinen Logarithmus zu schätzen, und sie zu verwenden, um die Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl ein Verwenden der Identität zu schätzen

: oder

Dieselbe Identität wird ausgenutzt, wenn man Quadratwurzeln mit Logarithmus-Tabellen oder Rechenschiebern schätzt.

Die allgemeinste wiederholende Methode der Quadratwurzel-Berechnung ist mit der Hand als die "babylonische Methode" oder "Die Methode des Reihers" nach dem griechischen Philosoph-Reiher des ersten Jahrhunderts Alexandrias bekannt, der es zuerst beschrieben hat.

Die Methode verwendet dasselbe wiederholende Schema wie die Prozess-Erträge des Newtons-Raphson, wenn angewandt, auf die Funktion mit der Tatsache, dass sein Hang an jedem Punkt ist, aber es um viele Jahrhunderte zurückdatiert.

Es schließt einen einfachen Algorithmus ein, der auf eine Zahl hinausläuft, die an der wirklichen Quadratwurzel jedes Mal näher ist, wenn es wiederholt wird. Die Grundidee besteht darin, dass, wenn x eine Überschätzung zur Quadratwurzel einer nichtnegativen reellen Zahl dann ist, eine Unterschätzung sein wird, und so, wie man vernünftig erwarten kann, stellt der Durchschnitt dieser zwei Zahlen eine bessere Annäherung zur Verfügung (obwohl der formelle Beweis dieser Behauptung von der Ungleichheit der Arithmetik und geometrischen Mittel abhängt, der zeigt, dass dieser Durchschnitt immer eine Überschätzung der Quadratwurzel, wie bemerkt, unten ist, so Konvergenz sichernd). X zu finden:

1. Fangen Sie mit einem willkürlichen positiven Anfang-Wertx an (das nähere an der Quadratwurzel von a, die weniger Wiederholungen werden erforderlich sein, um die gewünschte Präzision zu erreichen).
2. Ersetzen Sie x durch den Durchschnitt zwischen x und a/x, der ist: Das Schema des Newtons-Raphson vertretend, das, hinausläuft

(Es ist genügend, einen ungefähren Wert des Durchschnitts zu nehmen, um Konvergenz zu sichern)

,

1. Wiederholen Sie Schritt 2 bis x, und a/x sind so nah wie gewünscht.

Wenn positiv zu sein, die Konvergenz "quadratisch" ist, was bedeutet, dass im Nähern der Grenze sich die Zahl von richtigen Ziffern grob in jeder folgenden Wiederholung verdoppelt. Wenn = 0 die Konvergenz nur geradlinig ist.

Das Verwenden der Identität

:

die Berechnung der Quadratwurzel einer positiven Zahl kann auf diese einer Zahl in der Reihe reduziert werden. Das vereinfacht Entdeckung eines Anfang-Werts für die wiederholende Methode, die der Quadratwurzel nah ist, für die eine polynomische oder piecewise-geradlinige Annäherung verwendet werden kann.

Die Zeitkompliziertheit, für eine Quadratwurzel mit n Ziffern der Präzision zu schätzen, ist zu dass davon gleichwertig, zwei n-digit Zahlen zu multiplizieren.

Eine andere nützliche Methode, für die Quadratwurzel zu berechnen, ist der Veränderliche n-te Wurzelalgorithmus, hat sich beworben.

Quadratwurzeln von negativen und komplexen Zahlen

Das Quadrat jeder positiven oder negativen Zahl ist positiv, und das Quadrat 0 ist 0. Deshalb kann keine negative Zahl eine echte Quadratwurzel haben. Jedoch ist es möglich, mit einem mehr einschließlichen Satz von Zahlen, genannt die komplexen Zahlen zu arbeiten, der wirklich Lösungen der Quadratwurzel einer negativen Zahl enthält. Das wird durch das Einführen einer neuen Zahl getan, die von mir angezeigt ist (manchmal j, besonders im Zusammenhang der Elektrizität, wo "ich" traditionell elektrischen Strom vertrete) und die imaginäre Einheit genannt hat, die solch dass ich =-1 definiert wird. Mit dieser Notation können wir an mich als die Quadratwurzel-1 denken, aber bemerken, dass wir auch (-i) = ich =-1 haben, und so ist-i auch eine Quadratwurzel-1. Durch die Tagung ist die Hauptquadratwurzel-1 ich, oder mehr allgemein, wenn x eine positive Zahl ist, dann ist die Hauptquadratwurzel von-x

