Im mathematischen Teilfeld der numerischen Analyse ist ein B-Fugenbrett eine Fugenbrett-Funktion, die minimale Unterstützung in Bezug auf einen gegebenen Grad, Glätte und Bereichsteilung hat. B-Fugenbretter wurden schon im neunzehnten Jahrhundert von Nikolai Lobachevsky untersucht. Ein Hauptsatz stellt fest, dass jede Fugenbrett-Funktion eines gegebenen Grads, Glätte, und Bereichsteilung, als eine geradlinige Kombination von B-Fugenbrettern dieses desselben Grads und Glätte, und über diese dieselbe Teilung einzigartig vertreten werden kann.

Der Begriff "B-Fugenbrett" wurde von Isaac Jacob Schoenberg ins Leben gerufen und ist für das Basisfugenbrett kurz. B-Fugenbretter können auf eine numerisch stabile Weise durch den Algorithmus von de Boor bewertet werden. Vereinfachte, potenziell schnellere Varianten des Algorithmus von de Boor sind geschaffen worden, aber sie leiden unter der verhältnismäßig niedrigeren Stabilität.

In den Informatik-Teilfeldern des computergestützten Designs und der Computergrafik bezieht sich der Begriff B-Fugenbrett oft auf eine Spline-Kurve, die durch Fugenbrett-Funktionen parametrisiert ist, die als geradlinige Kombinationen von B-Fugenbrettern (im mathematischen Sinn oben) ausgedrückt werden. Ein B-Fugenbrett ist einfach eine Verallgemeinerung einer Kurve von Bézier, und es kann das Phänomen von Runge vermeiden, ohne den Grad des B-Fugenbrettes zu vergrößern.

Definition

Gegebene M echte Werte t, genannt Knoten, mit

:

ein B-Fugenbrett des Grads n ist eine parametrische Kurve

:

zusammengesetzt aus einer geradlinigen Kombination von BasisB-Fugenbrettern b des Grads n

:.

Die Punkte werden Kontrollpunkte oder Punkte von de Boor genannt. Es gibt Mn-1-Kontrollpunkte, und der konvexe Rumpf der Kontrollpunkte ist ein begrenzendes Volumen der Kurve.

Die m-n-1 BasisB-Fugenbretter des Grads n, können für n=0,1..., m-2, mit dem Barbaren des Steuermannes-de recursion Formel definiert werden

:

\begin {Matrix}

1 & \mathrm {wenn} \quad t_j \leq t

:

, \qquad j=0, \ldots, M {-} n {-} 2. </math>

Bemerken Sie, dass j+n+1 m-1 nicht überschreiten kann, der sowohl j als auch n beschränkt.

Wenn die Knoten gleich weit entfernt sind, wie man sagt, ist das B-Fugenbrett gleichförmig, sonst ungleichförmig. Wenn zwei Knoten t identisch sind, wie man hält, sind irgendwelche resultierenden unbestimmten Formen 0/0 0.

Bemerken Sie, dass, wenn man einen Lauf von angrenzenden N-Grad-BasisB-Fugenbrettern summiert, man, von diesem recursion vorherrscht

:

\sum_ {j=j' {+} 1} ^ {j} b_ {j, n {-} 1} (t) \quad + \; \frac {t_ {j+n+1} - t} {t_ {j+n+1} - t_ {j+1}} b_ {j+1, n-1} (t) </Mathematik>

für jede Summe damit

Wenn

Gleichförmiges B-Fugenbrett

Wenn das B-Fugenbrett gleichförmig ist, sind die BasisB-Fugenbretter für einen gegebenen Grad n gerade ausgewechselte Kopien von einander. Eine alternative nichtrekursive Definition für die mn-1 BasisB-Fugenbretter ist

:

mit

:

und

:wo:

\left\{\\beginnen {Matrix}

(t - t_i) ^n &\\mbox {wenn }\\t \ge t_i \\

0 &\\mbox {wenn }\\t

ist die gestutzte Potenzfunktion.

Grundsätzliches B-Fugenbrett

Definieren Sie B als der

Hinweis (oder Eigenschaft) Funktion]], und B rekursiv als das Gehirnwindungsprodukt

:

dann werden B (in den Mittelpunkt gestellte) grundsätzliche B-Fugenbretter genannt. Diese Definition geht Schoenberg zurück.

B hat Kompaktunterstützung und ist sogar Funktion. Weil die normalisierten grundsätzlichen B-Fugenbretter zur Funktion von Gaussian neigen.

Referenzen

Wenn die Zahl von Kontrollpunkten von de Boor ein mehr ist als der Grad und und (so) degeneriert das B-Fugenbrett zu einer Kurve von Bézier. Insbesondere die B-Fugenbrett-Basisfunktion fällt mit dem n-ten Grad univariate Polynom von Bernstein zusammen. Die Gestalt der Basisfunktionen wird durch die Position der Knoten bestimmt. Das Schuppen oder das Übersetzen des Knoten-Vektoren verändern die Basisfunktionen nicht.

Das Fugenbrett wird im konvexen Rumpf seiner Kontrollpunkte enthalten.

