In der Mathematik ist ein Kardinal von Mahlo eine bestimmte Art der großen Grundzahl. Kardinäle von Mahlo wurden zuerst dadurch beschrieben. Als mit allen großen Kardinälen, wie man beweisen kann, bestehen keine dieser Varianten von Kardinälen von Mahlo durch ZFC (das Annehmen, dass ZFC entspricht).

Eine Grundzahl κ wird Mahlo genannt, wenn κ unzugänglich ist und der Satz U = {λ < κ: λ ist} unzugänglich ist in κ stationär.

Ein grundsätzlicher κ wird schwach Mahlo genannt, wenn κ schwach unzugänglich ist und der Satz schwach unzugänglicher Kardinäle weniger, als κ in κ stationär ist.

Minimale für einen Kardinal von Mahlo genügend Bedingung

• Wenn κ eine Grenze Ordnungs- und der Satz von regelmäßigen Ordnungszahlen weniger ist, als κ in κ stationär ist, dann ist κ schwach Mahlo.

Die Hauptschwierigkeit, das zu beweisen, ist zu zeigen, dass κ regelmäßig ist. Wir werden annehmen, dass es nicht regelmäßig ist und bauen Sie einen Klub-Satz, der uns einen solchen μ dass gibt:

:μ = vgl (μ) mit dem erforderlichen Eigentum weil {2,3,4...} ist Klub in ω, aber enthält keine regelmäßigen Ordnungszahlen; so ist κ unzählbar. Und es ist eine regelmäßige Grenze von regelmäßigen Kardinälen; so ist es schwach unzugänglich. Dann verwendet man den Satz von unzählbaren Grenze-Kardinälen unter κ als ein Klub-Satz, um zu zeigen, dass, wie man annehmen kann, der stationäre Satz aus schwachem inaccessibles besteht.

• Wenn κ schwach Mahlo und auch eine starke Grenze ist, dann ist κ Mahlo.

κ ist schwach unzugänglich und eine starke Grenze, so ist es stark unzugänglich.

Wir zeigen, dass der Satz von unzählbaren starken Grenze-Kardinälen unter κ Klub in κ ist. Lassen Sie μ die größere von der Schwelle und dem ω sein. Für jeden begrenzten n, lassen Sie μ = 2, der weniger ist als κ, weil es ein starker Grenze-Kardinal ist. Dann ist ihre Grenze ein starker Grenze-Kardinal und ist weniger als κ durch seine Regelmäßigkeit. Die Grenzen von unzählbaren starken Grenze-Kardinälen sind auch unzählbare starke Grenze-Kardinäle. So ist der Satz von ihnen Klub in κ. Schneiden Sie diesen Klub-Satz mit dem stationären Satz schwach unzugänglicher Kardinäle weniger durch als κ, um einen stationären Satz von stark unzugänglichen Kardinälen weniger zu bekommen, als κ.

Beispiel: Vertretung, dass Kardinäle von Mahlo hyperunzugänglich

sind

Nehmen Sie an, dass κ Mahlo ist. Wir fahren durch die transfinite Induktion auf α fort zu zeigen, dass κ α-inaccessible für jeden α  κ ist. Da κ Mahlo ist, ist κ unzugänglich; und so 0-unzugänglich, der dasselbe Ding ist.

Wenn κ α-inaccessible ist, dann gibt es β-inaccessibles (für β. Dann picken Sie einen α-inaccessible auf, nennen Sie ihn α. Setzen Sie fort, das zu wiederholen und Grenzen an Grenzen zu nehmen, bis Sie einen festen Punkt erreichen, nennen Sie ihn μ. Dann hat μ das erforderliche Eigentum (eine gleichzeitige Grenze von α-inaccessibles für den ganzen α-Mahlo seiend, wenn, und nur wenn es unzugänglich ist und es einen normalen (d. h. nichttrivial und geschlossen unter diagonalen Kreuzungen) κ-complete Filter auf dem Macht-Satz von κ gibt, der unter der Operation von Mahlo geschlossen wird, die den Satz von Ordnungszahlen S zu {αS kartografisch darstellt: α hat unzählbaren cofinality, und S ist α in α }\stationär

Die Eigenschaften, Mahlo schwach unzugänglich zu sein, werden Mahlo, α-Mahlo, außerordentlich Mahlo, usw. bewahrt, wenn wir das Weltall durch ein inneres Modell ersetzen.

Siehe auch

• Unzugänglicher grundsätzlicher
• Stationärer Satz

Inneres Modell