:

Die richtige Seite (sowie seine Verneinung) ist tatsächlich eine Quadratwurzel von-x, seitdem

:

Für jede komplexe Nichtnullzahl z dort bestehen genau zwei Zahlen w solch dass w = z: die Hauptquadratwurzel von z (definiert unten), und seine Verneinung.

Quadratwurzel einer imaginären Zahl

Die Quadratwurzel von wird mir durch gegeben

:

Dieses Ergebnis kann algebraisch erhalten werden, indem es a und solcher b dass gefunden

wird:

oder gleichwertig

:

Das gibt die zwei gleichzeitigen Gleichungen

:

2ab = 1 \, \! \\

a^2 - b^2 = 0 \, \!

\end {Fälle} </Mathematik>

mit Lösungen

:

Die Wahl der Hauptwurzel gibt dann

:

Das Ergebnis kann auch durch das Verwenden der Formel von de Moivre und das Setzen erhalten werden

:

der erzeugt

:

\sqrt {ich} & = \left (\cos\left (\frac {\\Pi} {2} \right) + i\sin \left (\frac {\\Pi} {2} \right) \right) ^ {\\frac {1} {2}} \\

& = \cos\left (\frac {\\Pi} {4} \right) + i\sin\left (\frac {\\Pi} {4} \right) \\

& = \frac {1} {\\sqrt {2}} + i\left (\frac {1} {\\sqrt {2}} \right) = \frac {1} {\\sqrt {2}} (1+i). \\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Hauptquadratwurzel einer komplexen Zahl

Um eine Definition für die Quadratwurzel zu finden, die uns erlaubt, einen einzelnen Wert, genannt den Hauptwert durchweg zu wählen, fangen wir an, indem wir bemerken, dass jede komplexe Zahl x + iy als ein Punkt im Flugzeug, (x, y) angesehen werden kann, hat verwendende Kartesianische Koordinaten ausgedrückt. Derselbe Punkt kann mit Polarkoordinaten als das Paar wiederinterpretiert werden (r, φ), wo r  0 die Entfernung des Punkts vom Ursprung ist, und φ der Winkel ist, den die Linie vom Ursprung bis den Punkt mit dem positiven echten (x) Achse macht. In der komplizierten Analyse wird dieser Wert r e herkömmlich geschrieben. Wenn

:

dann definieren wir die Hauptquadratwurzel von z wie folgt:

:

Die Hauptquadratwurzel-Funktion wird so mit der nichtpositiven echten Achse als eine Zweigkürzung definiert. Die Hauptquadratwurzel-Funktion ist holomorphic überall außer auf dem Satz von nichtpositiven reellen Zahlen (auf ausschließlich negativem reals es ist nicht sogar dauernd). Die obengenannte Reihe von Taylor für  bleibt gültig für komplexe Zahlen x mit

Algebraische Formel

Wenn die Zahl mit Kartesianischen Koordinaten ausgedrückt wird, kann die folgende Formel für die Hauptquadratwurzel verwendet werden:

:

wo das Zeichen des imaginären Teils der Wurzel genommen wird, um dasselbe als das Zeichen des imaginären Teils der ursprünglichen Zahl und der zu sein

:

ist der absolute Wert oder das Modul der ursprünglichen Zahl. Der echte Teil des Hauptwerts ist immer nichtnegativ.

Die andere Quadratwurzel ist einfach-1mal die Hauptquadratwurzel; mit anderen Worten resümieren die zwei Quadratwurzeln einer Zahl zu 0.