Ein BasisB-Fugenbrett des Grads n

:

ist Nichtnull nur im Zwischenraum [t, t], der ist

:

> 0 & \mathrm {wenn} \quad t_ {ich} \le t

Mit anderen Worten, wenn wir einen Kontrollpunkt manipulieren, ändern wir nur das lokale Verhalten der Kurve und nicht das globale Verhalten als mit Kurven von Bézier.

Siehe auch Polynom von Bernstein für weitere Details.

Beispiele

Unveränderliches B-Fugenbrett

Das unveränderliche B-Fugenbrett ist das einfachste Fugenbrett. Es wird auf nur einem Knoten Spanne definiert und ist auf den Knoten nicht sogar dauernd. Es ist gerade die Anzeigefunktion für die verschiedenen Knoten-Spannen.

:\left\{\\beginnen {Matrix}

1 & \mathrm {wenn} \quad t_j \le t

Geradliniges B-Fugenbrett

Das geradlinige B-Fugenbrett wird auf zwei Konsekutivknoten-Spannen definiert und ist auf den Knoten, aber nicht differentiable dauernd.

:\left\{\\beginnen {Matrix}

\frac {t - t_j} {t_ {j+1} - t_j} & \mathrm {wenn} \quad t_j \le t

Gleichförmiges quadratisches B-Fugenbrett

Quadratische B-Fugenbretter mit dem gleichförmigen Knoten-Vektoren sind eine allgemein verwendete Form des B-Fugenbrettes. Die verschmelzende Funktion kann leicht vorberechnet werden, und ist für jedes Segment in diesem Fall gleich.

:

Gestellt in der Matrixform ist es:

:

1 &-2 & 1 \\

- 2 & 2 & 0 \\

1 & 1 & 0 \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix} \mathbf {p} _ {i-1} \\\mathbf {p} _ {ich} \\\mathbf {p} _ {i+1} \end {bmatrix }\

</Mathematik> für

KubikB-Fugenbrett

Eine B-Fugenbrett-Formulierung für ein einzelnes Segment kann als geschrieben werden:

:

wo S das ith B-Fugenbrett-Segment ist und P der Satz von Kontrollpunkten ist, ist Segment i und k der lokale Kontrollpunkt-Index. Eine Reihe von Kontrollpunkten würde sein, wo Gewicht ist, die Kurve zum Kontrollpunkt ziehend, als es zunimmt oder das Wegschieben der Kurve, als es abnimmt.

Ein kompletter Satz von Segmenten, m-2 Kurven definiert durch M+1-Kontrollpunkte , weil ein B-Fugenbrett in t als definiert würde:

:

wo ich die Kontrollpunkt-Zahl bin und t ein globaler Parameter ist, der Knoten-Werte gibt. Diese Formulierung drückt eine B-Spline-Kurve aus, weil eine geradlinige Kombination der B-Fugenbrett-Basis, folglich der Name fungiert.

Es gibt zwei Typen des B-Fugenbrettes - gleichförmig und ungleichförmig. Ein ungleichförmiges B-Fugenbrett ist eine Kurve, wo die Zwischenräume zwischen aufeinander folgenden Kontrollpunkten nicht notwendigerweise gleich sind (der Knoten-Vektor von Innenknoten-Spannen sind nicht gleich). Eine Standardform ist, wo Zwischenräume auf die Null nacheinander reduziert werden, Kontrollpunkte interpolierend.

Gleichförmige KubikB-Fugenbretter

KubikB-Fugenbretter mit dem gleichförmigen Knoten-Vektoren sind die meistens verwendete Form des B-Fugenbrettes. Die verschmelzende Funktion kann leicht vorberechnet werden, und ist für jedes Segment in diesem Fall gleich. Gestellt in der Matrixform ist es:

:

- 1 & 3 &-3 & 1 \\

3 &-6 & 3 & 0 \\

- 3 & 0 & 3 & 0 \\

1 & 4 & 1 & 0 \end {bmatrix }\

\begin {bmatrix} \mathbf {p} _ {i-1} \\\mathbf {p} _ {ich} \\\mathbf {p} _ {i+1} \\\mathbf {p} _ {i+2} \end {bmatrix }\

</Mathematik>

für

P-Fugenbrett

Der Begriff P-Fugenbrett tritt "für bestraftes B-Fugenbrett" ein. Es bezieht sich auf das Verwenden der B-Fugenbrett-Darstellung, wo die Koeffizienten teilweise durch die Daten beschlossen werden, und teilweise durch eine zusätzliche Straffunktion geeignet zu werden, die zum Ziel hat, Glätte aufzuerlegen, um zu vermeiden, überzupassen.

Siehe auch

• Fugenbrett (Mathematik)
• Ungleichförmige vernünftige B-Fugenbretter (NURBS)
• Algorithmus von De Boor
• M Fugenbrett
• I-Fugenbrett

Links

• B-Fugenbrett auf MathWorld
• Modul-B-Fugenbretter durch John H. Mathews
• B-Fugenbretter der dritten Ordnung auf einem ungleichförmigen Bratrost durch Johannes Ruf
• FORTRAN codieren für die Interpolation mit B-Fugenbrettern
• Bivariate-B-Fugenbrett von numpy
• Interaktive B-Fugenbretter mit JSXGraph