In der Mengenlehre wird eine unzählbare regelmäßige Grundzahl schwach unzugänglich genannt, wenn es ein schwacher Grenze-Kardinal, und stark unzugänglich, oder gerade unzugänglich ist, wenn es ein starker Grenze-Kardinal ist. Einige Autoren verlangen schwach und stark unzugängliche Kardinäle nicht, unzählbar zu sein (in welchem Fall stark unzugänglich ist). Schwach unzugängliche Kardinäle wurden durch, und stark unzugängliche durch vorgestellt und.

Der Begriff "der unzugängliche Kardinal" ist zweideutig. Ungefähr bis 1950 hat es "den schwach unzugänglichen Kardinal" bedeutet, aber seitdem bedeutet es gewöhnlich "den stark unzugänglichen Kardinal".

Jeder stark unzugängliche Kardinal ist auch schwach unzugänglich, weil jeder starke Grenze-Kardinal auch ein schwacher Grenze-Kardinal ist. Wenn die verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese hält, dann ist ein Kardinal stark unzugänglich, wenn, und nur wenn es schwach unzugänglich ist.

(aleph-ungültig) ist ein regelmäßiger starker Grenze-Kardinal. Das Axiom der Wahl annehmend, ist jede andere unendliche Grundzahl entweder regelmäßig oder eine (schwache) Grenze. Jedoch kann nur eine ziemlich große Grundzahl beide und so schwach unzugänglich sein.

Eine Ordnungszahl ist ein schwach unzugänglicher Kardinal, wenn, und nur wenn es eine regelmäßige Ordnungszahl ist und es eine Grenze von regelmäßigen Ordnungszahlen ist. (Null, ein, und ist regelmäßige Ordnungszahlen, aber nicht Grenzen von regelmäßigen Ordnungszahlen.) Ist ein Kardinal, der schwach unzugänglich ist und auch ein starker Grenze-Kardinal, stark unzugänglich.

Die Annahme der Existenz eines stark unzugänglichen Kardinals wird manchmal in der Form der Annahme angewandt, dass man innerhalb eines Weltalls von Grothendieck, die zwei Ideen arbeiten kann, die vertraut verbinden werden.

Modelle und Konsistenz

ZFC deutet an, dass die V ein Modell von ZFC sind, wann auch immer κ stark unzugänglich ist. Und ZF deutet an, dass das Weltall von Gödel L ein Modell von ZFC ist, wann auch immer κ schwach unzugänglich ist. So besteht ZF zusammen mit "dort ein schwach unzugänglicher Kardinal" deutet an, dass ZFC entspricht. Deshalb sind unzugängliche Kardinäle ein Typ des großen Kardinals.

Wenn V ein Standardmodell von ZFC ist und κ ein unzugänglicher in V, dann ist: V ist eines der beabsichtigten Modelle der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre; und Def (V) ist eines der beabsichtigten Modelle der Mengenlehre von Von Neumann-Bernays-Gödel; und V ist eines der beabsichtigten Modelle der Mengenlehre der Morsezeichen-Kelley. Hier ist Def (X) die Δ definierbaren Teilmengen X (sieh constructible Weltall). Jedoch, κ braucht oder sogar eine Grundzahl, in der Größenordnung von V nicht unzugänglich zu sein, um ein Standardmodell von ZF (sieh unten) zu sein.

Denken Sie V ist ein Modell von ZFC. Entweder V enthält nicht stark unzugänglich oder, κ nehmend, um das kleinste starke unzugängliche in V zu sein, V ist ein Standardmodell von ZFC, der keinen starken inaccessibles enthält. So bezieht die Konsistenz von ZFC Konsistenz von ZFC + ein "es gibt keinen starken inaccessibles". Ähnlich entweder V enthält nicht schwach unzugänglich oder, κ nehmend, um die kleinste Ordnungszahl zu sein, die hinsichtlich jedes Standardsubmodells V schwach unzugänglich ist, dann ist L ein Standardmodell von ZFC, der keinen schwachen inaccessibles enthält. So bezieht die Konsistenz von ZFC Konsistenz von ZFC + ein, "gibt es keinen schwachen inaccessibles". Das zeigt, dass ZFC die Existenz eines unzugänglichen Kardinals nicht beweisen kann, so ist ZFC mit dem Nichtsein irgendwelcher unzugänglichen Kardinäle im Einklang stehend.