Referenzen

Wegen der diskontinuierlichen Natur der Quadratwurzel-Funktion im komplizierten Flugzeug ist das Gesetz  =  im Allgemeinen nicht wahr. (Gleichwertig kommt das Problem wegen der Freiheit in der Wahl des Zweigs vor. Der gewählte Zweig kann oder kann die Gleichheit nicht nachgeben; tatsächlich braucht die Wahl des Zweigs für die Quadratwurzel nicht den Wert von  überhaupt zu enthalten, zum Misserfolg der Gleichheit führend. Ein ähnliches Problem erscheint mit dem komplizierten Logarithmus und der Beziehung log z + log w = Klotz (zw).) Falsch das Annehmen dieses Gesetzes unterliegt mehreren fehlerhaften "Beweisen", zum Beispiel der folgende, dass-1 = 1 zeigend:

:

\begin {richten }\aus

- 1 &= ich \cdot i \\

&= \sqrt {-1} \cdot \sqrt {-1} \\

&= \sqrt {-1 \cdot-1} \\

&= \sqrt {1} \\

&= 1

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die dritte Gleichheit kann nicht gerechtfertigt werden (sieh ungültigen Beweis). Es kann gemacht werden, durch das Ändern der Bedeutung von  zu halten, so dass das nicht mehr die Hauptquadratwurzel vertritt (sieh oben), aber wählt einen Zweig für die Quadratwurzel aus, die () enthält · (). Die linke Seite wird irgendein

:

wenn der Zweig +i oder einschließt

:

wenn der Zweig-i einschließt, während die Rechte wird

:

wo die letzte Gleichheit,  =-1, eine Folge der Wahl des Zweigs in der Wiederdefinition von  ist.

Quadratwurzeln von matrices und Maschinenbedienern

Wenn A eine positiv-bestimmte Matrix oder Maschinenbediener ist, dann dort besteht genau eine positive bestimmte Matrix oder Maschinenbediener B mit B = A; wir definieren dann =  = B. In allgemeinem matrices kann vielfache Quadratwurzeln oder sogar eine Unendlichkeit von ihnen haben. Zum Beispiel 2×2 hat Identitätsmatrix eine Unendlichkeit von Quadratwurzeln.

Einzigartigkeit von Quadratwurzeln in allgemeinen Ringen

In einem Ring nennen wir ein Element b eine Quadratwurzel eines iff b = a.

In einem integrierten Gebiet, nehmen Sie das Element ein Haben einer Quadratwurzel b, so b = a an. Dann ist diese Quadratwurzel nicht notwendigerweise einzigartig, aber es ist fast" im folgenden Sinn "einzigartig: Wenn x auch eine Quadratwurzel von a, dann x = = b ist. So x - b = 0, oder, durch commutativity, (x + b) (x - b) = 0. Weil es keine Nullteiler im integrierten Gebiet gibt, beschließen wir, dass ein Faktor Null und x = ±b ist. Die Quadratwurzel von a, wenn es besteht, ist deshalb bis zu einem Zeichen in integrierten Gebieten einzigartig.

Um zu sehen, dass die Quadratwurzel bis zum Zeichen in einem allgemeinen Ring nicht einzigartig zu sein braucht, denken Sie den Ring von der Modularithmetik. Hier hat das Element 1 vier verschiedene Quadratwurzeln, nämlich ±1 und ±3. Andererseits hat das Element 2 keine Quadratwurzel. Siehe auch den Artikel quadratischer Rückstand für Details.

Ein anderes Beispiel wird durch den quaternions zur Verfügung gestellt, in dem das Element 1 eine Unendlichkeit von Quadratwurzeln einschließlich ±i, ±j, und ±k hat.

Tatsächlich ist der Satz von Quadratwurzeln-1 genau

:

Folglich ist dieser Satz genau dieselbe Größe und Gestalt wie (Oberfläche) Einheitsbereich im 3-Räume-.

Hauptquadratwurzeln der positiven ganzen Zahlen

Als dezimale Vergrößerungen

Die Quadratwurzeln der vollkommenen Quadrate (1, 4, 9, 16, usw.) sind ganze Zahlen. In allen anderen Fällen sind die Quadratwurzeln irrationale Zahlen, und deshalb nichtwiederholen ihre Dezimaldarstellungen Dezimalzahlen.