Das Problem, ob ZFC mit der Existenz eines unzugänglichen Kardinals im Einklang stehend ist, ist feiner. Der Beweis hat im vorherigen Paragrafen eine Skizze gemacht, dass die Konsistenz von ZFC + "es einen unzugänglichen Kardinal gibt", bezieht die Konsistenz von ZFC + ein "es gibt nicht ein unzugänglicher Kardinal" kann in ZFC formalisiert werden. Jedoch kein Beweis, dass die Konsistenz von ZFC die Konsistenz von ZFC + einbezieht, "gibt es einen unzugänglichen Kardinal" kann in ZFC formalisiert werden. Das folgt aus dem zweiten Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel, der zeigt, dass, wenn ZFC + "es einen unzugänglichen Kardinal gibt", entspricht, dann kann es nicht seine eigene Konsistenz beweisen. Weil ZFC + "es einen unzugänglichen Kardinal gibt", beweist wirklich die Konsistenz von ZFC, wenn ZFC bewiesen hat, dass seine eigene Konsistenz die Konsistenz von ZFC + einbezieht, "gibt es einen unzugänglichen Kardinal" dann diese letzte Theorie würde im Stande sein, seine eigene Konsistenz zu beweisen, die unmöglich ist.

Es gibt Argumente für die Existenz von unzugänglichen Kardinälen, die in ZFC nicht formalisiert werden können. Ein solches Argument, das dadurch präsentiert ist, ist, dass die Klasse aller Ordnungszahlen einer besonderen MusterM der Mengenlehre selbst ein unzugänglicher Kardinal sein würde, wenn es ein größeres Modell des Mengenlehre-Verlängerns M gäbe.

Existenz einer richtigen Klasse von inaccessibles

Es gibt viele wichtige Axiome in der Mengenlehre, die die Existenz einer richtigen Klasse von Kardinälen behaupten, die ein Prädikat von Interesse befriedigen. Im Fall von der Unzugänglichkeit ist das entsprechende Axiom die Behauptung dass für jeden grundsätzlichen μ, es gibt einen unzugänglichen grundsätzlichen κ, der, μ (λ) der λ unzugängliche Kardinal ausschließlich größer ist, dann sind die festen Punkte von ψ die 1-unzugänglichen Kardinäle. Dann ψ (λ lassend), der λ β-inaccessible Kardinal sein, sind die festen Punkte von ψ (β + 1) - unzugängliche Kardinäle (die Werte ψ (λ)). Wenn α eine Ordnungs-Grenze ist, ist ein α-inaccessible ein fester Punkt jedes ψ für β (λ) ist der λ solcher Kardinal). Auf diesen Prozess, feste Punkte von Funktionen zu nehmen, die nacheinander größere Kardinäle erzeugen, wird in der Studie von großen Grundzahlen allgemein gestoßen.

Der hyperunzugängliche Begriff ist zweideutig. Einige Autoren verwenden es, um 1-unzugänglich zu bedeuten, obwohl dieser Gebrauch selten ist. Die meisten Autoren verwenden es, um zu bedeuten, dass κ κ-inaccessible ist. (Es kann κ + 1-unzugänglich nie sein.)

Für jeden Ordnungs-α ist ein grundsätzlicher κ α-hyper-inaccessible, wenn, und nur wenn κ hyperunzugänglich ist und für jeden Ordnungs-β, dort &alpha besteht; ist ein elementarer Unterbau dessen. (Tatsächlich, der Satz von solchem α wird unbegrenzt in &kappa geschlossen;.) Gleichwertig, κ ist - unbeschreiblich für den ganzen n ≥ 0.

Es ist in ZF nachweisbar, dass  ein etwas schwächeres Nachdenken-Eigentum, wo der Unterbau befriedigt (V, ∈ U ∩ V) ist nur erforderlich, in Bezug auf einen begrenzten Satz von Formeln 'elementar' zu sein. Schließlich besteht der Grund für diese Schwächung darin, dass, wohingegen die mustertheoretische Befriedigungsbeziehung definiert werden kann, Wahrheit selbst nicht wegen des Lehrsatzes von Tarski kann.

Zweitens unter ZFC kann ihm das &kappa gezeigt werden; ist wenn und nur wenn unzugänglich (V, &isin) ist ein Modell der zweiten Ordnung ZFC.

In diesem Fall, durch das Nachdenken-Eigentum oben, dort besteht α &isin) ist ein Standardmodell (die erste Ordnung) ZFC. Folglich ist die Existenz eines unzugänglichen Kardinals eine stärkere Hypothese als die Existenz eines Standardmodells von ZFC.

Siehe auch

• Kardinal von Mahlo
• Klub hat gesetzt
• Inneres Modell
• Weltall von Von Neumann
• Weltall von Constructible