:

Bemerken Sie, dass, wenn der radicand nicht ist, quadratfreie zum Beispiel vereinfachen kann;; und.

Als Vergrößerungen in anderen Ziffer-Systemen

Die Quadratwurzeln der vollkommenen Quadrate (1, 4, 9, 16, usw.) sind ganze Zahlen. In allen anderen Fällen sind die Quadratwurzeln irrationale Zahlen, und deshalb nichtwiederholen sich ihre Darstellungen in jedem Standardstellungsnotationssystem.

Die Quadratwurzeln von kleinen ganzen Zahlen werden sowohl im SHA-1 als auch in den SHA-2 Kuddelmuddel-Funktionsdesigns verwendet, um nichts meine Ärmel-Zahlen zur Verfügung zu stellen.

Als periodische fortlaufende Bruchteile

Eines der am meisten faszinierenden Ergebnisse von der Studie von irrationalen Zahlen als fortgesetzte Bruchteile wurde von Joseph Louis Lagrange um 1780 erhalten. Lagrange hat gefunden, dass die Darstellung der Quadratwurzel jeder nichtquadratischen positiven ganzen Zahl als ein fortlaufender Bruchteil periodisch ist. D. h. ein bestimmtes Muster von teilweisen Nennern wiederholt sich unbestimmt im fortlaufenden Bruchteil. Gewissermaßen sind diese Quadratwurzeln die sehr einfachsten irrationalen Zahlen, weil sie mit einem einfachen sich wiederholenden Muster von ganzen Zahlen vertreten werden können.

:

Die Notation der eckigen Klammer, die oben verwendet ist, ist eine Art mathematische Schnellschrift, um Raum zu erhalten. Geschrieben in der traditionelleren Notation der einfache fortlaufende Bruchteil für die Quadratwurzel 11 - [3; 3, 6, 3, 6...] - sieht wie das aus:

:

\sqrt {11} = 3 + \cfrac {1} {3 + \cfrac {1} {6 + \cfrac {1} {3 + \cfrac {1} {6 + \cfrac {1} {3 + \ddots}}}} }\\,

</Mathematik>

wo sich das zweistellige Muster {3, 6} immer wieder und wieder in den teilweisen Nennern wiederholt. Seitdem 11 = 3+2 ist der obengenannte auch zu den folgenden verallgemeinerten fortlaufenden Bruchteilen identisch:

:

\sqrt {11} = 3 + \cfrac {2} {6 + \cfrac {2} {6 + \cfrac {2} {6 + \cfrac {2} {6 + \cfrac {2} {6 + \ddots}}}}} = 3 + \cfrac {6\cdot 1} {20-1 - \cfrac {1} {20 - \cfrac {1} {20 - \cfrac {1} {20 - \ddots}}}}.

</Mathematik>

Geometrischer Aufbau der Quadratwurzel

Eine Quadratwurzel kann mit einem Kompass und Haarlineal gebaut werden. In seinen Elementen, Euklid (fl. 300 v. Chr.) hat den Aufbau des geometrischen Mittels von zwei Mengen in zwei verschiedenen Plätzen gegeben: Vorschlag II.14 und Vorschlag VI.13. Da das geometrische Mittel von a und b ist, kann man bauen, indem einfach man b = 1 nimmt.

Der Aufbau wird auch von Descartes in seinem La Géométrie gegeben, sieh Abbildung 2 auf der Seite 2. Jedoch hat Descartes keinen Anspruch auf die Originalität erhoben, und sein Publikum wäre mit Euklid ziemlich vertraut gewesen.

Der zweite Beweis von Euklid im Buch VI hängt von der Theorie von ähnlichen Dreiecken ab. Lassen Sie AHB ein Liniensegment der Länge + b mit AH = a und HB = b sein. Bauen Sie den Kreis mit AB als Diameter und lassen Sie C eine der zwei Kreuzungen des rechtwinkligen Akkords an H mit dem Kreis sein und die Länge CH als h anzuzeigen. Dann, mit dem Lehrsatz von Thales und als im Beweis des Lehrsatzes von Pythagoras durch ähnliche Dreiecke, Dreieck ist AHC dem Dreieck CHB ähnlich (als tatsächlich beide sind zum Dreieck ACB, obwohl wir das nicht brauchen, aber es ist die Essenz des Beweises des Lehrsatzes von Pythagoras), so dass AH:CH als HC:HB ist, d. h. aus dem wir durch die Quer-Multiplikation das und schließlich das schließen. Bemerken Sie weiter dass, wenn Sie den Mittelpunkt O des Liniensegmentes AB kennzeichnen und den Radius OC der Länge dann klar OC> CH ziehen sollten d. h. (mit der Gleichheit wenn und nur wenn = b) der die Ungleichheit des arithmetischen geometrischen Mittels für zwei Variablen und, wie bemerkt, oben ist, ist die Basis des Alten griechischen Verstehens der "Methode des Reihers".

Eine andere Methode des geometrischen Aufbaus verwendet rechtwinklige Dreiecke und Induktion: Kann natürlich gebaut werden, und ist einmal gebaut worden, das rechtwinklige Dreieck mit 1 und für seine Beine hat eine Hypotenuse dessen. Die Spirale von Theodorus wird mit aufeinander folgenden Quadratwurzeln auf diese Weise gebaut.

Geschichte

Die Yale babylonische Sammlung YBC 7289 Tonblock wurde zwischen 1800 v. Chr. und 1600 v. Chr. geschaffen, sich zeigend und als 1; 24,51,10 und 42; 25,35 Basis 60 Zahlen auf einem Quadrat hat sich durch zwei Diagonalen getroffen.

Der Rhind Mathematische Papyrus ist eine Kopie von 1650 v. Chr. einer noch früheren Arbeit und zeigt, wie die Ägypter Quadratwurzeln herausgezogen haben.

Im Alten Indien waren die Kenntnisse von theoretischen und angewandten Aspekten der Quadratwurzel und Quadratwurzel mindestens so alt wie Sulba Sutras, hat auf ungefähr 800-500 v. Chr. (vielleicht viel früher) datiert. Eine Methode, um sehr gute Annäherungen an die Quadratwurzeln 2 und 3 zu finden, wird in Baudhayana Sulba Sutra gegeben. Aryabhata in Aryabhatiya (Abschnitt 2.4), hat eine Methode gegeben, für die Quadratwurzel von Zahlen zu finden, die viele Ziffern haben.

In den chinesischen mathematischen Arbeitsschriften auf dem Rechnen, das zwischen 202 v. Chr. und 186 v. Chr. während der frühen Han-Dynastie geschrieben ist, wird der Quadratwurzel durch das Verwenden eines "Übermaßes und Mangels" Methode näher gekommen, die "... Vereinigung das Übermaß und der Mangel als der Teiler sagt; wenn Sie den Mangel-Zähler (nehmen), der mit dem Übernenner und die Überzähler-Zeiten dem Mangel-Nenner multipliziert ist, verbinden Sie sie als die Dividende."

Gemäß dem Historiker der Mathematik D.E. Smith wurde die Methode von Aryabhata, für die Quadratwurzel zu finden, zuerst in Europa von Cataneo 1546 eingeführt.

Das Symbol  für die Quadratwurzel wurde zuerst im Druck 1525 im Coss von Christoph Rudolff verwendet, der auch erst war, um die dann neuen Zeichen '+' und '-zu verwenden, '.

Siehe auch

• Würfel-Wurzel
• Quadratwurzel der ganzen Zahl
• Methoden, Quadratwurzeln zu schätzen
• Verschachtelter radikaler
• Die n-te Wurzel
• Quadratischer vernunftwidriger
• Quadratischer Rückstand
• Wurzel der Einheit
• Das Lösen quadratischer Gleichungen mit fortlaufenden Bruchteilen
• Quadrat (Algebra)
• Quadratwurzel einer Matrix
• Quadratwurzel-Grundsatz

Referenzen

Links

• Algorithmen, Durchführungen, und mehr - die Quadratwurzeln von Paul Hsieh webpage
• Wie man eine Quadratwurzel manuell findet